2024年中考押题预测卷01（浙江卷）-数学（含考试版、全解全析

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．9的相反数是（ ）
A．3B．-3C．13D．-13
【答案】B
【分析】先求9的值，再根据相反数的概念即可得出答案．
【详解】解：∵9=3，3的相反数是-3，
∴ 9的相反数是-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．算术平方根的计算，解题的关键是掌握以上知识点．
2．下列计算正确的是（ ）
A．32=3B．-32=-3C．32=±3D．-32=±3
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、32=3，故本选项符合题意；
B、(-3)2=3≠-3，故本选项不符合题意；
C、32=3≠±3，故本选项不符合题意；
D、(-3)2=3≠±3，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．2024年中央电视广播总台“春节联欢晚会”，全媒体累计触达14200000000人次，较去年增长29％．数据14200000000用科学记数法表示应是（ ）
A．0.142×1011B．14.2×109C．1.42×109D．1.42×1010
【答案】D
【分析】此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：依题意，14200000000=1.42×1010
故选：D
4．若x+1x+2有意义，则字母x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥﹣1
【答案】D
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】解：∵x+1x+2有意义，
∴x+1≥0且x+2≠0，
解得：x≥﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
5．榫卯（sǔnmǎ），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图是：

故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
6．某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有5种购买方案．
【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：150x+100y=1800，
∴x=12-23y．
又∵x，y均为正整数，
∴ x=10y=3或x=8y=6或x=6y=9或x=4y=12或x=2y=15，
∴共有5种购买方案．故选：A．
7．丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．扇形统计图中的a为40%
B．本次抽样调查的样本容量是1000
C．在扇形统计图中，“其他”对应的扇形圆心角度数为36°
D．选择“公共交通”出行方式的人数为500
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用360°乘10%可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择“公共交通”出行的人数．
【详解】解：A、扇形统计图中的a为1-50%-10%=40%，故本选项不符合题意；
B、本次抽样调查的样本容量是100÷10%=1000，故本选项不符合题意；
C、“其他”对应的扇形圆心角度数为360°×10%=36°，故本选项不符合题意；
D、选择“公共交通”出行方式的人数为1000×40%=400人，故本选项符合题意；
故选：D．
8．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，则CD的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出AD∥BC,AB∥CD，证出∠DAE=∠F,∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE，由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，求出D E，即可得出CD的长．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，
∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF，
∵E是▱ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠F∠D=∠ECFDE=CE,
∴△ADE≌△FCE(AAS)；
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在△ADE中，AD=BC=5，
∴DE=AD2-AE2=52-32=4，
∴CD=2DE=8.故选：B．
9．如图，⊙O半径长2cm，点A、B、C是⊙O三等分点，D为圆上一点，连接AD，且AD=22cm，CD交AB于点E，则∠BED（ ）

A．75°B．65°C．60°D．55°
【答案】A
【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，连接OD，OA，BD，利用勾股定理的逆定理证明∠AOD=90°，则由圆周角定理得到∠DBE=12∠AOD=45°，再由点A、B、C是⊙O三等分点，得到∠BDC=180°×13=60°，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接OD，OA，BD，
∵⊙O半径长2cm，
∴OA=OD=2cm，
∵AD=22cm，
∴OA2+OD2=22+22=8=AD2，
∴△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，
∴∠DBE=12∠AOD=45°，
∵点A、B、C是⊙O三等分点，
∴∠BDC=180°×13=60°，
