高考物理一轮复习10.2磁场--带电粒子在匀强磁场中的运动(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习10.2磁场--带电粒子在匀强磁场中的运动(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了对洛伦兹力的理解和应用，带电粒子在有界匀强磁场中的运动，带电粒子在磁场中运动的多解问题，“数学圆”方法在电磁学中的应用等内容，欢迎下载使用。


考向一、对洛伦兹力的理解和应用
考向二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
考向三、带电粒子在磁场中运动的多解问题
考向四、“数学圆”方法在电磁学中的应用
考向一、对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力方向
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分清正、负电荷。
2．洛伦兹力与电场力
【典例1】（2022年广东省普通高中学业水平选择性考试）7. 如图所示，一个立方体空间被对角平面划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】AB．由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；
CD．根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故CD错误。
故选A。
【典例2】(2022贵阳摸底)如图所示，a、b两根长直导线垂直纸面放置，两导线内通有大小相等、方向相反的电流，O点在纸面与导线平面的交线上且到两导线距离相等，MN是过O点且垂直于导线平面的竖直线，一个带电粒子从M点以速度v沿MN方向运动，粒子重力不计，下列说法正确的是 ( )
A．粒子沿MN方向先做加速运动后做减速运动
B．粒子沿MN方向一直做匀速直线运动
C．粒子偏向MN左侧先做加速运动后做减速运动
D．粒子偏向MN右侧先做减速运动后做加速运动
【答案】B
【解析】根据右手螺旋定则和磁场叠加原理可知，两通电直导线在直线MN上所产生的合磁场方向始终沿MN方向，当带电粒子沿MN方向运动时，其运动方向正好与合磁场方向平行，则带电粒子不受洛伦兹力作用，故粒子将一直做匀速直线运动，选项B正确．
练习1、(2020·浙江省1月高中学业水平考试)下列表示运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向正确的是( )
【答案】D
【解析】A图和B图中v∥B，所以电荷所受洛伦兹力为零，选项A、B错误；根据左手定则可知，C图中电荷所受洛伦兹力方向向上，D图中电荷所受洛伦兹力方向向右，选项C错误，D正确。
练习2、(2022·大连模拟)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。半径略小于绝缘管半径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是( )
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向竖直向外
【答案】C
【解析】根据安培定则可知，直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示，
洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当运动到ab中点时，磁感线与速度方向平行，所受洛伦兹力为零，自a端到中点洛伦兹力竖直向下，中点至b端洛伦兹力竖直向上，B、D错误，C正确。
【巧学妙记】
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
考向二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．确定圆心
方法一 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
方法二 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙。
2．确定半径
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
3．求解时间
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)。
4．运动轨迹
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间
t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2m（π－θ）,qB)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,qB)
(2)平行边界磁场
带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示．
(3)圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(2θ,2π)T＝eq \f(2θm,qB)，θ＋α＝90°
)
（4）三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。
（5）矩形边界的磁场
带电粒子在矩形(正方形)边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
【典例3】（多选）（2022年辽宁省普通高中学业水平等级性考试）8. 粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子1可能为中子
B. 粒子2可能为电子
C. 若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】AD
【解析】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；
C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；
D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有
解得可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。
故选AD。
【典例4】（2022年6月浙江省普通高中学业水平等级性考试）22. 离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），
【解析】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v离子在磁场中圆周运动半径为，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度ω′t′ = 2nπ + θ
转筒转动角速度，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中k = 1，，n = 0，2
可得
练习3、(2020·全国Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．eq \f(7πm,6qB) B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB) D．eq \f(3πm,2qB)
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动qBv＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，可得粒子在磁场中的周期T＝eq \f(2πm,qB)，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(θm,qB)，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长．采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大．当半径r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期．当0.5R练习4.(2022湖北荆门调考)如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)、以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
【答案】C
【解析】粒子运动周期T＝eq \f(2πm,Bq)，当θ一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(2π－2θ,2π)T＝eq \f(π－θ,π)T，ω＝eq \f(2π,T)，由于t、ω均与v无关，故A、B错误．当v一定时，由r＝eq \f(mv,Bq)知，r一定，当θ从0变至eq \f(π,2)的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于eq \f(π,2)时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误．故选C.
【巧学妙记】
带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
1．解题关键点
(1)关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点。
(2)关注涉及临界点条件的几个结论
①粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v变化时，圆心角越大，对应的运动时间越长。
2．一般思维流程
考向三、“数学圆”方法在电磁学中的应用
题型一 “平移圆”模型
题型二 “旋转圆”模型
题型三 “放缩圆”模型
题型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【典例5】(2020·全国卷Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【答案】C
【解析】为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有eq \r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq \f(4,3)a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝meq \f(v2,r)，解得B＝eq \f(3mv,4ae)，选项C正确。
【典例6】(多选)(2021·海南高考)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P(0，eq \r(3)L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤180°))。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则( )
A．粒子一定带正电
B．当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为eq \f(2\r(3)qBL,m)
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3eq \r(5)L
【答案】ACD
【解析】根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，
粒子运动的半径为r＝eq \f(\r(3)L,cs 60°)＝2eq \r(3)L，洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，解得粒子入射速率v＝eq \f(2\r(3)qBL,m)。若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确；粒子离开磁场的位置距离O点最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知(2r)2＝(eq \r(3)L)2＋xm2，解得xm＝3eq \r(5)L，D正确。
练习5．(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R1＝16 cm，内环的半径R2＝4 cm，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出)，不断放出初速度大小均为v0＝1.6×106 m/s，方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷eq \f(q,m)；
(3)若照相底片沿OP放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
[解析] (1)由左手定则可知，粒子带正电．
(2)如图所示，设粒子的质量为m，带电荷量为q，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，依题意有2R＝R1＋R2，R＝10 cm
由牛顿第二定律qv0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)
代入数据解得eq \f(q,m)＝3.2×107 C/kg
(3)若照相底片沿OP放置，则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度，如图所示，在△O1OM中，由几何关系有OM2＝R2－(R－R2)2，解得OM＝8 cm
MN＝R－OM，联立代入数据解得MN＝2 cm
练习6.(2022·北京市丰台区高三上期末)如图所示，ABCD与MNQP均为边长为l的正方形区域，且A点为MN的中点．ABCD区域中存在有界的垂直纸面方向的匀强磁场，在整个MNQP区域中存在图示方向的匀强电场．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度垂直于BC射入正方形ABCD区域，且都从A点进入电场，已知从C点进入磁场的粒子在ABCD区域中运动时始终位于磁场中，不计电子重力，求：
(1)匀强磁场区域中磁感应强度B的大小和方向；
(2)要使所有粒子均能打在PQ边上，电场强度E至少为多大；
(3)ABCD区域中磁场面积的最小值是多少．
[解析] (1)由洛伦磁力提供向心力可得ev0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),r)
由题意则有r＝l
解得B＝eq \f(mv0,el)，方向为垂直纸面向外
(2)沿AN方向进入电场的粒子能打在PQ边上则所有粒子都能打在PQ边上，在匀强电场中做类平抛运动，则有eE＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
eq \f(l,2)＝v0t
解得E＝eq \f(8mveq \\al(2,0),el)
(3)图中阴影部分为磁场最小范围，由几何关系可知
