河南省郑州市金水区河南省实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份河南省郑州市金水区河南省实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）3月份我校实验考试圆满结束，某同学在做“观察番茄果肉细胞”生物实验时，发现番茄果肉细胞的直径约为0.00000072米，将此数据用科学记数法表示为（ ）
A．7.2×10﹣8B．72×10﹣7C．7.2×10﹣7D．0.72×10﹣8
3．（3分）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝2a6
B．x2+x3＝x5
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2
5．（3分）如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
6．（3分）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
7．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
8．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
9．（3分）下列语句叙述正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
10．（3分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因．如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳．体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
A．运动后血乳酸浓度先升高再降低
B．当t＝20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L
C．采用静坐方式放松时，运动员大约30min后就能基本消除疲劳
D．为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）∠A＝32°，则∠A的补角等于 °．
12．（3分）若3x＝6，9y＝2，则3x+2y的值为 ．
13．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝14，CG＝3，则△ABG的面积是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，点D是AC边上一动点，将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点F处，连接BF，交AC于点E．当△DEF是直角三角形时，∠BDC的度数为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：[（2x﹣y）2﹣（2x﹣y）（y+2x）﹣4xy]÷2y．
17．（9分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形△A1B1C．
（2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得BP⊥AC．
（3）在图3中，请在直线l上找一点M，使△MAB周长值最小．
18．（8分）如图，AB∥CD，EF与AB、CD交于点G、H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数．
解：∵EF与CD交于点H，（ ），
∴∠3＝∠4（ ），
∵∠3＝60°（已知）∴∠4＝60°（ ），
∵AB∥CD，EF与AB、CD交于点G、H（已知），
∴∠4+∠HGB＝180°（ ）
∴∠HGB＝ ，
∵GM平分∠FGB（已知），
∴∠1＝ ＝ （ ）．
19．（9分）如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求：
（1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？
（2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率．
20．（9分）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5的自然数可用代数式10n+5来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】
第1个等式：152＝（1×2）×100+25；
第2个等式：252＝（2×3）×100+25；
第3个等式：352＝（3×4）×100+25；
…
【规律应用】
（1）写出第4个等式： ；写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示）；
（2）根据以上的规律直接写出结果：2024×2025×100+25＝ 2；
（3）若与100n的差为4925，求n的值．
21．（9分）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试．甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处120m，测试点丙距离甲处320m．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留6min后，继续匀速走到丙处，停留8min后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离y（m）随离开测试点甲的时间x（min）变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该款新型智能机器人活动过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）补全表格：
（3）图中点A表示的意义是 ；
（4）当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为 min．
22．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）．
公式①：（a+b）2＝a2+2ab+b2
公式②：（a+b+c）d＝ad+bd+bd
公式③：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ．
（2）请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2：
（3）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）
23．（11分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点B作BE⊥AC，垂足为E，连接AD交BE于点F．
（1）猜想∠CBE与∠CAD的数量关系，并说明理由；
（2）P是射线EB上的点，过点C作CG∥EB交PD的延长线于点G．
①如图2，若点P在EB的延长线上，请说明PE＝BE+CG的理由；
②若BE＝3，CG＝1.5，则PE＝ ．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．（3分）3月份我校实验考试圆满结束，某同学在做“观察番茄果肉细胞”生物实验时，发现番茄果肉细胞的直径约为0.00000072米，将此数据用科学记数法表示为（ ）
A．7.2×10﹣8B．72×10﹣7C．7.2×10﹣7D．0.72×10﹣8
【解答】解：0.00000072＝7.2×10﹣7，
故选：C．
3．（3分）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【解答】解：甲，不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等；
乙，符合两边对应相等，且夹角相等，乙和已知三角形全等；
丙，符合AAS，即三角形和已知图的三角形全等；
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝2a6
B．x2+x3＝x5
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2
【解答】解：（2a2）3＝8a6，则A不符合题意；