∴∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=75°，
故选：A．

10．如图，直线y=kx+bk≠0与抛物线y=ax2a≠0交于A，B两点，且点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，则以下结论：①a>0，b>0；②当x>0时，直线y=kx+b与抛物线y=ax2的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④当-2A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】①由抛物线的开口向上，一次函数与y轴的交点位置，即可判断；②观察图象，即可判断；③由点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行与已知矛盾，即可判断；④根据点A、B的横坐标，结合图象得出当-2【详解】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵一次函数与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴b>0，
故①正确；
②由图象得，一次函数的函数值都随着x的增大而增大；
∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，a>0，
∴当x>0时，抛物线y=ax2的函数值都随着x的增大而增大；
故②正确；
③∵点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，
若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，
即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴AB不可能为5，
故③不正确；
④∵点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，
∴结合图象可得：当-2故④正确；
⑤如图，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴点H，
∵抛物线y=ax2a≠0，A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，
∴点A的纵坐标=a×-22=4a，点B的纵坐标=a×32=9a，
∴OG=2，OH=3，AG=4a，BH=9a，
∵AG⊥x轴，BH⊥x轴，当OA⊥OB时，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠OAG=90°，∠AOG+∠BOH=90°，
∴∠OAG=∠BOH，
∴tan∠OAG=tan∠BOH，
OGAG=BHOH，
24a=9a3，
36a2=6，
解得：a=66，
故⑤不正确．
综上所述，正确的有①②④这3个，
故选：C．
【点睛】本题是一次函数和二次函数的综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质、结合图象求不等式的解、利用正切列式求解等，熟练掌握知识点、数形结合是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小：6 2.5（填“>”、“<”、或“=”）
【答案】<
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先得出两个实数的平方比较大小是解题的关键．
【详解】解：∵62=6，2.52=6.25，
6<6.25，
∴6<2.5，
故答案为：<．
12．分解因式：ax2-5ax+6a=
【答案】ax-2x-3
【分析】提取公因式a后，再运用十字相乘法分解即可．
【详解】解：原式=ax2-5x+6
=ax-2x-3
【点睛】此题主要考查了提取公因式法和运用十字相乘分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13．在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ．
【答案】38
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．
【详解】解：在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为34+3+1＝38；
故答案为38．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．点A-4，3，B0，k在二次函数y=-x+22+h的图象上，则k= ．
【答案】3
【分析】将A-4，3代入解析式中即可得到h的值，在当x=0代入即可求解．
【详解】解：∵点A-4，3在y=-x+22+h上，
∴--4+22+h=3，
解得h=7，
∴二次函数解析式为y=-x+22+7，
当x=0时，y=-0+22+7
=3，
∴k=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求解二次函数解析式，解决本题的关键是将将A-4，3代入解析式．
15．如图，⊙A的半径为3，作正六边形ABCDEF，点B，点F在⊙A上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ．
【答案】22
【分析】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【详解】解：∵正六边形的外角和为360°,
∴每一个外角的度数为360°÷6=60°,
∴正六边形的每个内角为
180°-60°=120°,
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得，2πr=120π×3180,
解得：r=1,
∴这个圆锥高=32-12=22
故答案为：22．
16．如图，点A是函数y=-8x(x<0)图象上一点，连接OA交函数y=-1x(x<0)图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC=AO，连接BC，那么△ABC的面积是 ．
