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2025年高考物理大一轮复习 第六章 第1课时 功、功率 机车启动问题 课件及学案
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功、功率 机车启动问题
考点一 功的分析和计算
考点二 功率的分析和计算
考点三 机车启动问题
1.做功的两个要素(1)作用在物体上的 。(2)物体在力的方向上发生 。2.公式：W＝ 。(1)α是力与 方向之间的夹角，l为 的位移。(2)该公式只适用于 做功。
3.功的正负(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做 。(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做 ，或者说物体 这个力做了功。(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体 。
4.计算功的方法(1)恒力做的功①直接用W＝Flcs α计算。②合外力做的功方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcs α求功。方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
(2)求变力做功的常用方法①微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为 的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝ 求此力所做的功。③用F－x图像求变力做功在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。⑤应用动能定理求变力做功。
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。( )2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( )3.作用力做正功时，反作用力一定做负功。( )4.力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。( )
例1 (2023·江苏省立发中学检测)如图所示，物体A静止于倾角为θ的斜面体B上，现对该斜面体施加一个水平向左的推力F，使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动，则在此过程中A.水平向左的推力F不做功B.A所受摩擦力做正功C.A所受支持力做负功D.A所受重力不做功
F水平向左，斜面体与物体受推力作用水平向左运动，力与位移的方向相同，推力做正功，故A错误；物体A随斜面体一起沿水平方向向左做匀速运动，处于平衡状态，故物体A所受摩擦力沿斜面向上，与位移方向的夹角为钝角，摩擦力做负功，故B错误；
物体A所受支持力垂直斜面向上，与位移方向的夹角为锐角，支持力做正功，故C错误；物体A所受重力竖直向下，位移水平向左，位移与力的方向垂直，不做功，故D正确。
例2 (2023·江苏省泰州中学月考)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：(1)斜面对物体的支持力所做的功；
物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示，由平衡条件得Ffcs θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcs θ－G＝0
x＝vt＝20 m斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNxcs θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffxcs (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力所做的功；
物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J
(4)合外力对物体所做的功。
合外力对物体做的功方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0方法二：F合＝0，W合＝F合xcs α＝0。
例3 (2023·江苏省丰县中学开学考)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则下列说法正确的是A.拉力F对小球做的功为16π JB.拉力F对小球做的功为8π JC.小球克服摩擦力做的功为16π JD.小球克服摩擦力做的功为4π J
将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°，W2＝Fl2cs 37°，…Wn＝Flncs 37°
1.定义：功与完成这些功所用 之比。2.物理意义：描述力对物体做功的 。3.公式：(1)P＝ ，P描述时间t内力对物体做功的 。(2)P＝Fvcs α①v为平均速度，则P为 功率。②v为瞬时速度，则P为 功率。
1.由P＝ 知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。( )2.由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。( )3.当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。( )