Smin＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πl2－\f(1,2)l2))＝eq \f(1,2)πl2－l2
练习7、(多选)(2022·湖北省武汉市第二中学高三上模拟)如图所示，直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AC长为2L，AB长为L。从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒子，方向与AC垂直，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断正确的是( )
A．以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等
B．BC边上有粒子出射的区域长度不超过eq \f(\r(3),3)L
C．AB边上有粒子出射的区域长度为(eq \r(3)－1)L
D．从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为eq \f(πm,6qB)
【答案】BC
【解析】若不同速率入射的粒子在磁场中运动时都从AC边射出，则运动的时间相等，A错误；如图甲，当粒子的速度无穷大时可认为粒子不发生偏转从E点射出，从BC边上有粒子出射的区域在BE部分，由几何关系知长度不超过Ltan 30°＝eq \f(\r(3),3)L，B正确；
由图乙可知，AB边上有粒子出射的区域为BF之间，由几何关系可知：eq \f(r,BC)＝eq \f(L－r,2L)，解得r＝(2eq \r(3)－3)L，则BF＝L－eq \f(r,tan 60°)＝(eq \r(3)－1)L，C正确；从AB边上出射的粒子在B点射出时时间最短，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间最短为t＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)，D错误。
练习8、(2022陕西西安八校联考)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.eq \f(π,kB)B．eq \f(π,2kB)
C．eq \f(π,3kB)D．eq \f(π,4kB)
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2kBr,Bk)＝2r，周期为T＝eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2π,kB)，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，弦长最大值为磁场区域圆的直径2r，根据几何关系可得轨迹所对圆心角为60°，故tmax＝eq \f(T,6)＝eq \f(π,3kB)，选项C正确．
练习9．(多选)(2022·山东省日照市高三下二模)如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q，质量为m，速度为v＝eq \f(qBR,m)，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
【答案】ACD
【解析】首先可以确定朝着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：Bqv＝meq \f(v2,r)，将速度代入，解得：r＝R，那么由几何关系知道该质子最后沿着OC方向从O点的正下方C点射出磁场，故A正确；再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，由几何知识可知四边形DEOC是菱形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点水平入射的质子也从O点的正下方C点射出，故C正确；质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，质子的运动时间越长，对着圆心入射的质子运动轨迹不是最短，因此对着圆心入射的质子在磁场中的运动时间不是最短的，故B错误；根据以上分析可知，所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确．
【巧学妙记】
分析方法
(1)数学方法和物理方法的结合:如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值,利用“三角函数”“不等式的性质”“一元二次方程的判别式”等求极值。
(2)一个“解题流程”,突破临界问题。
考向四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
类型1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
类型2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向
不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
类型3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
类型4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例7】（多选）（湖北省2022年普通高中学业水平等级考试）8. 在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（ ）
A. kBL，0°B. kBL，0°C. kBL，60°D. 2kBL，60°
【答案】BC
【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有
可得
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向夹角为θ=60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
故可知BC正确，AD错误。
故选BC。
【典例8】(2022·东北三省四市教研联合体4月模拟二)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？
【答案】 (2＋eq \r(2))eq \f(Bqd,m)(q为正电荷)或(2－eq \r(2))eq \f(Bqd,m)(q为负电荷)
【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论。
若带电粒子带正电荷，当粒子入射速率最大时，轨迹是图中与NN′相切的eq \f(1,4)圆弧，
则轨迹半径R＝eq \f(mv,Bq)
又d＝R－Rsin45°
解得v＝eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)
若带电粒子带负电荷，当粒子入射速率最大时，轨迹是图中与NN′相切的eq \f(3,4)圆弧，
则轨迹半径R′＝eq \f(mv′,Bq)
又d＝R′＋R′sin45°
解得v′＝eq \f(2－\r(2)Bqd,m)。
练习10、(2022·广东省汕头市高三二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B，顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、带电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则粒子能通过B点时发射的速率v0为( )
A.eq \f(2qBL,m) B.eq \f(3qBL,2m) C.eq \f(2qBL,3m) D.eq \f(qBL,7m)
【答案】D
【解析】粒子带正电，且经过B点，其可能的运动轨迹如图所示，
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径r＝eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝meq \f(v02,r)，解得v0＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(qBL,nm)(n＝1,2,3，…)，故A、B、C错误，D正确。
练习11、(多选)(2022·北京市朝阳区校际联考)如图所示，一磁感应强度为B的匀强磁场垂直纸面向里，且范围足够大．纸面上M、N两点之间的距离为d，一质量为m的带电粒子(不计重力)以水平速度v0从M点垂直进入磁场后会经过N点，已知M、N两点连线与速度v0的方向成30°角．以下说法正确的是( )
A．粒子可能带负电
B．粒子一定带正电，电荷量为eq \f(mv0,dB)
C．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(πd,3v0)
D．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(13πd,3v0)
【答案】BCD
【解析】由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由几何关系可知，r＝d，由qv0B＝meq \f(v02,r)可知电荷量为q＝eq \f(mv0,dB)，选项B正确；粒子运动的周期T＝eq \f(2πd,v0)，第一次到达N点的时间为t1＝eq \f(1,6)T＝eq \f(πd,3v0)，粒子第三次经过N点的时间为t5＝2T＋t1＝eq \f(4πd,v0)＋eq \f(πd,3v0)＝eq \f(13πd,3v0)，选项C、D正确．
1.(2022·山东省菏泽市高三下二模)从太阳和其他星体发射出的高能粒子流，在射向地球时，由于地磁场的存在，改变了运动方向，对地球起到了保护作用。如图为地磁场的示意图，赤道上方的磁场可看成与地面平行，若有来自宇宙的一束粒子流，其中含有α(He的原子核)、β(电子)、γ(光子)射线以及质子，沿与地球表面垂直的方向射向赤道上空，则在地磁场的作用下
A．α射线沿直线射向赤道
B．β射线向西偏转
C．γ射线向东偏转
D．质子向北偏转
2.(2022·天津市部分区高三上期末)如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向从c点射入磁场区域，射入点c与ab的距离为eq \f(\r(6)－\r(2),4)R，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计粒子重力，已知sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)） ( )
A.eq \f(\r(2)qBR,2m) B.eq \f(\r(2)qBR,m)
C.eq \f(\r(6)－\r(2)qBR,m) D.eq \f(2qBR,m)
3. (多选)(2022·湖南省永州市高三下第一次适应性测试)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )
A.eq \f(2＋\r(2)Bqd,m) B.eq \f(Bqd,m) C.eq \f(2－\r(2)Bqd,m) D.eq \f(\r(2)Bqd,2m)
4. (2022山东省济南市高三下模拟考试)如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S。某一时刻，粒子源S沿纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间后有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON＝30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于eq \f(T,2)(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A.eq \f(T,3) B．eq \f(T,4)
C．eq \f(T,6) D．eq \f(T,8)
5. (多选)(2022·安徽省合肥市高三上开学考试)如图所示，正三角形ABC区域内存在垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁感应强度为B＝eq \f(2\r(3)mv0,3qL)，△ABC的边长为L，O为BC边的中点．大量质量为m、速度为v0的粒子从O点沿不同的方向垂直于磁场方向射入该磁场区域(不计粒子重力)，则从AB边和AC边射出的粒子在磁场中的运动时间可能为 ( )
A.eq \f(\r(3)πL,3v0)B．eq \f(\r(3)πL,6v0)
C．eq \f(\r(3)πL,9v0)D．eq \f(\r(3)πL,12v0)
6. (2022·云南省昆明市“三诊一模”二模)我国新托卡马克装置——中国环流器二号M装置由中核集团核工业西南物理研究院承建，托卡马克装置意在通过可控热核聚变的方式，给人类带来几乎无限的清洁能源，俗称“人造太阳”。要实现可控热核聚变，装置中必须有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是通过磁约束，使之长时间束缚在某个有限空间内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，磁感应强度大小为B，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各个方向的速度。欲保证带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为( )
A.eq \f(qBR2＋R1,2m) B.eq \f(qBR2－R1,2m)
C.eq \f(qBR22－R12,2mR1) D.eq \f(qBR22－R12,2mR2)
7 (多选)(2020.·河北保定市二模)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射出。则( )
.A.粒子的最大发射速率不超过eq \f(\r(3)qBl,4m)
B.粒子的最大发射速率不超过eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)－3))qBl,m)
C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为eq \f(\r(3)l,2)
8. (八省联考·湖南)在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速．如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里．平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d.在机械外力作用下，绝缘平板以速度v1竖直向上做匀速直线运动．一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上，不计带电粒子的重力．
(1)指出带电粒子的电性，并说明理由；
(2)求带电粒子在绝缘平板上的运动时间t；
(3)求整个过程中带电粒子在竖直方向位移的大小h.
