四川省绵阳市高中2024届高三第三次诊断性考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市高中2024届高三第三次诊断性考试数学（文）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数，则( )
A.B.4C.5D.25
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.16B.24C.40D.48
4．用1，3，4三个数字组成无重复数字的三位数，其中小于300的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知等比数列的前n项和为,满足,,则( )
A.B.C.9D.27
6．若函数的图象关于直线对称，在下列选项中，( )不是的零点
A.-1B.C.D.
7．已知单位向量，的夹角为，，，（O，A不重合），则的值为( )
A.B.0C.D.
8．国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率今年月发电量-去年同期月发电量）去年同期月发电量），如统计图，下列说法不正确的是( )
A.2023年第一季度的发电量平均值约为204
B.2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量
C.2022年11月发电量也高于该年12月发电量
D.2023年下半年发电量的中位数为245.2
9．已知函数,存在使得,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10．在平行四边形ABCD中，，，，沿对角线BD将三角形ABD折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线AB与CD所成角为( )
A.B.C.D.
11．若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是( )
A.，B.，C.D.
12．如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，点A在M、B之间，点N与点M关于原点对称，延长BN交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，直线AB的斜率为( )
A.B.1C.D.
二、填空题
13．已知，，若，则______.
14．已知双曲线,若,则该双曲线的离心率为______________.
15．底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截,截去一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则所得圆台的侧面积为______________.
16．在中，D是BC边上一点，，若，且的面积为，则______.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
18．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试.在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下频率分布直方图和列联表：
（1）求调试前生产的电池平均持续放电时间，及列联表中a的值；
（2）根据列联表分析，能否有的把握认为参数调试影响了产品质量？
附：
19．如图，四棱锥中，，，平面平面PBC，平面平面PBC.
（1）点E是PB的中点，求证：平面PCD；
（2）若，，求三棱锥体积的最大值.
20．设.
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）当时，证明：.
21．已知椭圆的离心率为，过点的直线l交椭圆C于点A，B，且当轴时，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）记椭圆C的左焦点为F，若过F，A，B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线l的斜率.
22．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),
（1）求曲线与y轴的交点坐标;
（2）以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,与交于A,B两点,求的大小.
23．已知,且,函数的最小值为2.
（1）求a,b的值;
（2）求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为复数，则.
故选：C
2．答案：D
解析：，，
故，
故选：D
3．答案：A
解析：根据三视图可知该几何体是如图所示的一个四棱锥,
且面,底面为正方形,
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：用1，3，4三个数字组成无重复数字的三位数一共可以有个，
其中小于300的有134，143两个，
所以概率为，
故选：C
5．答案：C
解析：由,,得,
即,由得,所以.
故选：C.
6．答案：A
解析：由于的周期，
又的图象关于直线对称，
所以的零点满足，，所以，，均为的零点，-1不是的零点，
故选：A
7．答案：C
解析：由，，得，
由，可得，
所以或，
由于O，A不重合，所以，故，
故选：C
8．答案：C
解析：选项A：由图中数据可知，2023年第一季度的发电量平均值约为，正确；
选项B：由图中数据可知，2023年4月的同比增长率为负数，
故该月发电量低于上一年同期发电量，正确；
选项C：根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为，
2022年12月发电量为，而，
则2022年11月发电量低于该年12月发电量，错误；
选项D：2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下，210.5，234.6，244.3，246.1，258.9，269.2，
所以中位数为，正确.
故选：C
9．答案：D
解析：,
当时,当时,,
如图：
恒成立,不满足题意;
当时,,
如图：
当时,．
故选：D．
10．答案：D
解析：
取BC中点，AD中点，BD中点，
则为外心，为外心，，，
因为，则，
翻折后，过作直线垂直于平面BCD，过作直线垂直于平面ABD，两直线的交点为O，即为球心，设球半径为r
由题意可得，可得，即
且，
则由勾股定理可得，
由，得四边形为菱形，
由平面ABD，平面ABD，可得，
所以四边形为正方形，，
由，可得异面直线AB与CD所成角为，
故选：D.
11．答案：C
解析：，
令，，
若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意，
若，则方程有两个实数根，
由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根，
若另一个实数根为0，此时，显然满足条件，
若令一个实数根为负根，则，故，
结合选项可知，一定成立，
故选：C
12．答案：A
解析：设直线AB方程为且，，，
由，则直线BN方程为，
联立，
由韦达定理可得，将其代入，可得
故，
由，可得，即，
解得，故，
故，
故选：A
13．答案：2
解析：由，可得，
故答案为：2
14．答案：或
解析：.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图,设原圆锥母线为l,则,则,
所以圆台的侧面积为：.
故答案为：.
16．答案：
解析：作的角平分线AM，
由，得，
故AD是的角平分线，
根据等面积法可得
由于，，
所以，
又，所以，
，
所以，所以，
因此，故为等边三角形，
所以，
，，
故答案为：
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，，则.
当时，由①，得②，
①②，得，
，即，
数列是以为首项，-2为公比的等比数列，，
当时也满足上式，
.
（2）由（1）得，
.
18．答案：（1）调试前生产的电池平均持续放电时间为11小时，
（2）有的把握认为参数调试影响了产品质量
解析：（1）由频率分布直方图可得调试前生产的电池平均持续放电时间为
小时，
由调试后的频率分布直方图可得不合格的概率为，而不合格的数量为12，所以合格的概率为0.8，数量为48，故，
（2）根据随机抽取样本数据，可得下面的列联表，
则，
所以有的把握认为参数调试影响了产品质量．
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）延长CD，BA交于Q，连接PQ，显然面面，
由面面PBC，面面PBC，所以面PBC，
由于平面平面PBC，两个平面的交线为PB，
由于，E是PB中点，所以，平面PBC，
故平面PBC，所以，
由平面PCD，面PCD，则平面PCD.
（2）取PC，BP的中点分别为F，E，连接AE，EF，FD，
所以，又，所以，
由（1）知E是PB的中点，平面PCD，
平面AEFD，且平面平面，
故，因此四边形AEFD为平行四边形，
由（1）知平面PBC，故平面PBC，且，
设，
，
当且仅当，即时取最大值，故最大值为，
20．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，
，
，
又，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要证，即证，
只需证，
设，即证：在上恒成立，
则，
令，
所以，
令，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以在恒成立，则在上单调递增，
所以，原不等式得证.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）椭圆C的方程为，
当轴时，，所以点在椭圆上，
依题意，解得，，，
椭圆C的方程为；
（2）设圆心，，，，
显然直线l的斜率存在，设，
由，则，
又，代入得到：，
同理可得，
则，分别是的两根，
由韦达定理可得，
又联立与，
得，
，，
所以，
故，解得，
直线l的斜率为，
22．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由的参数方程得：
即曲线的普通方程为：,
令,得或4,
曲线与y轴的交点坐标为,.
（2）将的极坐标方程,即,
所以,化为直角坐标方程：,
是过点且倾斜角为的直线,
不妨设,则,
因为为直径,所以,
.
23．答案：（1）,
（2）2
解析：（1）,当且仅当等号成立,
故,又,故,结合,解得,.
（2）,
令,,
则,因为,故,
即的最大值为2.
产品
合格
不合格
调试前
24
16
调试后
a
12
0.050
0.010
0.001
3841
6.635
10.828
产品
合格品
淘汰品
总计
调试前
24
16
40
调试后
48
12
60
总计
72
28
100