例4 (2023·江苏扬州市期中)如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)沿拱形路面上坡，空气阻力和摩擦阻力的大小不变。此过程中A.汽车的牵引力大小不变B.汽车的牵引力逐渐增大C.汽车的输出功率保持不变D.汽车的输出功率逐渐减小
设坡面与水平面的夹角为θ，汽车速率不变，有F牵＝Ff＋f＋mgsin θ，因上坡过程坡度越来越小，θ角减小，空气阻力和摩擦阻力的大小不变，则牵引力变小，故A、B错误；由功率公式P＝F牵v可知，汽车的输出功率逐渐减小，故C错误，D正确。
例5 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为A.48 W 24 W B.24 W 48 WC.24 W 12 W D.12 W 24 W
木块所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcs θ＝4 N
所以重力在前2 s内做的功为W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W故选项B正确。
1.平均功率的计算方法
2.瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fvcs α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。(2)对公式P＝Fvcs α的理解：可认为Fcs α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcs α是速度v在力F方向上的分速度。
1.利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
例6 (2024·江苏南通市期中)电动车的额定功率为600 W，人与车的总质量为100 kg，平直公路上人骑行的最大速度为6 m/s。若行驶过程中电动车受到的阻力不变，g＝10 m/s2，则该车在30°坡道向上骑行的最大速度为A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
根据P额＝F·v＝Ff·vm在平直公路上人骑行时受到的阻力
该车在30°坡道向上骑行的阻力Ff′＝Ff＋mgsin 30°在30°坡道向上骑行的最大速度
例7 (2023·江苏省宝应中学检测)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前7 s内做匀加速直线运动，7 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2，求：(1)汽车在第5 s末的牵引力F的大小；
设汽车在前7 s内的牵引力大小为F，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，解得F＝3×103 N
(2)汽车的额定功率P和最大速度vm；
答案 4.2×104 W 42 m/s
当汽车速度达到v＝14 m/s时，牵引力功率达到额定功率，即P＝Fv＝4.2×104 W当汽车速度达到vm时，牵引力与阻力大小相等，
(3)启动后37 s内，汽车的位移x的大小。
设7～37 s内汽车的位移大小为x2，
代入数据解得x2＝476 m所以启动后37 s内，汽车的位移大小为x＝x1＋x2＝525 m。
机车启动问题的三个重要关系式1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。
1.(2024·江苏盐城市期中)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断中正确的是A.图甲中支持力对人做正功B.图甲中摩擦力对人做负功C.图乙中支持力对人做正功D.图乙中摩擦力对人做负功
2.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)
3.(2024·江苏无锡市期末)如图所示，一球员将足球从球门正前方某处踢出，在竖直平面内经位置1、2、3后落地，位置1、3等高，位置2在最高点。所受空气阻力不变，不考虑足球的旋转，则足球A.经过位置2时，重力的功率最大B.由位置1运动到位置3过程中，合力做功为0C.在位置2的加速度比位置3的加速度小D.由位置1运动到位置2的时间小于由位置2运动到位置3的时间
足球经过最高点位置2时，竖直方向速度vy减为零，由pG＝mgvy得，此时重力的功率最小，A错误；由于足球运动的过程中受到空气阻力作用，阻力做负功，则足球从位置1运动到位置3过程中，合力做负功，B错误；空气阻力方向与速度方向相反，足球在位置2时，竖直速度为零，阻力与重力成90°夹角；在位置3时，阻力方向斜向上，阻力与重力夹角大于90°，阻力与重力的合力一定小于位置2，由牛顿第二定律有F合＝ma，可得足球在位置2的加速度比位置3的加速度大，C错误；
由于运动时间由竖直方向的运动决定，则对竖直方向受力分析，从位置1到位置2，由牛顿第二定律mg＋Ff1＝ma1，从位置2到位置3，由牛顿第二定律mg－Ff2＝ma2，比较可得，上升阶段的加速度a1大于下降阶段的加速度a2，即a1＞a2，位移相同时，由h＝ 可得，由位置1运动到位置2的时间小于由位置2运动到位置3的时间，D正确。
4.(2023·江苏南通市模拟)溜索是一种古老的渡河工具，如图所示。粗钢索两端连接在河两岸的固定桩上，把滑轮、保险绳索与人作为整体，总质量为m。整体从高处平台上的A点由静止出发，沿钢索滑下，滑过最低点C，到达B点时速度为零，A、B两点的高度差为h，重力加速度为g，不计空气阻力。则A.整体滑到C点时速度最大B.整体滑到C点时受到弹力大小为mgC.从A点滑到C点的过程中，整体重力的功率先增大后减小D.从A点滑到C点的过程中，整体重力的功率一直增大