1.(2022·云南省昆明市“三诊一模”二模)在北半球，地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下(以“×”表示)。如果家中电视机显像管的位置恰好处于南北方向，那么由南向北射出的电子束在地磁场的作用下将向哪个方向偏转( )
A．不偏转 B．向东
C．向西 D．无法判断
2. (2022湖北天门等八市模拟)如图所示，在横截面为圆形的云室内，沿直径方向装有铅板，匀强磁场垂直圆面(图中未标示)．从云室内侧壁发射一带电粒子，粒子刚好从云室圆心处垂直穿过铅板，留下如图所示的径迹，不考虑粒子的重力和云室中气体对粒子的阻力，整个过程中粒子质量、电荷量保持不变，下列判断正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子一定带负电
C．粒子在云室中铅板两侧的运动时间一定相等
D．粒子一定自铅板左侧向右穿过铅板
3.(2022·山东省滨州市高三下二模)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向里的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关a、b、c三条径迹以下判断正确的是( )
A．a、b、c都是正电子的径迹
B．a径迹对应的粒子动量最大
C．c径迹对应的粒子动能最大
D．c径迹对应的粒子运动时间最长
4. (多选)(2022·河北省张家口市高三下三模)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝eq \f(\r(3)qBL,4m)从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A．PB5.(2022·浙江省温州市高三二模)如图所示，水平放置的平行板长度为L、两板间距也为L，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为－e)，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0，欲使电子不与平行板相碰撞，则( )
A．v0>eq \f(eBL,2m)或v0eq \f(eBL,2m) D．v06. (多选)(2022·山东泰安检测)如图所示，圆形匀强磁场的半径为R、磁感应强度为B，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速度v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度方向沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m、电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
7. (2022·陕西渭南教学质量检测)如图所示，在0≤x≤0.3 m区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.2 T，方向垂直纸面向外。一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为2×104 m/s，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知粒子的电荷量为2×10－4 C，质量为4×10－10 kg，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.eq \f(π,2)×10－5 s B．eq \f(2π,3)×10－5 s
C．π×10－5 s D．eq \f(4π,3)×10－5 s
8. (多选)(2022·天津市南开区高三下一模)如图所示，宽d＝4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直于纸面向里．现有一群正粒子从O点以相同的速率在纸面内沿不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r＝10 cm，则( )
A．右边界－8 cmB．右边界0C．左边界y>16 cm处有粒子射出
D．左边界09. (2022·江苏省南京市高三下第三次调研)如图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是( )
A．所加磁场范围的最小面积是eq \f(πm2v02,2e2B2)
B．所加磁场范围的最小面积是eq \f(π＋2m2v02,2e2B2)
C．所加磁场范围的最小面积是eq \f(3π＋2m2v02,4e2B2)
D．所加磁场范围的最小面积是eq \f(3πm2v02,2e2B2)
10. (2022·江苏省南通市高三下第三次调研)如图所示，在xOy平面内，有一以O为圆心、R为半径的半圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为B。位于O点的粒子源向第二象限内的各个方向连续发射大量同种带电粒子，粒子均不会从磁场的圆弧边界射出。粒子的速率相等，质量为m、电荷量大小为q，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。
(1)若粒子带负电，求粒子的速率v应满足的条件及粒子在磁场中运动的最短时间t；
(2)若粒子带正电，求粒子在磁场中能够经过区域的最大面积。
12. (2022·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
13.(2022·江苏省泰州市高三下第三次调研)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于NSTM平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为－q的小球(可视为质点)从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为g.