x2与x3不是同类项，无法合并，则B不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则C不符合题意；
（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2，则D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【解答】解：∵∠FEG＝90°，
∴∠GED+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝35°，
∴∠GED＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠GHB＝∠GED＝55°．
故选：C．
6．（3分）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
【解答】解：∵O是AB、CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB＝AD，
∵AD＝30cm，
∴CB＝30cm．
所以，依据是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等．
故选：A．
7．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
C、两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，不符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
9．（3分）下列语句叙述正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项符合题意；
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．（3分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因．如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳．体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
A．运动后血乳酸浓度先升高再降低
B．当t＝20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L
C．采用静坐方式放松时，运动员大约30min后就能基本消除疲劳
D．为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【解答】解：由题意可知：
A．运动后血乳酸浓度先升高再降低，说法正确，故选项A不合题意；
B．当t＝20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L，说法正确，故选项B不合题意；
C．采用静坐方式放松时，运动员大约70min后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项C符合题意；
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，说法正确，故选项D不合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）∠A＝32°，则∠A的补角等于 148 °．
【解答】解：∵∠A＝32°，
∴∠A的补角＝180°﹣32°＝148°．
故答案为：148．
12．（3分）若3x＝6，9y＝2，则3x+2y的值为 12 ．
【解答】解：3x+2y＝3x•32y＝6×9y＝6×2＝12．
故答案为：12．
13．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 ．
【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则GE＝1，E到DC的距离d＝，
阴影区域的面积为：1×＝，
大正方形的面积是：22＝4，
所以小球最终停留在阴影区域上的概率是＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝14，CG＝3，则△ABG的面积是 21 ．
【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，
由作图可得，AF为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴GH＝CG＝3，
∴△ABG的面积为＝×14×3＝21．
故答案为：21．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，点D是AC边上一动点，将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点F处，连接BF，交AC于点E．当△DEF是直角三角形时，∠BDC的度数为 45°或59° ．
【解答】解：如图1，△DEF是直角三角形，且∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝90°，
由翻折得∠FDB＝∠ADB，
∵∠FDB+∠ADB+∠ADF＝360°，
∴2∠FDB+90°＝360°，
∴∠FDB＝135°，
∴∠BDC＝∠FDB﹣∠EDF＝135°﹣90°＝45°；
如图2，△DEF是直角三角形，且∠DEF＝90°，
∴BF⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BF经过点C，
∵∠A＝28°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝62°，
∴∠FBD＝∠ABD＝∠ABC＝×62°＝31°，
∴∠BDC＝90°﹣∠FBD＝90°﹣31°＝59°；
∵∠F＝∠A，且∠A为锐角，
∴∠F≠90°，
∴不存在△DEF是直角三角形，且∠F＝90°的情况，
综上所述，∠BDC的度数为45°或59°，
故答案为：45°或59°．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：[（2x﹣y）2﹣（2x﹣y）（y+2x）﹣4xy]÷2y．
【解答】解：（1）
＝﹣1+9+1
＝9；
（2）[（2x﹣y）2﹣（2x﹣y）（y+2x）﹣4xy]÷2y
＝[4x2﹣4xy+y2﹣（4x2﹣y2）﹣4xy]÷2y
＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+y2﹣4xy）÷2y
＝（﹣8xy+2y2）÷2y
＝﹣4x+y．
17．（9分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形△A1B1C．
（2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得BP⊥AC．
（3）在图3中，请在直线l上找一点M，使△MAB周长值最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求；
（2）如图，在网格中选取点D，连接BD，BD与直线l的交点即为点P；
证明：由勾股定理可得：BA＝BC＝＝，DA＝DC＝＝，
∴BD⊥AC，
∴BP⊥AC；
（3）连接AB1交直线l于点M，则点M即为所求．
18．（8分）如图，AB∥CD，EF与AB、CD交于点G、H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数．
解：∵EF与CD交于点H，（ 已知 ），
∴∠3＝∠4（ 对顶角相等 ），
∵∠3＝60°（已知）∴∠4＝60°（ 等量代换 ），
∵AB∥CD，EF与AB、CD交于点G、H（已知），
∴∠4+∠HGB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠HGB＝ 120° ，
∵GM平分∠FGB（已知），
∴∠1＝ ∠FGB ＝ 60° （ 角平分线定义 ）．
【解答】解：∵EF与CD交于点H，（已知），
∴∠3＝∠4（对顶角相等），
∵∠3＝60°（已知）∴∠4＝60°（等量代换），
∵AB∥CD，EF与AB、CD交于点G、H（已知），
∴∠4+∠HGB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠HGB＝120°，
∵GM平分∠FGB（已知），
∴∠1＝∠FGB＝60°（角平分线定义 ）．