5.如图所示，水平路面上有一辆汽车以加速度a向前加速行驶，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，人始终相对于车静止，在车行驶距离L的过程中，下列说法正确的是A.人对车做的功为FLB.人对车做的功为maLC.人对车做的功为－maLD.人对车做的功为(F＋ma)L
车对人的合力大小为ma，方向水平向左，则人对车的合力大小也为ma，方向水平向右，人对车做负功，则有W＝－maL，故C正确。
6.(2023·江苏省海安实验中学检测)如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一重力为G的小球，在水平拉力F作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。A、B两点间的水平距离为L，高度差为h，则在此过程中，下列说法正确的是A.重力的瞬时功率先增大后减小B.拉力的瞬时功率不断增大C.重力做功为WG＝GhD.拉力做功为WF＝FL
因为小球以恒定速率运动，即它是做匀速圆周运动，那么小球受到的重力G、水平拉力F、绳子拉力FT三者的合力必是沿绳子指向O点。设绳子与竖直方向夹角是θ，则 ＝tan θ，得F＝Gtan θ，而水平拉力F的方向与速度v的方向夹角也是θ，所以水平拉力F的瞬时功率P水平＝Fvcs θ，即P水平＝Gtan θ·vcs θ＝Gvsin θ，又重力G的瞬时功率PG＝Gvy＝Gvsin θ，显然，从A到B的过程中，θ是不断增大的，所以重力及拉力F的瞬时功率均一直增大，故A错误，B正确；重力做功为WG＝－Gh，故C错误；
由前面选项分析知F＝Gtan θ，则可知力F是变力，所以做的功不为FL，因为小球是以恒定速率运动，小球动能不变，绳的拉力不做功，只有重力及拉力F做功，根据动能定理可知WG＋WF＝0，得WF＝－WG＝Gh，故D错误。
7.(2023·江苏盐城市阜宁县东沟中学一模)一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速直线运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，取g＝10 m/s2，空气阻力不计，则据此可以求得A.物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.25B.拉力在减速过程中做的功为32 JC.摩擦力在减速过程中做的功为－32 JD.在整个过程中合外力对物体所做的功为W合＝48 J
物体做匀速运动时，受力平衡，则Ff＝F＝8 N，μ＝ ＝0.4，故A错误；F－x图像与x轴围成的面积表示拉力做的功，则由题图可知，拉力在减速过程中做的功WF＝ ×(8－4)×8 J＝16 J，B错误；摩擦力在减速过程中做的功Wf＝－μmgx′＝－0.4×2×10×(8－4) J＝－32 J，C正确；
在整个过程中拉力做的功WF′＝ ×(4＋8)×8 J＝48 J，整个过程，滑动摩擦力做的功Wf′＝－μmgx＝－0.4×2×10×8 J＝－64 J，所以合外力做的功为W合＝－64 J＋48 J＝－16 J，故D错误。
8.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为
铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，
9.一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是
假如在0到t1时间内，汽车做匀速运动，如D项所示，此时牵引力等于阻力，则在t1时刻，功率由P1变为P2时，根据P＝F·v，功率突然增大，牵引力增大，汽车要加速，速度不会突变，故D错误；如果0到t1时间内汽车做加速运动，此时间内，功率不变，根据P＝F·v，速度增大的过程中，牵引力越来越小，根据F－Ff＝ma可知，加速度越来越小，汽车做加速度减小的加速运动，故A、C错误；根据以上的分析，汽车在0到t1与t1到t2时间内，都做加速度越来越小的加速运动，故B可能正确。
10.(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为
11.(2024·江苏苏州市常熟中学检测)如图所示，一列高铁列车的质量为m，额定功率为P0，列车以额定功率P0在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设高铁列车行驶过程所受到的阻力为Ff，且保持不变，则A.列车达到的最大速度大小为B.列车在时间t内不可能做匀加速直线运动C.在时间t内列车牵引力做功为D.如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间也等于t
当列车达到最大速度时，牵引力与阻力相等，所以vm＝ 故A错误；列车以额定功率在平直轨道上从静止开始运动，功率不变，速度增大，所以牵引力减小，根据牛顿第二定律可知，列车的加速度减小，所以列车在时间t内做加速度减小的加速直线运动，不可能做匀加速直线运动，故B正确；
列车以恒定牵引力启动时先做匀加速直线运动，根据功率与速度的关系可知，列车速度增大，功率增大，达到额定功率后开始做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度，并且此过程与以额定功率启动的最后阶段运动情况完全相同，而开始时的加速度比以额定功率启动的平均加速度小，所以经历的时间较长，列车达到最大速度经历的时间一定大于t，故D错误。
12.(2023·江苏连云港市期末)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数 和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法中正确的是A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动B.赛车的质量为20 kgC.赛车所受阻力大小为500 ND.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