(1)求电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．
1.(2021·北京高考)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计重力。根据上述信息可以得出( )
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
2、(2019·全国卷Ⅲ·18)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为
eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
3.(2019·全国Ⅱ卷)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A．eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B．eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C．eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D．eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
4.(多选)(2020·天津卷)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则( )
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为eq \f(qBa,m)
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距(eq \r(2)＋1)a
5.(2021·高考全国卷乙，T16)如图，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则eq \f(v1,v2)为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
6.(2021·湖南卷)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用．对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，r1))、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－r2)).在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)．
新课程标准
1．通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2．能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
命题趋势
预测此后高考对本专题会结合最新科技及生活实际，根据左手定则考查考查带电粒子在磁场中运动的匀速圆周运动模型的构建与应用．以此培养学生的物理观念、科学思维及科学态度
试题情境
生活实践类
生活和科技等
学习探究类
带电粒子在磁场中的运动
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v
不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与
场方向的关系
一定是F⊥B，
F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下
都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
作用效果
只改变电荷的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
考点31磁场--带电粒子在匀强磁场中的运动
考向一、对洛伦兹力的理解和应用
考向二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
考向三、带电粒子在磁场中运动的多解问题
考向四、“数学圆”方法在电磁学中的应用
考向一、对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力方向
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分清正、负电荷。
2．洛伦兹力与电场力
【典例1】（2022年广东省普通高中学业水平选择性考试）7. 如图所示，一个立方体空间被对角平面划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】AB．由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；
CD．根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故CD错误。
故选A。
【典例2】(2022贵阳摸底)如图所示，a、b两根长直导线垂直纸面放置，两导线内通有大小相等、方向相反的电流，O点在纸面与导线平面的交线上且到两导线距离相等，MN是过O点且垂直于导线平面的竖直线，一个带电粒子从M点以速度v沿MN方向运动，粒子重力不计，下列说法正确的是 ( )
A．粒子沿MN方向先做加速运动后做减速运动
B．粒子沿MN方向一直做匀速直线运动
C．粒子偏向MN左侧先做加速运动后做减速运动
D．粒子偏向MN右侧先做减速运动后做加速运动
【答案】B
【解析】根据右手螺旋定则和磁场叠加原理可知，两通电直导线在直线MN上所产生的合磁场方向始终沿MN方向，当带电粒子沿MN方向运动时，其运动方向正好与合磁场方向平行，则带电粒子不受洛伦兹力作用，故粒子将一直做匀速直线运动，选项B正确．
练习1、(2020·浙江省1月高中学业水平考试)下列表示运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向正确的是( )
【答案】D
【解析】A图和B图中v∥B，所以电荷所受洛伦兹力为零，选项A、B错误；根据左手定则可知，C图中电荷所受洛伦兹力方向向上，D图中电荷所受洛伦兹力方向向右，选项C错误，D正确。
练习2、(2022·大连模拟)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。半径略小于绝缘管半径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是( )
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向竖直向外
【答案】C
【解析】根据安培定则可知，直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示，
洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当运动到ab中点时，磁感线与速度方向平行，所受洛伦兹力为零，自a端到中点洛伦兹力竖直向下，中点至b端洛伦兹力竖直向上，B、D错误，C正确。
【巧学妙记】
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
考向二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．确定圆心
方法一 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
方法二 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙。
2．确定半径
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
3．求解时间
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)。
4．运动轨迹
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间
t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2m（π－θ）,qB)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,qB)
(2)平行边界磁场
带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示．
(3)圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(2θ,2π)T＝eq \f(2θm,qB)，θ＋α＝90°
)
（4）三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。
（5）矩形边界的磁场
带电粒子在矩形(正方形)边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
【典例3】（多选）（2022年辽宁省普通高中学业水平等级性考试）8. 粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子1可能为中子
B. 粒子2可能为电子
C. 若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】AD
【解析】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；
C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；
D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有
解得可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。
故选AD。
【典例4】（2022年6月浙江省普通高中学业水平等级性考试）22. 离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），
【解析】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v离子在磁场中圆周运动半径为，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度ω′t′ = 2nπ + θ
转筒转动角速度，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中k = 1，，n = 0，2
可得
练习3、(2020·全国Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．eq \f(7πm,6qB) B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB) D．eq \f(3πm,2qB)
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动qBv＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，可得粒子在磁场中的周期T＝eq \f(2πm,qB)，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(θm,qB)，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长．采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大．当半径r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期．当0.5R练习4.(2022湖北荆门调考)如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)、以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
【答案】C
【解析】粒子运动周期T＝eq \f(2πm,Bq)，当θ一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(2π－2θ,2π)T＝eq \f(π－θ,π)T，ω＝eq \f(2π,T)，由于t、ω均与v无关，故A、B错误．当v一定时，由r＝eq \f(mv,Bq)知，r一定，当θ从0变至eq \f(π,2)的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于eq \f(π,2)时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误．故选C.
【巧学妙记】
带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
1．解题关键点
(1)关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点。
(2)关注涉及临界点条件的几个结论
①粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v变化时，圆心角越大，对应的运动时间越长。
2．一般思维流程
考向三、“数学圆”方法在电磁学中的应用
题型一 “平移圆”模型
题型二 “旋转圆”模型
题型三 “放缩圆”模型
题型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【典例5】(2020·全国卷Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【答案】C
