江苏省苏州吴江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省苏州吴江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数在区间上的平均变化率等于当时的瞬时变化率，则( )
A.B.1C.2D.
2．,则( )
A.B.2C.D.6
3．已知函数，则，，的大小关系为( )
A.B.
C.D.
4．已知函数的图象如图所示,则不等式的解集为( ).
A.B.C.D.
5．已知在处的极大值为5,则( )
A.B.6C.或6D.或2
6．已知曲线与y轴交于点A,设E经过原点的切线为l,设E上一点B横坐标为,若直线,则m所在的区间为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在上有两个极值点,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若对任意,,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数在R上可导,且的图象过点,其导函数满足,对于函数,下列结论正确的是( )
A.函数在上为增函数B.是函数的极小值点
C.函数一定没有零点D.
11．已知函数,,若,,使得成立,则a的取值可以是( )
A.0B.-1C.-2D.
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点,其中是的根,是的导数,是的导数.若函数图象的对称点为,且不等式对任意恒成立,则下列结论正确的是( )
A.B.C.的值可能是D.m的值可能是
三、填空题
13．函数在区间上的极大值点是____________.
14．已知函数在上不单调,则实数的取值范围是______.
15．关于函数,若函数有三个零点,则实数k的取值范围是__________.
四、双空题
16．函数,当时,零点的个数是________;若存在实数,使得对于任意,都有,则实数a的取值范围是___________.
五、解答题
17．已知函数,而且.
（1）求;
（2）若l是曲线的切线,且经过点,求l的方程.
18．已知函数．
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直,求的单调递增区间;
（2）若函数在上为增函数,求实数k的取值范围．
19．已知函数.
（1）讨论的极值;
（2）求在上的最小值.
20．如图,有一生态农庄的平面图是一个半圆形,其中,直径长为,C,D两点在半圆弧上,且,设,现要在景区内铺设一条观光通道,由,,和组成.
（1）若,求观光通道l的长度;
（2）现要在农庄内种植经济作物,其中,在内种植鲜花,在内种植果树,在扇形内种植草坪.已知种植鲜花和种植果树的利润均为2百万元,种植草坪的利润为1百万元,则当为何值时总利润最大？
21．设函数,．
（1）讨论的单调性;
（2）若,且不等式对恒成立,求整数k的最大值．
22．已知定义在正实数集上的函数,其中．设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b,并求b的最大值;
（2）求证：．
参考答案
1．答案：B
解析：函数在区间上的平均变化率为.当时，，即在时的瞬时变化率为2m.所以，解得.故选B.
2．答案：C
解析：,,.
故选:C.
3．答案：C
解析：作出函数的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
4．答案：A
解析：由的图象可知,在和上单调递增,在上单调递减,
则当时,时,时,
所以不等式的解集为.故选:A
5．答案：B
解析：函数,求导得,
依题意,,即,解得或,
当时,,
当或时,,当时,,因此在处取得极小值,不符题意;
当时,,
当时,,当或时,,因此在处取得极大值,符合题意,
所以,所以.
故选:B
6．答案：D
解析：由,求导得,设直线l与曲线E相切的切点坐标为,则直线l的斜率为,
直线l的方程为,由直线l过原点,即,解得,
依题意,直线的斜率为,而点,则直线的方程为,
由消去y得,显然m是方程的不为零的根,
令,求导得,当时,,当时,,
于是函数在上单调递减,在上单调递增,,
显然,即上有唯一零点0,而,
则在上有唯一零点,即,又,
所以m所在的区间为.
故选：D.
7．答案：B
解析：因为函数在上有两个极值点,
所以在上有两个变号零点,
因为,令,即,可得．
令,则,
令,得,令,得,
所以,函数在上递增,在上递减,
因为,,,如下图所示：
当时,直线与函数在上的图象有两个交点,
设两个交点的横坐标分别为、,且,
由图可知,当或时,,此时,,
当时,,此时,,
所以,函数在上递增,在上递减,在上递增,
此时,函数有两个极值点,合乎题意.
因此,实数m的取值范围为.
故选：B.