功、功率 机车启动问题
考点一 功的分析和计算
考点二 功率的分析和计算
考点三 机车启动问题
1.做功的两个要素(1)作用在物体上的 。(2)物体在力的方向上发生 。2.公式：W＝ 。(1)α是力与 方向之间的夹角，l为 的位移。(2)该公式只适用于 做功。
3.功的正负(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做 。(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做 ，或者说物体 这个力做了功。(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体 。
4.计算功的方法(1)恒力做的功①直接用W＝Flcs α计算。②合外力做的功方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcs α求功。方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
(2)求变力做功的常用方法①微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为 的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝ 求此力所做的功。③用F－x图像求变力做功在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。⑤应用动能定理求变力做功。
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。( )2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( )3.作用力做正功时，反作用力一定做负功。( )4.力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。( )
例1 (2023·江苏省立发中学检测)如图所示，物体A静止于倾角为θ的斜面体B上，现对该斜面体施加一个水平向左的推力F，使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动，则在此过程中A.水平向左的推力F不做功B.A所受摩擦力做正功C.A所受支持力做负功D.A所受重力不做功
F水平向左，斜面体与物体受推力作用水平向左运动，力与位移的方向相同，推力做正功，故A错误；物体A随斜面体一起沿水平方向向左做匀速运动，处于平衡状态，故物体A所受摩擦力沿斜面向上，与位移方向的夹角为钝角，摩擦力做负功，故B错误；
物体A所受支持力垂直斜面向上，与位移方向的夹角为锐角，支持力做正功，故C错误；物体A所受重力竖直向下，位移水平向左，位移与力的方向垂直，不做功，故D正确。
例2 (2023·江苏省泰州中学月考)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：(1)斜面对物体的支持力所做的功；
物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示，由平衡条件得Ffcs θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcs θ－G＝0
x＝vt＝20 m斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNxcs θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffxcs (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力所做的功；
物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J
(4)合外力对物体所做的功。
合外力对物体做的功方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0方法二：F合＝0，W合＝F合xcs α＝0。
例3 (2023·江苏省丰县中学开学考)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则下列说法正确的是A.拉力F对小球做的功为16π JB.拉力F对小球做的功为8π JC.小球克服摩擦力做的功为16π JD.小球克服摩擦力做的功为4π J
将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°，W2＝Fl2cs 37°，…Wn＝Flncs 37°
1.定义：功与完成这些功所用 之比。2.物理意义：描述力对物体做功的 。3.公式：(1)P＝ ，P描述时间t内力对物体做功的 。(2)P＝Fvcs α①v为平均速度，则P为 功率。②v为瞬时速度，则P为 功率。
1.由P＝ 知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。( )2.由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。( )3.当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。( )
例4 (2023·江苏扬州市期中)如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)沿拱形路面上坡，空气阻力和摩擦阻力的大小不变。此过程中A.汽车的牵引力大小不变B.汽车的牵引力逐渐增大C.汽车的输出功率保持不变D.汽车的输出功率逐渐减小