【解析】为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有eq \r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq \f(4,3)a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝meq \f(v2,r)，解得B＝eq \f(3mv,4ae)，选项C正确。
【典例6】(多选)(2021·海南高考)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P(0，eq \r(3)L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤180°))。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则( )
A．粒子一定带正电
B．当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为eq \f(2\r(3)qBL,m)
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3eq \r(5)L
【答案】ACD
【解析】根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，
粒子运动的半径为r＝eq \f(\r(3)L,cs 60°)＝2eq \r(3)L，洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，解得粒子入射速率v＝eq \f(2\r(3)qBL,m)。若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确；粒子离开磁场的位置距离O点最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知(2r)2＝(eq \r(3)L)2＋xm2，解得xm＝3eq \r(5)L，D正确。
练习5．(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R1＝16 cm，内环的半径R2＝4 cm，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出)，不断放出初速度大小均为v0＝1.6×106 m/s，方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷eq \f(q,m)；
(3)若照相底片沿OP放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
[解析] (1)由左手定则可知，粒子带正电．
(2)如图所示，设粒子的质量为m，带电荷量为q，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，依题意有2R＝R1＋R2，R＝10 cm
由牛顿第二定律qv0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)
代入数据解得eq \f(q,m)＝3.2×107 C/kg
(3)若照相底片沿OP放置，则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度，如图所示，在△O1OM中，由几何关系有OM2＝R2－(R－R2)2，解得OM＝8 cm
MN＝R－OM，联立代入数据解得MN＝2 cm
练习6.(2022·北京市丰台区高三上期末)如图所示，ABCD与MNQP均为边长为l的正方形区域，且A点为MN的中点．ABCD区域中存在有界的垂直纸面方向的匀强磁场，在整个MNQP区域中存在图示方向的匀强电场．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度垂直于BC射入正方形ABCD区域，且都从A点进入电场，已知从C点进入磁场的粒子在ABCD区域中运动时始终位于磁场中，不计电子重力，求：
(1)匀强磁场区域中磁感应强度B的大小和方向；
(2)要使所有粒子均能打在PQ边上，电场强度E至少为多大；
(3)ABCD区域中磁场面积的最小值是多少．
[解析] (1)由洛伦磁力提供向心力可得ev0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),r)
由题意则有r＝l
解得B＝eq \f(mv0,el)，方向为垂直纸面向外
(2)沿AN方向进入电场的粒子能打在PQ边上则所有粒子都能打在PQ边上，在匀强电场中做类平抛运动，则有eE＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
eq \f(l,2)＝v0t
解得E＝eq \f(8mveq \\al(2,0),el)
(3)图中阴影部分为磁场最小范围，由几何关系可知
Smin＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πl2－\f(1,2)l2))＝eq \f(1,2)πl2－l2
练习7、(多选)(2022·湖北省武汉市第二中学高三上模拟)如图所示，直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AC长为2L，AB长为L。从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒子，方向与AC垂直，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断正确的是( )
A．以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等
B．BC边上有粒子出射的区域长度不超过eq \f(\r(3),3)L
C．AB边上有粒子出射的区域长度为(eq \r(3)－1)L
D．从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为eq \f(πm,6qB)
【答案】BC
【解析】若不同速率入射的粒子在磁场中运动时都从AC边射出，则运动的时间相等，A错误；如图甲，当粒子的速度无穷大时可认为粒子不发生偏转从E点射出，从BC边上有粒子出射的区域在BE部分，由几何关系知长度不超过Ltan 30°＝eq \f(\r(3),3)L，B正确；
由图乙可知，AB边上有粒子出射的区域为BF之间，由几何关系可知：eq \f(r,BC)＝eq \f(L－r,2L)，解得r＝(2eq \r(3)－3)L，则BF＝L－eq \f(r,tan 60°)＝(eq \r(3)－1)L，C正确；从AB边上出射的粒子在B点射出时时间最短，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间最短为t＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)，D错误。
练习8、(2022陕西西安八校联考)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.eq \f(π,kB)B．eq \f(π,2kB)
C．eq \f(π,3kB)D．eq \f(π,4kB)
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2kBr,Bk)＝2r，周期为T＝eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2π,kB)，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，弦长最大值为磁场区域圆的直径2r，根据几何关系可得轨迹所对圆心角为60°，故tmax＝eq \f(T,6)＝eq \f(π,3kB)，选项C正确．
练习9．(多选)(2022·山东省日照市高三下二模)如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q，质量为m，速度为v＝eq \f(qBR,m)，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
【答案】ACD
【解析】首先可以确定朝着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：Bqv＝meq \f(v2,r)，将速度代入，解得：r＝R，那么由几何关系知道该质子最后沿着OC方向从O点的正下方C点射出磁场，故A正确；再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，由几何知识可知四边形DEOC是菱形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点水平入射的质子也从O点的正下方C点射出，故C正确；质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，质子的运动时间越长，对着圆心入射的质子运动轨迹不是最短，因此对着圆心入射的质子在磁场中的运动时间不是最短的，故B错误；根据以上分析可知，所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确．
【巧学妙记】
分析方法
(1)数学方法和物理方法的结合:如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值,利用“三角函数”“不等式的性质”“一元二次方程的判别式”等求极值。
(2)一个“解题流程”,突破临界问题。
考向四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
类型1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
类型2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向
不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
类型3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
类型4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例7】（多选）（湖北省2022年普通高中学业水平等级考试）8. 在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（ ）
A. kBL，0°B. kBL，0°C. kBL，60°D. 2kBL，60°
【答案】BC
【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有
可得
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向夹角为θ=60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
故可知BC正确，AD错误。
故选BC。
【典例8】(2022·东北三省四市教研联合体4月模拟二)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？
【答案】 (2＋eq \r(2))eq \f(Bqd,m)(q为正电荷)或(2－eq \r(2))eq \f(Bqd,m)(q为负电荷)
【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论。
若带电粒子带正电荷，当粒子入射速率最大时，轨迹是图中与NN′相切的eq \f(1,4)圆弧，
则轨迹半径R＝eq \f(mv,Bq)
又d＝R－Rsin45°
解得v＝eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)
若带电粒子带负电荷，当粒子入射速率最大时，轨迹是图中与NN′相切的eq \f(3,4)圆弧，
则轨迹半径R′＝eq \f(mv′,Bq)
又d＝R′＋R′sin45°
解得v′＝eq \f(2－\r(2)Bqd,m)。
练习10、(2022·广东省汕头市高三二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B，顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、带电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则粒子能通过B点时发射的速率v0为( )
A.eq \f(2qBL,m) B.eq \f(3qBL,2m) C.eq \f(2qBL,3m) D.eq \f(qBL,7m)
【答案】D
【解析】粒子带正电，且经过B点，其可能的运动轨迹如图所示，
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径r＝eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝meq \f(v02,r)，解得v0＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(qBL,nm)(n＝1,2,3，…)，故A、B、C错误，D正确。
练习11、(多选)(2022·北京市朝阳区校际联考)如图所示，一磁感应强度为B的匀强磁场垂直纸面向里，且范围足够大．纸面上M、N两点之间的距离为d，一质量为m的带电粒子(不计重力)以水平速度v0从M点垂直进入磁场后会经过N点，已知M、N两点连线与速度v0的方向成30°角．以下说法正确的是( )
