2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 知识精练(含答案)

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1. (2023安徽)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
(2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3eq \r(3)，AE＝3，求弦BC的长．
图①
图②
第1题图
2. 如图，以矩形ABCD(AB>BC)的对角线AC为直径作⊙O，过点B作AC的垂线，垂足为P，交CD于点E，交AD的延长线于点F，取EF的中点H，连接DH.
(1)求证：DH是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，EF＝eq \f(8\r(3),3)，求CE的长．
第2题图
3. (2023葫芦岛)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F.
(1)求证：EF与⊙O相切；
(2)若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求eq \(AG,\s\up8(︵))的长．
第3题图
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，弦BD与AC相交于点E，连接AD，CD，∠BAD＝3∠CBD，连接AO并延长交BD于点F.
(1)求证：AF＝AD；
(2)若CB2－CD2＝4，求BD·CD的值．
第4题图
5. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O上一点，连接CD，AD，且∠DAB＝2∠B，过点C作⊙O的切线交DA的延长线于点E.
(1)求证：CE⊥AD；
(2)若OA＝5，tan D＝eq \f(1,2)，求CE的长．
第5题图
6. (2023德阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD＝OA，AE∥OC.
(1)求证：AC是∠EAD的平分线；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求eq \f(OD,AD)的值．
第6题图
参考答案与解析
1. (1)证明：∵OA⊥BD，且OB＝OD，
∴AO垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵∠ACD＝∠ABD，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴CA平分∠BCD；
(2)解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴CD⊥BC.
∵AE⊥BC，
∴AE∥CD，
同理AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴CD＝AE.
∵AE＝3，
∴CD＝3，
∴BC＝ eq \r(BD2－CD2) ＝ eq \r(（3\r(3)）2－32) ＝3 eq \r(2) .
2. (1)证明：如解图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴BD为⊙O的直径．
∵BF⊥AC，
∴∠ECP＋∠CEP＝90°.
在Rt△FDE中，H为EF的中点，
∴DH＝EH，
∴∠DEF＝∠EDH＝∠CEP.
∵∠ECP＝∠ODC，
∴∠ODH＝∠EDH＋∠ODC＝90°，
∴OD⊥DH.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线；
第2题解图
(2)解：∵AC＝4，EF＝ eq \f(8\r(3),3) ，
∴BD＝AC＝4，DH＝EH＝ eq \f(4\r(3),3) .
∵∠BDH＝90°，
∴tan ∠DBH＝ eq \f(DH,BD) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
∴∠DBH＝30°，
∴∠DHE＝60°，
∴△DHE是等边三角形，
∴∠HDE＝60°，DE＝DH＝ eq \f(4\r(3),3) ，
∴∠BDC＝90°－∠HDE＝30°，
∴CD＝BD·cs 30°＝2 eq \r(3) ，
∴CE＝CD－DE＝ eq \f(2\r(3),3) .
3. (1)证明：如解图，连接OE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝90°.
∵EF∥AB，
∴∠OEF＝∠BOE＝90°，
∴OE⊥EF.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
(2)解：如解图，连接GO，GB.
∵EG⊥AC，
∴∠EMF＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠EMF，
∴EG∥BC，
∴∠CEG＝∠BCE＝45°，
∴∠CBG＝∠CEG＝45°.
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝15°，
∴∠AOG＝2∠ABG＝30°，
∴的长为 eq \f(30π×4,180) ＝ eq \f(2π,3) .
第3题解图
4. (1)证明：如解图，连接OB，OC，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△ABO≌△ACO，
∴∠ABO＝∠ACO.
∵＝，
∴∠CBD＝∠CAD.
∵∠BAD＝3∠CBD，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠CAD＝∠CBD.
∵＝，
∴∠ABF＝∠ACD，
∴△ABF≌△ACD，
∴AF＝AD；
(2)解：由(1)知△ABF≌△ACD，
∴BF＝CD.
设∠CAD＝x，
则∠BAF＝∠CAF＝x.
由(1)知AF＝AD，∴∠ADE＝ eq \f(180°－∠FAD,2) ＝ eq \f(180°－2x,2) ＝90°－x，
∴∠AED＝180°－∠ADE－∠EAD＝180°－(90°－x)－x＝90°，
即AC⊥BD.
又∵AF＝AD，
∴DE＝EF.
在Rt△BCE和Rt△CDE中，CB2＝BE2＋CE2，CD2＝DE2＋CE2，
∴CB2－CD2＝BE2＋CE2－(DE2＋CE2)＝BE2－DE2＝(BE＋DE)(BE－DE)＝BD·(BE－EF)＝BD·BF＝BD·CD.
∴BD·CD＝4.
第4题解图
5. (1)证明：如解图，连接OC，
∵∠DAB＝2∠B，∠AOC＝2∠B，
∴∠DAB＝∠AOC，
∴OC∥AD.
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AD；
第5题解图
(2)解：如解图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tan B＝tan D＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(1,2) ，
∴BC＝2AC.
∵AB＝2OA＝10，
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴AC2＋(2AC)2＝102，
∴AC＝2 eq \r(5) (负值已舍去)，
∴BC＝4 eq \r(5) ，
∴cs B＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4\r(5),10) ＝ eq \f(2\r(5),5) .
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO.
∵∠ACE＋∠ACO＝90°，∠CAO＋∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
∴cs ∠ACE＝cs B，
∴CE＝AC·cs ∠ACE＝AC·cs B＝4.
6. (1)证明：∵AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠CAO，
∴AC是∠EAD的平分线；
(2)解：如解图，连接CB.
设∠CAO＝α.
根据(1)可知∠EAC＝∠CAO＝∠ACO＝α，∠EAO＝∠EAC＋∠CAO＝2α，
∴∠COB＝∠CAO＋∠ACO＝2α.
∵CD＝OA，∴CD＝OC.
∴∠COB＝∠D＝2α.
∵∠BCD＋∠BCE＝∠EAO＋∠BCE＝180°，
∴∠BCD＝∠EAO＝2α，
∴∠CBO＝∠BCD＋∠D＝4α.
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠OCB＝4α，
∴∠CBO＋∠OCB＋∠COB＝4α＋4α＋2α＝10α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋2α＝90°＋36°＝126°；
(3)解：设⊙O的半径为r，BD＝a，则CD＝r.
∵∠EAC＝∠CAO，∴EC＝BC.
又∵∠D＝∠BCD＝2α＝36°，
∴EC＝BC＝BD＝a.
∵AE∥OC，
∴△DOC∽△DAE，
∴ eq \f(OD,AD) ＝ eq \f(CD,DE) ，
即 eq \f(r＋a,2r＋a) ＝ eq \f(r,r＋a) ，
解得a＝ eq \f(\r(5)－1,2) r，
∴ eq \f(OD,AD) ＝ eq \f(r＋a,2r＋a) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) .
第6题解图