设坡面与水平面的夹角为θ，汽车速率不变，有F牵＝Ff＋f＋mgsin θ，因上坡过程坡度越来越小，θ角减小，空气阻力和摩擦阻力的大小不变，则牵引力变小，故A、B错误；由功率公式P＝F牵v可知，汽车的输出功率逐渐减小，故C错误，D正确。
例5 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为A.48 W 24 W B.24 W 48 WC.24 W 12 W D.12 W 24 W
木块所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcs θ＝4 N
所以重力在前2 s内做的功为W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W故选项B正确。
1.平均功率的计算方法
2.瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fvcs α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。(2)对公式P＝Fvcs α的理解：可认为Fcs α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcs α是速度v在力F方向上的分速度。
1.利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
例6 (2024·江苏南通市期中)电动车的额定功率为600 W，人与车的总质量为100 kg，平直公路上人骑行的最大速度为6 m/s。若行驶过程中电动车受到的阻力不变，g＝10 m/s2，则该车在30°坡道向上骑行的最大速度为A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
根据P额＝F·v＝Ff·vm在平直公路上人骑行时受到的阻力
该车在30°坡道向上骑行的阻力Ff′＝Ff＋mgsin 30°在30°坡道向上骑行的最大速度
例7 (2023·江苏省宝应中学检测)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前7 s内做匀加速直线运动，7 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2，求：(1)汽车在第5 s末的牵引力F的大小；
设汽车在前7 s内的牵引力大小为F，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，解得F＝3×103 N
(2)汽车的额定功率P和最大速度vm；
答案 4.2×104 W 42 m/s
当汽车速度达到v＝14 m/s时，牵引力功率达到额定功率，即P＝Fv＝4.2×104 W当汽车速度达到vm时，牵引力与阻力大小相等，
(3)启动后37 s内，汽车的位移x的大小。
设7～37 s内汽车的位移大小为x2，
代入数据解得x2＝476 m所以启动后37 s内，汽车的位移大小为x＝x1＋x2＝525 m。
机车启动问题的三个重要关系式1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。
1.(2024·江苏盐城市期中)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断中正确的是A.图甲中支持力对人做正功B.图甲中摩擦力对人做负功C.图乙中支持力对人做正功D.图乙中摩擦力对人做负功
2.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)
3.(2024·江苏无锡市期末)如图所示，一球员将足球从球门正前方某处踢出，在竖直平面内经位置1、2、3后落地，位置1、3等高，位置2在最高点。所受空气阻力不变，不考虑足球的旋转，则足球A.经过位置2时，重力的功率最大B.由位置1运动到位置3过程中，合力做功为0C.在位置2的加速度比位置3的加速度小D.由位置1运动到位置2的时间小于由位置2运动到位置3的时间
足球经过最高点位置2时，竖直方向速度vy减为零，由pG＝mgvy得，此时重力的功率最小，A错误；由于足球运动的过程中受到空气阻力作用，阻力做负功，则足球从位置1运动到位置3过程中，合力做负功，B错误；空气阻力方向与速度方向相反，足球在位置2时，竖直速度为零，阻力与重力成90°夹角；在位置3时，阻力方向斜向上，阻力与重力夹角大于90°，阻力与重力的合力一定小于位置2，由牛顿第二定律有F合＝ma，可得足球在位置2的加速度比位置3的加速度大，C错误；
由于运动时间由竖直方向的运动决定，则对竖直方向受力分析，从位置1到位置2，由牛顿第二定律mg＋Ff1＝ma1，从位置2到位置3，由牛顿第二定律mg－Ff2＝ma2，比较可得，上升阶段的加速度a1大于下降阶段的加速度a2，即a1＞a2，位移相同时，由h＝ 可得，由位置1运动到位置2的时间小于由位置2运动到位置3的时间，D正确。
4.(2023·江苏南通市模拟)溜索是一种古老的渡河工具，如图所示。粗钢索两端连接在河两岸的固定桩上，把滑轮、保险绳索与人作为整体，总质量为m。整体从高处平台上的A点由静止出发，沿钢索滑下，滑过最低点C，到达B点时速度为零，A、B两点的高度差为h，重力加速度为g，不计空气阻力。则A.整体滑到C点时速度最大B.整体滑到C点时受到弹力大小为mgC.从A点滑到C点的过程中，整体重力的功率先增大后减小D.从A点滑到C点的过程中，整体重力的功率一直增大
5.如图所示，水平路面上有一辆汽车以加速度a向前加速行驶，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，人始终相对于车静止，在车行驶距离L的过程中，下列说法正确的是A.人对车做的功为FLB.人对车做的功为maLC.人对车做的功为－maLD.人对车做的功为(F＋ma)L