A．粒子可能带负电
B．粒子一定带正电，电荷量为eq \f(mv0,dB)
C．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(πd,3v0)
D．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(13πd,3v0)
【答案】BCD
【解析】由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由几何关系可知，r＝d，由qv0B＝meq \f(v02,r)可知电荷量为q＝eq \f(mv0,dB)，选项B正确；粒子运动的周期T＝eq \f(2πd,v0)，第一次到达N点的时间为t1＝eq \f(1,6)T＝eq \f(πd,3v0)，粒子第三次经过N点的时间为t5＝2T＋t1＝eq \f(4πd,v0)＋eq \f(πd,3v0)＝eq \f(13πd,3v0)，选项C、D正确．
1.(2022·山东省菏泽市高三下二模)从太阳和其他星体发射出的高能粒子流，在射向地球时，由于地磁场的存在，改变了运动方向，对地球起到了保护作用。如图为地磁场的示意图，赤道上方的磁场可看成与地面平行，若有来自宇宙的一束粒子流，其中含有α(He的原子核)、β(电子)、γ(光子)射线以及质子，沿与地球表面垂直的方向射向赤道上空，则在地磁场的作用下
A．α射线沿直线射向赤道
B．β射线向西偏转
C．γ射线向东偏转
D．质子向北偏转
【答案】B
【解析】赤道上方磁场方向与地面平行、由南向北，根据左手定则可知，带正电的α射线和质子向东偏转，带负电的β射线向西偏转，不带电的γ射线不偏转，选项B正确。
2.(2022·天津市部分区高三上期末)如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向从c点射入磁场区域，射入点c与ab的距离为eq \f(\r(6)－\r(2),4)R，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计粒子重力，已知sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)） ( )
A.eq \f(\r(2)qBR,2m) B.eq \f(\r(2)qBR,m)
C.eq \f(\r(6)－\r(2)qBR,m) D.eq \f(2qBR,m)
【答案】B
【解析】粒子带正电，根据左手定则，判断出粒子受到的洛伦兹力向右，轨迹如图所示，
由射入点c与ab的距离为eq \f(\r(6)－\r(2),4)R，可知∠cO1a＝15°，由速度的偏转角为60°，可知∠cO2O1＝30°，在△cO2O1，由正弦定理得，轨迹半径r＝eq \r(2)R，由Bqv＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \f(\r(2)qBR,m)，B正确，A、C、D错误。
3. (多选)(2022·湖南省永州市高三下第一次适应性测试)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )
A.eq \f(2＋\r(2)Bqd,m) B.eq \f(Bqd,m) C.eq \f(2－\r(2)Bqd,m) D.eq \f(\r(2)Bqd,2m)
【答案】AC
【解析】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝eq \f(mv0,qB)知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的轨迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图
(a)所示(此时圆心为O点)，由几何关系得R1sin 45°＋d＝R1，将R1＝eq \f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)，A正确。若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，由几何关系得R2＋R2cs 45°＝d，将R2＝eq \f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq \f(2－\r(2)Bqd,m)，C正确。
4. (2022山东省济南市高三下模拟考试)如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S。某一时刻，粒子源S沿纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间后有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON＝30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于eq \f(T,2)(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A.eq \f(T,3) B．eq \f(T,4)
C．eq \f(T,6) D．eq \f(T,8)
【答案】A
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在OM直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦。当从边界OM射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，如图所示，根据几何知识，作ES⊥OM，则ES为最短的弦，即粒子从S到E的时间最短。由题意可知，粒子运动的最长时间等于eq \f(1,2)T，此时轨迹的弦为DS，设OS＝d，则DS＝OStan30°＝eq \f(\r(3),3)d，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝eq \f(DS,2)＝eq \f(\r(3),6)d，由几何知识有ES＝OSsin30°＝eq \f(1,2)d，sineq \f(θ,2)＝eq \f(\f(ES,2),r)＝eq \f(\f(d,4),\f(\r(3),6)d)＝eq \f(\r(3),2)，则θ＝120°，粒子在磁场中运动的最短时间tmin＝eq \f(θ,360°)T＝eq \f(1,3)T，A项正确。
5. (多选)(2022·安徽省合肥市高三上开学考试)如图所示，正三角形ABC区域内存在垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁感应强度为B＝eq \f(2\r(3)mv0,3qL)，△ABC的边长为L，O为BC边的中点．大量质量为m、速度为v0的粒子从O点沿不同的方向垂直于磁场方向射入该磁场区域(不计粒子重力)，则从AB边和AC边射出的粒子在磁场中的运动时间可能为 ( )
A.eq \f(\r(3)πL,3v0)B．eq \f(\r(3)πL,6v0)
C．eq \f(\r(3)πL,9v0)D．eq \f(\r(3)πL,12v0)
【答案】BCD
【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得Bqv0＝meq \f(v\\al(2,0),r)，解得r＝eq \f(\r(3),2)L；粒子在磁场中运动的周期为T＝eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(\r(3)πL,v0).当轨迹圆弧对应的弦最长时，圆心角最大，运动时间最长，当轨迹圆弧对应的弦最短时，圆心角最小，运动时间最短．对于从AB边和AC边射出的粒子在磁场中的运动，可知最长的弦为OA＝eq \f(\r(3)L,2)＝r，恰好等于轨迹半径，对应的圆心角为60°，因此最长运动时间为tmax＝eq \f(60°,360°)T＝eq \f(\r(3)πL,6v0)；过O作AB边或AC边的垂线，设垂足为D，可知OD＝eq \f(\r(3),4)L为最短的弦，对应的圆心角略小于30°，因此最短运动时间略小于eq \f(30°,360°)T＝eq \f(\r(3)πL,12v0).故A错误，B、C、D正确．
6. (2022·云南省昆明市“三诊一模”二模)我国新托卡马克装置——中国环流器二号M装置由中核集团核工业西南物理研究院承建，托卡马克装置意在通过可控热核聚变的方式，给人类带来几乎无限的清洁能源，俗称“人造太阳”。要实现可控热核聚变，装置中必须有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是通过磁约束，使之长时间束缚在某个有限空间内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，磁感应强度大小为B，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各个方向的速度。欲保证带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为( )
A.eq \f(qBR2＋R1,2m) B.eq \f(qBR2－R1,2m)
C.eq \f(qBR22－R12,2mR1) D.eq \f(qBR22－R12,2mR2)
【答案】B
【解析】由r＝eq \f(mv,Bq)可知，粒子的速度越大，在磁场中运动的半径越大，故带电粒子的最大速度可通过最大半径求得，最大半径为rmax＝eq \f(R2－R1,2)。根据r＝eq \f(mv,qB)，得vmax＝eq \f(qBR2－R1,2m)，A、C、D错误，B正确。
7 (多选)(2020.·河北保定市二模)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射出。则( )
.A.粒子的最大发射速率不超过eq \f(\r(3)qBl,4m)
B.粒子的最大发射速率不超过eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)－3))qBl,m)
C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为eq \f(\r(3)l,2)
【答案】AD
【解析】要使没有粒子从OC边界射出，沿如图路线运动的粒子不离开磁场，满足eq \f(1,2)lsin 60°＝eq \f(mv,qB)，v＝eq \f(\r(3)qBl,4m)，故A正确，B错误；粒子速度v＝eq \f(\r(3)Bql,4m)，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2R＝lsin60°＝eq \f(\r(3),2)l，故C错误，D正确。
8. (八省联考·湖南)在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速．如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里．平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d.在机械外力作用下，绝缘平板以速度v1竖直向上做匀速直线运动．一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上，不计带电粒子的重力．
(1)指出带电粒子的电性，并说明理由；
(2)求带电粒子在绝缘平板上的运动时间t；
(3)求整个过程中带电粒子在竖直方向位移的大小h.
【答案】见解析
【解析】(1)因为带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，所以此时与v1对应的洛伦兹力的分力水平向左，根据左手定则可以判定，小球带正电．
(2)带电粒子在离开光滑绝缘平板之前，其运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的匀速直线运动．在此过程中，粒子所受洛伦兹力的水平分力
F洛1＝qv1B ①
设粒子在水平方向做匀速直线运动的加速度为a，对粒子由牛顿运动定律和运动学公式有
F洛1＝ma ②
d＝eq \f(1,2)at2 ③
联立①②③式得t＝eq \r(\f(2dm,qv1B)) ④
(3)带电粒子离开绝缘板之前做类平抛运动，离开后做匀速圆周运动垂直入射到荧光屏上，其运动过程如图所示
粒子做类平抛运动竖直方向的位移
h1＝v1t ⑤
带电粒子离开绝缘板时水平方向的速度
v2＝at ⑥
带电粒子做匀速圆周运动的速度大小为
v＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2)) ⑦
设粒子做匀速圆周运动的半径为r，对带电粒子由洛伦兹力公式和匀速圆周运动规律有
qvB＝meq \f(v2,r) ⑧
粒子离开绝缘平板后竖直方向的位移为h2＝R－Rsin θ ⑨
在绝缘平板时上升的高度h1＝v1t ⑩
总高度h＝h1＋h2 eq \(○,\s\up1(11))
联立可得
h＝eq \r(\f(2dmv1,Bq))＋eq \f(\r(m（2qv1Bd＋mveq \\al(2,1)）),Bq)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\r(\f(2qBd,2qBd＋mv1)))) eq \(○,\s\up1(12))
1.(2022·云南省昆明市“三诊一模”二模)在北半球，地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下(以“×”表示)。如果家中电视机显像管的位置恰好处于南北方向，那么由南向北射出的电子束在地磁场的作用下将向哪个方向偏转( )
A．不偏转 B．向东
C．向西 D．无法判断
【答案】B