【答案】8-22/-22+8
【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，反比例函数比例系数的几何意义得S△OAD=4，S△OBE=0.5，证△OAD∽△OBE得S△OADS△OBE=(OAOB)2，由此得OA=22OB，证得 S△ABC=(22-1)S△OBC，然后根据等腰三角形的性质得S△AOC=2S△OAD=8，则S△ABC+S△OBC=8，由此得得S△OBC=22，进而可得△ABC的面积．
【详解】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如下图所示：
∵点A是函数y=-8x(x<0)图象上一点，点B是反比例函数y=-1x(x<0)图象上的点，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAD=12×8=4，S△OBE=12×1=0.5，
∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AD∥BE，
∴△OAD∽△OBE，
∴ S△OADS△OBE=OAOB2，
∴ OAOB2=40.5=8，
∴OA=22OB，
∴AB=OA-OB=22OB-OB=(22-1)OB，
即ABOB=22-1，
∵ S△ABCS△OBC=ABOB=22-1，
∴S△ABC=(22-1)S△OBC，
∵AC=AO，AD⊥x轴，
∴OD=CD，
∴S△AOC=2S△OAD=8，
∴S△ABC+S△OBC=8，
即(22-1)S△OBC+S△OBC=8，
∴S△OBC=22，
∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=8-22．
故答案为：8-22．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题满分6分）（1）计算∶ 12 -3tan30°+π-40+ -12-1
（2）解方程：2x2-3x-4=0
【答案】解：（1）12 -3tan30°+π-40+ -12-1
=23-3×33+1-2，
=3-1．
（2）2x2-3x-4=0
∵a=2,b=-3,c=-4,
∴b2-4ac=-32-4×2×-4=41>0，
∴x=3±412×2，
∴x1=3+414,x2=3-414．
【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数及一元二次方程的解法，熟知实数的混合运算法则、特殊角的三角函数值及一元二次方程的解法是正确解决本题的关键．
运用实数的混合运算法则计算即可；
用公式法即可求解．
18．（本题满分6分）如图，在△ABC中，
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠C的角平分线交AB边于点M，延长线段CA，并在其延长线上截取线段AN，使得AN=AM，连接MN（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作的图形中，若∠BAC=2∠B，证明：MN=MB．
【答案】（1）作图如下：
证明：（2）由（1）可得AN=AM，
∴∠ANM=∠AMN，
∴∠BAC=∠ANM+∠AMN，
即∠BAC=2∠ANM，
又∵∠BAC=2∠B，
∴∠ANM=∠B，
∵CM平分∠ACB，
∴∠NCM=∠BCM，
在△CNM与△CBM中
∠CNM=∠B∠NCM=∠BCMCM=CM
∴△CNM≌△CBM(AAS)
∴MN=MB．
【分析】（1）作角的平分线，以点C为圆心，任意长为半径，作弧与AC，BC交于P，Q两点，分别以P，Q两点为圆心大于12PQ的长为半径作弧，两弧交于点T，作射线CT，与AB交于点M，再以点A为圆心AM长为半径，作弧与CA延长线交于点N，连接MN，作图为所求；
（2）根据AN=AM，∠BAC=2∠B，可以退出∠ANM=∠B，再利用角平分线得到相等的角，之后证明△CNM≌△CBM(AAS)，则结论可以得证．
【点睛】本题考查角平分线的作法，等腰三角形的等边对等角，其中利用角平分线推出三角形全等是解题关键．
19．（本题满分6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E．
(1)求证；四边形BCDE是菱形；
(2)若AB=5，E为AC的中点，当BC的长为______时，四边形BCDE是正方形．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，AC=ACAB=ADBC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAO=∠DAO，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，BO=DO，
∵BE∥CD，
∴∠BEO=∠DCO，∠EBO=∠CDO，
∴△EBO≌△CDO，
∴BE=CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：当BC的长为5时，四边形BCDE是正方形．理由如下：
∵四边形BCDE是菱形，
∴OB=OD，OE=OC，EC⊥BD，
∵E为AC的中点，∴AE=EC，
设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，
在Rt△OBA中，OB2=AB2-AO2= 52-(3a)2=25-9a2，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，
∴25-9a2=a2，
∴a2=52，
在Rt△OBC中，BC2=OB2+CO2= 25-9a2+a2=25-8×52=5，
∴BC=5(负值已舍)，
∴当BC的长为5时，四边形BCDE是正方形．
故答案为：5．
【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC，得到∠BAO=∠DAO，推出AC⊥BD，BO=DO，再证明△EBO≌△CDO，即可得出结论；
（2）根据题意设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，在Rt△OBA中，求得OB2=25-9a2，