车对人的合力大小为ma，方向水平向左，则人对车的合力大小也为ma，方向水平向右，人对车做负功，则有W＝－maL，故C正确。
6.(2023·江苏省海安实验中学检测)如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一重力为G的小球，在水平拉力F作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。A、B两点间的水平距离为L，高度差为h，则在此过程中，下列说法正确的是A.重力的瞬时功率先增大后减小B.拉力的瞬时功率不断增大C.重力做功为WG＝GhD.拉力做功为WF＝FL
因为小球以恒定速率运动，即它是做匀速圆周运动，那么小球受到的重力G、水平拉力F、绳子拉力FT三者的合力必是沿绳子指向O点。设绳子与竖直方向夹角是θ，则 ＝tan θ，得F＝Gtan θ，而水平拉力F的方向与速度v的方向夹角也是θ，所以水平拉力F的瞬时功率P水平＝Fvcs θ，即P水平＝Gtan θ·vcs θ＝Gvsin θ，又重力G的瞬时功率PG＝Gvy＝Gvsin θ，显然，从A到B的过程中，θ是不断增大的，所以重力及拉力F的瞬时功率均一直增大，故A错误，B正确；重力做功为WG＝－Gh，故C错误；
由前面选项分析知F＝Gtan θ，则可知力F是变力，所以做的功不为FL，因为小球是以恒定速率运动，小球动能不变，绳的拉力不做功，只有重力及拉力F做功，根据动能定理可知WG＋WF＝0，得WF＝－WG＝Gh，故D错误。
7.(2023·江苏盐城市阜宁县东沟中学一模)一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速直线运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，取g＝10 m/s2，空气阻力不计，则据此可以求得A.物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.25B.拉力在减速过程中做的功为32 JC.摩擦力在减速过程中做的功为－32 JD.在整个过程中合外力对物体所做的功为W合＝48 J
物体做匀速运动时，受力平衡，则Ff＝F＝8 N，μ＝ ＝0.4，故A错误；F－x图像与x轴围成的面积表示拉力做的功，则由题图可知，拉力在减速过程中做的功WF＝ ×(8－4)×8 J＝16 J，B错误；摩擦力在减速过程中做的功Wf＝－μmgx′＝－0.4×2×10×(8－4) J＝－32 J，C正确；
在整个过程中拉力做的功WF′＝ ×(4＋8)×8 J＝48 J，整个过程，滑动摩擦力做的功Wf′＝－μmgx＝－0.4×2×10×8 J＝－64 J，所以合外力做的功为W合＝－64 J＋48 J＝－16 J，故D错误。
8.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为
铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，
9.一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是
假如在0到t1时间内，汽车做匀速运动，如D项所示，此时牵引力等于阻力，则在t1时刻，功率由P1变为P2时，根据P＝F·v，功率突然增大，牵引力增大，汽车要加速，速度不会突变，故D错误；如果0到t1时间内汽车做加速运动，此时间内，功率不变，根据P＝F·v，速度增大的过程中，牵引力越来越小，根据F－Ff＝ma可知，加速度越来越小，汽车做加速度减小的加速运动，故A、C错误；根据以上的分析，汽车在0到t1与t1到t2时间内，都做加速度越来越小的加速运动，故B可能正确。
10.(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为
11.(2024·江苏苏州市常熟中学检测)如图所示，一列高铁列车的质量为m，额定功率为P0，列车以额定功率P0在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设高铁列车行驶过程所受到的阻力为Ff，且保持不变，则A.列车达到的最大速度大小为B.列车在时间t内不可能做匀加速直线运动C.在时间t内列车牵引力做功为D.如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间也等于t
当列车达到最大速度时，牵引力与阻力相等，所以vm＝ 故A错误；列车以额定功率在平直轨道上从静止开始运动，功率不变，速度增大，所以牵引力减小，根据牛顿第二定律可知，列车的加速度减小，所以列车在时间t内做加速度减小的加速直线运动，不可能做匀加速直线运动，故B正确；
列车以恒定牵引力启动时先做匀加速直线运动，根据功率与速度的关系可知，列车速度增大，功率增大，达到额定功率后开始做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度，并且此过程与以额定功率启动的最后阶段运动情况完全相同，而开始时的加速度比以额定功率启动的平均加速度小，所以经历的时间较长，列车达到最大速度经历的时间一定大于t，故D错误。
12.(2023·江苏连云港市期末)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数 和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法中正确的是A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动B.赛车的质量为20 kgC.赛车所受阻力大小为500 ND.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
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