【解析】根据左手定则可判断由南向北运动的电子束所受洛伦兹力方向向东，因此电子束向东偏转，故B正确。
2. (2022湖北天门等八市模拟)如图所示，在横截面为圆形的云室内，沿直径方向装有铅板，匀强磁场垂直圆面(图中未标示)．从云室内侧壁发射一带电粒子，粒子刚好从云室圆心处垂直穿过铅板，留下如图所示的径迹，不考虑粒子的重力和云室中气体对粒子的阻力，整个过程中粒子质量、电荷量保持不变，下列判断正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子一定带负电
C．粒子在云室中铅板两侧的运动时间一定相等
D．粒子一定自铅板左侧向右穿过铅板
【答案】D
【解析】由于磁场方向不确定，无法判断粒子带电性质，A、B错误；由于整个过程中粒子质量、电荷量保持不变，故粒子在铅板左右两侧运动的周期不变，又因为带电粒子穿过铅板动能有损失，轨道半径会减小，由题图可知带电粒子在铅板左边的运动轨迹半径大于右边的轨迹半径，而轨迹圆弧对应的弦长都等于云室的半径，所以粒子在左边偏转的圆心角小于右边偏转的圆心角，即粒子在铅板左侧运动的时间小于右侧运动的时间，C错误；粒子在铅板左边的运动轨迹半径大于右边的轨迹半径，由向心力公式qvB＝meq \f(v2,r)，得轨道半径公式r＝eq \f(mv,qB)，左侧速度大于右侧速度，故粒子一定是从左向右穿过铅板，D正确．
3.(2022·山东省滨州市高三下二模)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向里的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关a、b、c三条径迹以下判断正确的是( )
A．a、b、c都是正电子的径迹
B．a径迹对应的粒子动量最大
C．c径迹对应的粒子动能最大
D．c径迹对应的粒子运动时间最长
【答案】C
【解析】带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，A错误；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(mv,qB)，由图可知Ra＜Rb＜Rc，所以va＜vb＜vc，根据p＝mv，可知pa＜pb＜pc，B错误；根据Ek＝eq \f(1,2)mv2，可知Eka＜Ekb＜Ekc，C正确。带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，T＝eq \f(2πR,v)，则T＝eq \f(2πm,qB)，所以Ta＝Tb＝Tc，粒子在磁场中的运动时间t＝eq \f(α,2π)T，其中α为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D错误。
4. (多选)(2022·河北省张家口市高三下三模)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝eq \f(\r(3)qBL,4m)从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A．PB【答案】 BD
【解析】粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：
粒子在磁场中的运动轨迹半径为r＝eq \f(mv,Bq)，因此可得r＝eq \f(\r(3),4)L，当入射点为
P1，圆心为O1，且此刻轨迹正好与BC相切时，PB取得最大值，若粒子从BC边射出，根据几何关系有PB5.(2022·浙江省温州市高三二模)如图所示，水平放置的平行板长度为L、两板间距也为L，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为－e)，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0，欲使电子不与平行板相碰撞，则( )
A．v0>eq \f(eBL,2m)或v0eq \f(eBL,2m) D．v0【答案】A
【解析】 此题疑难点在于确定“不与平行板相碰撞”的临界条件．电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R＝eq \f(mv0,eB)，如图所示．
当R1＝eq \f(L,4)时，电子恰好与下板相切；当R2＝eq \f(L,2)时，电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场)．由R1＝eq \f(mv1,eB)，解得v1＝eq \f(eBL,4m)，由R2＝eq \f(mv2,eB)，解得v2＝eq \f(eBL,2m)，所以欲使电子不与平行板相碰撞，电子初速度v0应满足v0>eq \f(eBL,2m)或v06. (多选)(2022·山东泰安检测)如图所示，圆形匀强磁场的半径为R、磁感应强度为B，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速度v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度方向沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m、电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
【答案】ACD
【解析】对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(θm,qB)知，运动时间t越短，故A项正确，B项错误；速度v＝eq \f(qBR,m)时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r＝eq \f(mv,qB)＝R，根据几何关系可知入射点P、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，沿不同方向射入磁场，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜eq \f(1,2)T＝eq \f(πm,qB)，故C、D两项正确。
7. (2022·陕西渭南教学质量检测)如图所示，在0≤x≤0.3 m区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.2 T，方向垂直纸面向外。一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为2×104 m/s，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知粒子的电荷量为2×10－4 C，质量为4×10－10 kg，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.eq \f(π,2)×10－5 s B．eq \f(2π,3)×10－5 s
C．π×10－5 s D．eq \f(4π,3)×10－5 s
【答案】D
【解析】由洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)，代入数据解得r＝0.2 m，当轨迹与右边界相切时粒子在磁场中运动的时间最长，粒子的运动轨迹如图，由几何关系可得r＋rsinθ＝0.3，解得θ＝30°，所以粒子的偏转角α＝240°，所以最长的运动时间tmax＝eq \f(240°,360°)T＝eq \f(4π,3)×10－5 s。故D项正确。
8. (多选)(2022·天津市南开区高三下一模)如图所示，宽d＝4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直于纸面向里．现有一群正粒子从O点以相同的速率在纸面内沿不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r＝10 cm，则( )
A．右边界－8 cmB．右边界0C．左边界y>16 cm处有粒子射出
D．左边界0【答案】AD
【解析】根据左手定则可知，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由轨道半径r＝10 cm画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示，则OO1＝O1A＝OO2＝O2C＝O2E＝10 cm，由几何知识求得AB＝BC＝8 cm，OE＝16 cm，选项A、D正确，B、C错误．
9. (2022·江苏省南京市高三下第三次调研)如图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是( )
A．所加磁场范围的最小面积是eq \f(πm2v02,2e2B2)
B．所加磁场范围的最小面积是eq \f(π＋2m2v02,2e2B2)
C．所加磁场范围的最小面积是eq \f(3π＋2m2v02,4e2B2)
D．所加磁场范围的最小面积是eq \f(3πm2v02,2e2B2)
【答案】B
【解析】设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得ev0B＝meq \f(v02,R)，即R＝eq \f(mv0,eB)，电子从y轴穿过的范围为OM＝2R＝2eq \f(mv0,eB)，初速度沿x轴正方向的电子沿OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿OC运动到荧光屏MN上的Q点；由几何知识可得PQ＝R＝eq \f(mv0,eB)，取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有x＝－Rsin θ，y＝R＋Rcs θ，即x2＋(y－R)2＝R2，又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的场的边界是以(0，R)为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为S＝eq \f(3,4)πR2＋R2－eq \f(1,4)πR2＝eq \f(π,2)＋1eq \f(mv0,eB)2＝eq \f(π＋2m2v02,2e2B2)，故B正确。
10. (2022·江苏省南通市高三下第三次调研)如图所示，在xOy平面内，有一以O为圆心、R为半径的半圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为B。位于O点的粒子源向第二象限内的各个方向连续发射大量同种带电粒子，粒子均不会从磁场的圆弧边界射出。粒子的速率相等，质量为m、电荷量大小为q，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。
(1)若粒子带负电，求粒子的速率v应满足的条件及粒子在磁场中运动的最短时间t；
(2)若粒子带正电，求粒子在磁场中能够经过区域的最大面积。
【答案】(1)v≤eq \f(qBR,2m) eq \f(πm,qB) (2)eq \f(1,8)πR2
【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则：qvB＝meq \f(v2,r)
由几何关系有：r≤eq \f(R,2)
联立得：v≤eq \f(qBR,2m)
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T＝eq \f(2πm,qB)
由粒子在磁场中运动的轨迹可得，沿y轴正向射入磁场中的粒子在磁场中运动时间最短，则：t＝eq \f(T,2)
联立可得：t＝eq \f(πm,qB)。
(2)分析可得，粒子在磁场中能经过的区域为半圆，如图中阴影部分，
有几何关系可得该半圆的半径：
r′＝eq \f(1,2)R
面积：S＝eq \f(1,2)πr′2
联立可得：S＝eq \f(1,8)πR2。
12. (2022·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
【答案】(1)eq \f(143πm,90qB) (2)eq \f(qBl,4m) 【解析】(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示
有qBv0＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)
又T＝eq \f(2πR,v0)
解得T＝eq \f(2πm,Bq)
又由几何关系得θ＝74°
则粒子在磁场中运动的最长时间t＝eq \f(360°－θ,360°)T＝eq \f(143πm,90qB)。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图2所示，设此时初速度为v01，轨迹半径为R1，由几何关系可得
R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝eq \f(mveq \\al(2,01),R1)
解得v01＝eq \f(qBl,4m)
当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图3所示，设此时初速度为v02，轨迹半径为R2，由几何关系可得
R2＋R2cs 37°＝l
又qBv02＝eq \f(mveq \\al(2,02),R2)
解得v02＝eq \f(5qBl,9m)
综上可得eq \f(qBl,4m)13.(2022·江苏省泰州市高三下第三次调研)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于NSTM平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为－q的小球(可视为质点)从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为g.