根据正方形的性质得到a2=52，在Rt△OBC中，利用勾股定理即可求解．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．（本题满分8分）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mxx<0相交于A-3,1，B两点，与x轴相交于点C-4,0．
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接OA,OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x<0时，关于x的不等式kx+b【答案】（1）解：将A-3,1，C-4,0代入y=kx+b，得：
-3k+b=1-4k+b=0，
解得：k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4，
将A-3,1代入y=mxx<0，得m=-3，
∴反比例的解析式为y=-3xx<0；
（2）解：对于y=x+4，
当x=0时，y=4
∴点D的坐标为0,4，
由y=x+4y=3x，解得x=-3y=1或x=-1y=3，
∴点B的坐标为-1,3，
∴△AOB的面积=S△AOD-S△BOD=12×4×3-12×4×1=4；
（3）解：观察图象，当x<0时，关于x的不等式kx+b【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据△AOB的面积=S△AOD-S△BOD即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
21．（本题满分8分）小暑是二十四节气的第十一节气，这时候天气非常热，但还不是最热，所以称为小暑．小暑时节大江南北有着多种习俗，为了解学生最感兴趣的习俗，小莉从向阳中学中随机抽取200名学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整统计图．
(1)补全条形统计图．
(2)计算最感兴趣习俗为吃芒果中男生的人数．
(3)小亮看到折线统计图认为女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多，你同意吗？请说明理由．
【答案】（1）解：簪茉莉的人数：200-30-20-80-30=40（人），
补全统计图如下：
（2）解：吃芒果中男生的人数：80-80×70%=80-56=24（人），
（3）解：不同意女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多，理由如下：
∵生喜欢晒衣服的人数：20×80%=16（人），女生喜欢吃芒果的人数：80×70%=56（人），且16<56,
∴女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数少，
4000×25%=1000（人）
∴不同意女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多．
【分析】本题考查了数据的整理和分析，折线统计图与条形统计图的综合，
（1）用200减去吃藕、晒衣、吃芒果、扑流萤的人数即可得簪茉莉的人数，从而画出条形统计图．
（2）先求出吃芒果的女生人数，再用80减去吃芒果的女生人数即可得解．
（3）分别计算女生晒衣服的人数和吃芒果的人数，比较即可得解．
熟练掌握条形统计图的特征是解题的关键．
22．（本题满分10分）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB，点B，F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=12cm,CE:CD=1:3,∠DCF=45°,∠CDF=30°．请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的垂直距离（结果保留到1cm）．（参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45）
【答案】（1）解：过F作FH⊥DE于点H，
∴∠FHC=∠FHD=90∘，
∵∠FDC=30∘,DF=12，
在直角△FHD中，
sin30∘=FHDF,cs30∘=DHDF，
∴FH=sin30∘⋅DF=6，DH=cs30∘⋅DF=63，
∵∠FCH=45∘，
∴CH=FH=6，
∴CD=CH+DH=6+63，
∵CE:CD=1:3，
∴DE=43CD=8+83．
∵AB=BC=DE
∴AC=2DE=16+163cm
答：AC的长度为16+163cm．
（2）解：过A作AG⊥ED交ED的延长线于G,
∵∠ACG=45°，
∴AG=22AC=82+86=8×1.41+8×2.45=30.88≈31cm
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为31cm．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
23．（本题满分10分）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为320，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度（取整数）；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（-70，-21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
【答案】（1）①如图，作BD⊥x轴于D点，
由题意得AB=L=460，
∴OD=12L=230，
∵S:L=320，
∴S=320L=320×460=69，
∴BD=69，
∴点B的坐标为(230,69)；
②设y=ax2，
把B(230,69)代入得2302⋅a=69，
解得a=692300，
∴y与x的函数解析式为：y=32300x2；
③如图，设最长的吊杆为EF，
∵吊杆间距10m，
∴DF=10，
∴OF=230-10=220，
由y=32300x2得，x=220时，y=32300×2202≈63，
∴EF≈63，
∴最长的吊杆的长度约为63m．
（2）如图，作MN∥x轴，交抛物线于M、N两点，