故答案为：已知，对顶角相等，等量代换，两直线平行，同旁内角互补，120°，∠FGB，60°，角平分线定义．
19．（9分）如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求：
（1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？
（2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率．
【解答】解：（1）∵一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，
∴转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是＝；
（2）设a＝3，b＝6，小明再转动一次，转出的数字为c，
由三角形的三边关系得：b﹣a＜c＜b+a，
即6﹣3＜c＜6+3，
∴3＜c＜9，
∴c＝4或5或6或7或8，
∴这三条线段能构成三角形的概率为．
20．（9分）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5的自然数可用代数式10n+5来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】
第1个等式：152＝（1×2）×100+25；
第2个等式：252＝（2×3）×100+25；
第3个等式：352＝（3×4）×100+25；
…
【规律应用】
（1）写出第4个等式： 452＝（4×5）×100+25 ；写出你猜想的第n个等式： （10n+5）2＝100n（n+1）+25 （用含n的等式表示）；
（2）根据以上的规律直接写出结果：2024×2025×100+25＝ 20245 2；
（3）若与100n的差为4925，求n的值．
【解答】解：（1）由题知，
第4个等式为：452＝（4×5）×100+25；
依次类推，
第n个等式为：（10n+5）2＝100n（n+1）+25；
故答案为：452＝（4×5）×100+25，（10n+5）2＝100n（n+1）+25．
（2）当n＝2024时，
（10×2024+5）2＝100×2024×2025+25，
即202452＝2024×2025×100+25．
故答案为：20245．
（3）由与100n的差为4925得，
100n（n+1）+25﹣100n＝4925，
解得n＝7（舍负），
故n的值为7．
21．（9分）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试．甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处120m，测试点丙距离甲处320m．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留6min后，继续匀速走到丙处，停留8min后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离y（m）随离开测试点甲的时间x（min）变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该款新型智能机器人活动过程中，自变量是 该款新型智能机器人离开测试点甲的时间 ，因变量是 该款新型智能机器人离测试点甲的距离 ；
（2）补全表格：
（3）图中点A表示的意义是 该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米 ；
（4）当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为 18或39.5 min．
【解答】解：（1）款新型智能机器人活动过程中，自变量是该款新型智能机器人离开测试点甲的时间，因变量是该款新型智能机器人离测试点甲的距离；
故答案为：该款新型智能机器人离开测试点甲的时间；该款新型智能机器人离测试点甲的距离；
（2）14﹣24分钟的速度为：（320﹣120）÷（24﹣14）＝20（米/分钟），
故20分钟时离测试点甲的距离为：120+20×（20﹣14）＝240（米），
由题意可知，30分钟时离测试点甲的距离为320米；
故答案为：240，320；
（3）由题意可知，点A的坐标为（32，320），
故图中点A表示的意义是该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米；
故答案为：该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米；
（4）返回时的速度为：320÷（52﹣32）＝16（米/分钟），
当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为：14+（200﹣120）÷20＝18（分钟）或32+（320﹣200）÷16＝39.5（分钟）．
故答案为：18或39.5．
22．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）．
公式①：（a+b）2＝a2+2ab+b2
公式②：（a+b+c）d＝ad+bd+bd
公式③：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
图1对应公式 ② ，图2对应公式 ③ ，图3对应公式 ① ．
（2）请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2：
（3）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）
【解答】解：（1）图1“整体”上看长是（a+b+c），宽为d的长方形，因此面积为（a+b+c）d，
从“部分”上看三个长方形面积的和为ad+bd+cd，因此（a+b+c）d＝ad+bd+bd，
∴图①对应公式②，
图2“整体”上看长是（a+b），宽为（c+d）的长方形，因此面积为（a+b）（c+d），
从“部分”上看四个长方形面积的和为ac+ad+bc+bd，因此有（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，
∴图②对应公式③，
图3“整体”上看长是（a+b），宽为（a+b）的长方形，因此面积为（a+b）（a+b），
从“部分”上看四个部分面积的和为a2+2ab+b2，因此有（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，
∴图③对应公式①，
故答案为②，③，①；
（2）答案如图所示：
（3）由图可知：矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，∵AK＝BM＝BF﹣MF＝a﹣b，
BD＝BC﹣CD＝a﹣b，
∴S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，
∴，
＝S矩形CDHL+S矩形DBFG+S正方形EGHL，
＝S矩形CDHL+S矩形AKLC+b2，
∴a2＝S矩形AKHD+b2，
∴S矩形AKHD＝AK•AD＝（a﹣b）（a+b），
∴a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
23．（11分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点B作BE⊥AC，垂足为E，连接AD交BE于点F．
（1）猜想∠CBE与∠CAD的数量关系，并说明理由；
（2）P是射线EB上的点，过点C作CG∥EB交PD的延长线于点G．
①如图2，若点P在EB的延长线上，请说明PE＝BE+CG的理由；
②若BE＝3，CG＝1.5，则PE＝ 4.5或1.5 ．
【解答】（1）解：∠CBE＝∠CAD，理由如下：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵∠C+∠DAC＝90°＝∠C+∠CBE，
∴∠CBE＝∠CAD；
（2）①证明：∵CG∥BE，
∴∠P＝∠G，
又∵BD＝CD，∠BDP＝∠CDG，
∴△BDP≌△CDG（AAS），
∴PB＝CG，
∴PE＝PB+BE＝CG+BE；
②解：当点P在EB的延长线上，如图2，
∵PE＝CG+BE，BE＝3，CG＝1.5，
∴PE＝4.5；
当点P在线段BE上时，如图3，
同理可证△BDP≌△CDG，
∴PB＝CG，
∴PE＝BE﹣BP＝BE﹣CG＝1.5，
故答案为：4.5或1.5．离开测试点甲的时间x/min
5
12
20
30
离测试点甲的距离y/m
75
120


离开测试点甲的时间x/min
5
12
20
30
离测试点甲的距离y/m
75
120
240
320