(1)求电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．
【答案】见解析
【解析】(1)小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力合力为零，即mg＝qE
解得：E＝eq \f(mg,q)，电场力方向竖直向上，电场方向竖直向下；
(2)粒子运动轨迹如图所示：
设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，
对应的粒子在上、下区域的轨道半径分别为r1、r2，圆心的连线与NS的夹角为φ，
小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝meq \f(v2,r)
解得，粒子轨道半径：r＝eq \f(mv,qB)
r1＝eq \f(mvmin,qB)，r2＝eq \f(1,2)r1
由几何知识得：(r1＋r2)sin φ＝r2，r1＋r1cs φ＝h
解得：vmin＝(9－6eq \r(2))eq \f(qBh,m)
(3)小球运动轨迹如图所示，
设粒子入射速度为v，
粒子在上、下区域的轨道半径分别为r1、r2，
粒子第一次通过KL时距离K点为x，
由题意可知：3nx＝1.8h(n＝1、2、3…)
eq \f(3,2)x≥r2
eq \f(3,2)x≥eq \f(（9－6\r(2)）h,2)，x＝eq \r(req \\al(2,1)－（h－r1）2)
解得：r1＝(1＋eq \f(0.36,n2))eq \f(h,2)，n＜3.5
即：n＝1时，v＝eq \f(0.68qBh,m)
n＝2时，v＝eq \f(0.545qBh,m)
n＝3时，v＝eq \f(0.52qBh,m)
1.(2021·北京高考)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计重力。根据上述信息可以得出( )
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【解析】 粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作出轨迹如图所示，O1为轨迹圆心，由几何关系可知OO1＝atan30°＝eq \f(\r(3),3)a，轨迹半径R＝eq \f(a,cs30°)＝eq \f(2\r(3),3)a，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)a))2＝eq \f(4,3)a2，故A正确；由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，解得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝eq \f(qBR,m)，轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知且不可求出，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故B、D错误；带电粒子在磁场中转过的圆心角为eq \f(2,3)π，周期为T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(\f(2,3)π,2π)T＝eq \f(2πm,3qB)，因磁感应强度B未知且不可求出，则运动时间无法求出，故C错误。
2、(2019·全国卷Ⅲ·18)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为
eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
【答案】B
【解析】设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，
对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误．
3.(2019·全国Ⅱ卷)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A．eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B．eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C．eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D．eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【答案】B
【解析】a点射出粒子半径Ra＝eq \f(l,4)＝eq \f(mva,Bq)，得：va＝eq \f(Bql,4m)＝eq \f(Blk,4)，d点射出粒子半径为Req \\al(2,d)＝l2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Rd－\f(l,2)))2，Rd＝eq \f(5,4)l，故vd＝eq \f(5Bql,4m)＝eq \f(5klB,4)，故B选项符合题意．
4.(多选)(2020·天津卷)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则( )
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为eq \f(qBa,m)
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距(eq \r(2)＋1)a
【答案】AD
【解析】粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确；粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°，根据几何关系可知∠OMO1＝∠OO1M＝45°，OM＝OO1＝a
则粒子运动的轨道半径为r＝O1M＝eq \f(a,cs θ)＝eq \r(2)a
洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \f(\r(2)qBa,m)，BC错误；N与O点的距离为NO＝OO1＋r＝(eq \r(2)＋1)a，D正确．
5.(2021·高考全国卷乙，T16)如图，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则eq \f(v1,v2)为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
【答案】 B
【解析】
根据题意作出粒子运动轨迹的圆心如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有速度方向偏转90°时的半径r1＝R，速度方向偏转60°时的半径r2＝eq \r(3)R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝eq \f(mv2,r)可得v＝eq \f(qrB,m)，所以eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(\r(3),3)。
6.(2021·湖南卷)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用．对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，r1))、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－r2)).在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)．
【解析】(1)粒子垂直x进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
qvB1＝meq \f(v2,r1)
解得B1＝eq \f(mv,qr1)
(2)粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入然后平行x轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域
磁场半径为r2，根据qvB＝meq \f(v2,r)可知磁感应强度为B2＝eq \f(mv,qr2)
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πreq \\al(2,2)
(3)粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周
根据qvB＝meq \f(v2,r)可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度为BⅠ＝eq \f(mv,qr3)，BⅢ＝eq \f(mv,qr4)
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取Ⅰ区域如图
图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周eq \(S,\s\up8(︵))AOB与三角形SAOB之差，所以阴影部分的面积为
S1＝2(eq \(S,\s\up8(︵))AOB－SAOB)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πreq \\al(2,3)－\f(1,2)req \\al(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π－1))req \\al(2,3)
类似地可知Ⅳ区域的阴影部分面积为
SⅣ＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πreq \\al(2,4)－\f(1,2)req \\al(2,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π－1))req \\al(2,4)
根据对称性可知Ⅱ中的匀强磁场面积为SⅡ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π－1))req \\al(2,3)
新课程标准
1．通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2．能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
命题趋势
预测此后高考对本专题会结合最新科技及生活实际，根据左手定则考查考查带电粒子在磁场中运动的匀速圆周运动模型的构建与应用．以此培养学生的物理观念、科学思维及科学态度
试题情境
生活实践类
生活和科技等
学习探究类
带电粒子在磁场中的运动
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v
不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与
场方向的关系
一定是F⊥B，
F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下
都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
作用效果
只改变电荷的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法