陕西省西安市2024年高三第一次质量检测理科数学试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市2024年高三第一次质量检测理科数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位，且，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A.1B.2C.3D.5
4．若向量,,则“”是“向量,的夹角为钝角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为( )
A.B.C.D.8
6．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A.B.C.D.
7．已知，则在的展开式中，含的系数为( )
A.480B.C.240D.
8．若，则( )
A.B.0C.D.1
9．在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为( )
A.B.C.D.
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是( )
①事件与相互独立；
②，，是两两互斥的事件；
③；
④；
⑤
A.5B.4C.3D.2
11．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则( )
A.4B.6C.8D.10
12．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.若，，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为( )
A.B.2C.D.
二、填空题
13．为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为_________.
14．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为______.
15．已知，分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点（其中点A位于第一象限），圆C与内切，半径为r，则r的取值范围是___________.
16．已知，若存在实数使不等式成立，则m的最大值为_______.
三、解答题
17．设是数列的前n项和，已知，
（1）证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数n.
18．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
（1）求证：面；
（2）点Q在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
19．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：
（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，，；.
20．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线交x轴于点P，其中，直线交椭圆E于另一点C，直线和分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值.
21．已知函数.
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若的最小值为1，求a.
22．在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（2）若点在直线l上且，射线与曲线C相交于异于O点的点Q，求的最小值.
23．已知函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式的解集包含，求a的取值集合.
参考答案
1．答案：D
解析：，，，
所以.
故选：D
2．答案：C
解析：，则，所以对应点的坐标为在第三象限，
故选：C.
3．答案：B
解析：作出不等式组所表示的平面区域.
由得：，平移直线，
当经过点时，z取得最大值，即.
故选：B
4．答案：B
解析：若向量a,b的夹角为钝角,则且a,b不共线,
所以解得且,
所以“”是“向量a,b的夹角为钝角”的必要不充分条件,
故选：B.
5．答案：A
解析：如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥即为该几何体.
其中为直角三角形，，，，所以其面积为；
为等腰三角形，，，点C到边的距离为4，所以其面积为；
为等腰三角形，，，所以点C到边距离为，
所以其面积为；
为等腰三角形，，，所以点C到边的距离为，
所以其面积为.
综上，该几何体各个面中面积最大的面为，其面积为.
故选：A.
6．答案：A
解析：，
由题意知：，，所以，
在中， （m），
在中，由正弦定理得，
所以（m），
中，（m）.
故选：A
7．答案：B
解析：，
表示6个因式的乘积，
在这6个因式中，有3个因式选，其余的3个因式中有一个选x，剩下的两个因式选，即可得到含的项，
故含的项系数是
故选：B.
8．答案：B
解析：因为，所以，
即，则
所以
则，即.
故选：B.
9．答案：D
解析：圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆C的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
10．答案：C
解析：显然，，，是两两互斥的事件，且
，，而，①错误，②正确；
，，所以，③正确；
④正确；
，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
故选：C
11．答案：B
解析：因为为偶函数，所以，
两边同时求导得，即，
所以，令，得，
令，得，又因为，所以，
由，所以，所以的周期为6，则，
而，所以，所以.
故选：B
12．答案：D
解析：由球的表面积，得，
因为为直角三角形，所以的外接球球心O在底面的投影为中点，
而，，故P在底面的投影为垂直平分线与垂直平分线的交点，即中点H，
，，可得，
设，则，
设，令，，则，
，
故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当即时，函数取最大值，此时四棱锥的体积最大，长为.
故选：D

13．答案：540
解析：第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案，
其中1、1、4分配方式有种；1、2、3，分配方式有种；2、2、2，分配方式有种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为.
故答案为：540
14．答案：9
解析：设切点为，，则切线斜率可表示为由题有.又切线可表示为：
，代入可得，又a，b为正实数，则，当且仅当，即，时取等号.
故答案为：9.
15．答案：
解析：由双曲线方程知：实半轴长，虚半轴长，且，
设圆C与分别切于M，N，E，如下图所示：

由圆的切线性质知：，，
由双曲线定义知：，即，
设，则，解得：，
由切线性质可知：C与E横坐标都为a，
由三角形内切圆的性质知：为的角平分线，
设直线的倾斜角为，则，
，
，
双曲线渐近线为：，其倾斜角分别为和，
又直线与双曲线的右支交于A，B两点，直线的倾斜角范围为，
则，，.
故答案为：.
16．答案：
解析：依题意，存在实数使不等式成立，
，，
令，，则存在实数使不等式，，成立.
和的图象如下图所示，
结合图象可知，m取得最大值时，与相切，
由于和关于直线对称，
所以m取得最大值时，与相切于直线（切点相同），如图所示.
，设切点为，则斜率为①.
，设切点为，则斜率，
则，，
将代入①得，即，
所以，，
故答案为：
17．答案：（1）证明见解析；
（2）正整数n为1，2
解析：（1）由已知得，
所以，
其中，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以，
，
所以，
所以
，
当时，单调递减，其中，，，
所以满足的所有正整数n为1，2.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取中点E，连接，，

，，四边形为平行四边形，，
又，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，即，又，平面，
平面.
（2）取中点F，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以C为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，作z轴平行于直线，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
平面轴，平面的一个法向量，
，解得：，满足，
.
19．答案：（1），分布列见解析，，
（2）有资格参加复赛
解析：（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0，1，2，则，
又，，，
则X的分布列为：
故.
（2），
，则，又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛.
20．答案：（1）；
（2）6
解析：（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，
设，，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线不与x轴重合，
设直线方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，令得点M纵坐标，
同理可得点N纵坐标，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，
，
由，故，解得.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为在上单调递增，
所以在区间上恒成立，所以，
令，则，
令，则.
当时，，单调递增，，
所以，所以在上单调递增，
故，所以.a的取值范围为.
（2）由，得，
所以，
令，则，
令，则，
当时，，，
则，，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
，在上单调递增，且，
所以，当时，，，上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
所以，所以成立，
当时，当时，，在上单调递减，，
在上单调递减，
因为，所以在上单调递减，此时，舍去.
当时，当时，，
在上单调递减，，在上单调递增，.舍去；
当时，当时，，在上单调递增，，在上单调递减，，在上单调递增，此时，，舍去，
综上，.
22．答案：（1），；
（2）2.
解析：（1）由曲线C的参数方程，得曲线C的普通方程为.
即，
由极坐标与直角坐标的互化公式，，得曲线C的极坐标方程为.
直线的极坐标方程为，即；
（2）设点的极坐标为，点Q的极坐标为，其中.
由（1）知，.
.
，..
当，即时，取得最小值2.
23．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
解析：（Ⅰ）由题意，当时，函数，
当时，，解得;
当时，， 无解;
当时， 解得；
所以的解集为.
（Ⅱ）由已知关于x的不等式解集包含，
等价于|在恒成立，
因为，，所以不等式恒成立
即在恒成立，即，
又，，所以，
故a的取值集合是.
X
0
1
2
P