由题意知yM=yN=6.9，代入抛物线解析式得32300x2=6.9，
解得x1=-2310，x2=2310，
∴xM=-2310，xN=2310，
∴MN=2×2310=4610，
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：4610+15050≈5.9<6，
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟．
（3）
设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，
设直线CB的表达式为y=kx+b，则
-21=-70k+b69=230k+b，
解得k=310b=0，
∴直线CB的表达式为：y=310x．
∵GH∥CB，
∴直线GH与直线CB的k相同，
设直线GH的表达式为y=310x+m，
联立y=32300x2y=310x+m，
得32300x2=310x+m，
整理得3x2-690x-2300m=0，
∵直线GH与抛物线只有一个交点，
∴Δ=-6902-4×3×-2300m=0，
解得m=-694，
∴直线GH的表达式为y=310x-694．
当y=-21时，-21=310x-694，
解得x=-252，
∴G(-252,-21)，
∴光源应放在-70,-21和(-252,-21)之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上．
【分析】（1）①作BD⊥x轴于D点，由题意得AB=L=460，根据S:L=320求出S的值，即可得BD的长，由此可得B点的坐标；
②设y=ax2，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式；
③设最长的吊杆为EF，由题意得OF=230-10=220，代入表达式中求出y的值，即可得EF的长，即吊杆的长．
（2）作MN∥x轴，交抛物线于M、N两点，则yM=yN=6.9，求出M、N两点的横坐标，进而可得MN的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果．
（3）设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，先求出直线CB的表达式为y=310x，由GH∥CB可知直线GH与直线CB的k相同，设直线GH的表达式为y=310x+m，联立抛物线和直线的表达式可得3x2-690x-2300m=0，由Δ=0，求出m的值为-694，由此可得GH直线的表达式为y=310x-694，求出G点的坐标即可得到答案．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
24．（本题满分12分）已知，AD、BC为⊙O两条弦，AD⊥BC于点E，连接OE，AE=CE．
(1)如图1，连接OE，求∠AEO的度数；
(2)如图2，连接AC，延长EO交AC于点N，点F为AC上一点，连接EF，在EF上方作等腰直角三角形EFG，且∠EGF=90°，连接NG，求证：NG∥BC；
(3)在（2）的条件下，连接AB，CD，当点G落在线段AB上时，过点O做OL⊥OE，交CD于点L，交CE于点T，若OE=62,EG=2CL，求⊙O半径的长．
【答案】（1）连接OA,OC，
∵OA,OC为⊙O半径，
∴OA=OC，
∵EA=EC,OE=OE，
∴△AEO≌△CEO，
∴∠AEO=∠CEO，
∵AD⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEO=∠CEO=12∠AEC=45°；
（2）证明：过点G作GR⊥GN交EN于点R，
∴∠RGN=90°，
∴∠RGN=∠EGF，
∴∠RGN-∠RGF=∠EGF-∠RGF，
∴∠EGR=∠FGN，AE=CE,∠AEN=∠CEN，
∴EN⊥AC,AN=CN，
∴∠ENC=90°，
∴∠ENC=90°=∠EGF，
∴∠GEN=∠GFN，
又∵GE=GF，
∴△GER≌△GFN，
∴GR=GN，
∴∠GNR=∠GRN=45°，
∴∠GNR=∠NEC，
∴GN∥BC．
（3）过G作GR⊥GN交NE的延长线于点R，连接OD,OC，作OK⊥CD于点K，OH⊥CE于点H，
由（2）得△GFN≌△GER，得GN∥BC，
∴ANCN=AGBG，
∵AN=CN，
∴AG=BG，∠AEB=90°，
∴EG=12AB,∠BAD=∠BCD,AE=CE,∠AEB=∠CED ，
∴△ABE≌△CDE，
∴AB=CD，
∴EG=12CD，
设CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a，∠EAC=90°-∠AEN=45°，
∴∠DOC=90°，
∴∠DOK=∠COK=45°，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
则OD=OC=22a，OK=DK=2a,KL=a，
在Rt△OKL中，tan∠LOK=12，
∵OL⊥OE，
∴∠EOL=90°，
∴∠OET=∠OTE=45°，
∵∠KOL+∠LOC=45°，∠OCT+∠LOC=45°，
∴∠KOL=∠OCT，
∴tan∠KOL=tan∠OCT，
∵OE=62,OH=6,HC=12，
在Rt△OCH中，OC2=OH2+HC2，
∴OC=65．
【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成比例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键．
（1）连接OA,OC，证明△AEO≌△CEO即可；
（2）过点G作GR⊥GN交EN于点R，先证明△GER≌△GFN，得GR=GN，
所以∠GNR=∠GRN=45°，得到∠GNR=∠NEC，故GN∥BC．
（3）过G作GR⊥GN交NE的延长线于点R，连接OD,OC，作OK⊥CD于点K，OH⊥CE于点H，先证明△ABE≌△CDE，∴EG=12CD，设CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a，则OD=OC=22a，OK=DK=2a,KL=a，证出∠KOL=∠OCT，则tan∠KOL=tan∠OCT，
最后在Rt△OCH中运用勾股定理求OC=65．