8．答案：D
解析：设,
,,,
等价于,即,
令,则,
所以函数在上单调递减,
则不等式在上恒成立,
即不等式在上恒成立,令,,
则,令,令,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
又,,且,
所以,解得,
即实数a的取值范围为.
故选：D.
9．答案：BC
解析：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：对于A,B,因为,所以.
因为,
所以当时,则,单调递减;
当时,则,单调递增,
所以是函数的极小值点,所以A错误,B正确,
对于C,因为
所以当时,函数有零点故C错误,
对于D,因为在上单调递增,
所以,即,所以,故D正确.
故选：BD.
11．答案：AD
解析：,
当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,
故当时,,
对于二次函数,该函数开口向下,
所以其在区间上的最小值在端点处取得,
所以要使对,,使得成立,只需,
因为函数开口向下,所以当时,,
所以或,所以或,
解得．
故选：AD.
12．答案：ABC
解析：由题意可得,因为,所以,
所以,
解得,所以.
因为,所以等价于对任意恒成立.令,则.
设,则,从而在上单调递增.
因为,所以,即,
则（当且仅当时,等号成立）,
从而,所以.
故选：ABC.
13．答案：
解析：因为,,所以,
令,即,解得,
当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,即极大值点为.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意,函数,其导数,
令,可得,
当时,;当时,,
则在区间上,为增函数;在区间上,为减函数,
若函数在上不单调,
则,解得,
即a的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：
解析：因为,所以,令得,
令得或,所以函数的增区间为,减区间为和,
所以函数的极大值为,函数的极大值为,
又当x趋向负无穷大时,无限趋向正穷大,当x趋向正无穷大时,无限趋向于0,
作出函数图象如下：
故函数有三个零点即方程的根有三个,
结合函数图象即可得,故实数k的取值范围是.
故答案为：.
16．答案：①.1②.
解析：时,,显然时,,时,,,零点为．只有1个零点．
若存在实数,使得对于任意,都有,所以是函数最小值．
,时,,．
若,则时,恒成立,单调递减,,
时,,,,
所以此时无最小值．
,则时,,递减,时,,递增,
,
时,,
时,无最小值,时,最小值,
综上,a的范围是．
故答案为：1;．
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）,则,
所以,得.
（2）由(1)可得,,
设切点为,所以切线的斜率为,又因为,
所以直线l的方程为：
将代入上式并整理,可得,由此可解得或,
因此,切点为或,切线方程为或,
即l的方程为或.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）的定义域为,,
由题意可知,解得,
所以．
由,得或,
所以函数的单调递增区间是,;
（2）函数的定义域为,要使函数在定义域内为增函数,
只需在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
即在区间上恒成立.
令,,
则,当且仅当时等号成立,
所以,即实数k的取值范围为．
19．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）由题意知:的定义域为,;
当时,,恒成立,在上单调递增,
无极值;
当时,若,;若,;
在上单调递减,在上单调递增;
的极小值为,无极大值;
综上所述:当时,无极值;当时,的极小值为,无极大值.
（2）当时,在上恒成立,在上单调递增,
;
当时,若,;若,;
在上单调递减,在上单调递增,
;
当时,在上单调递减,;
综上所述:在上的最小值.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,
所以
,
则,,
又,,得.
在中,
,则,
所以;
（2）由题意,,
,.
设总利润为,则,
则,
因为,所以当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
所以.
所以当时,总利润取得最大值,最大值为百万元.
21．答案：（1）见解析
（2）2
解析：（1）,
当时,在上恒成立,单调递增;
当时,令,解得,
在上,单调递减;
在上恒成立,单调递增.
综上：当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）因为,所以原不等式等价于对恒成立,即
令,
令,即,令,
因为,所以在上单调递增,
因为,
所以使得,即
在上,,单调递减;
在上,,单调递增,
所以
又因为,所以,
又,所以k的最大值为2.
22．答案：（1）详见解析;
（2）详见解析.
解析：（1）,,
因为两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同,
所以,,
即,
由得,（舍去）,
则,
令,
则,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
所以在上的最大值为;
（2）设,
则,
当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,
所以在上的最小值为,
即时,,所以.