[数学]2024年黑龙江哈尔滨南岗区黑龙江省实验中数学高三四模数学试卷

这是一份[数学]2024年黑龙江哈尔滨南岗区黑龙江省实验中数学高三四模数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年黑龙江哈尔滨南岗区黑龙江省实验中学高三四模数学试卷
一、单选题
1.已知集合
，
，若
，则实数a的取值范围是
D.
（
A.
）
B.
B.
C.
2.已知角 为第三象限角，
A.
，则
（
）
C.
C.
D.
D.
3.函数
A.
的部分图象大致为（
）.
B.
4.已知向量
A.
，
，若
，则 在 方向上的投影向量为（
D.
）
B.
C.
5.在
中，角A、B、C所对的边为a、b、c若
，则
的形状是（
）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三
角形
D. 等腰直角三角形
6.若函数
A.
在
上单调递增，则实数 的取值范围为（
C.
）
D.
B.

7.已知拋物线
两点，以
A.
，其焦点 到准线的距离为2，过焦点 且斜率大于0的直线 交拋物线于
为直径的圆 与准线相切于点
B.
，则圆 的标准方程为（
D.
）
C.
8.定义：满足
等比数列
A. 7
为常数，
）的数列
，则使得
C. 9
称为二阶等比数列， 为二阶公比.已知二阶
的二阶公比为
B. 8
成立的最小正整数 为（
D. 10
）
二、多选题
9.下列命题是真命题的是（
）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
10.已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为 ，则（
A. 该圆台的母线长为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为
）
D. 该圆台的外接球的表
面积为
11.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆
中，任意两条互相垂直
的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就
称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为 ．已知椭圆C的离心率为 ，点A，B均在椭圆C上，直
线
，则下列描述正确的为（
A. 点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b
B.
）
若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为
C. 若l上任意一点Q都满足
，则
D.
若
，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足
，则
面积的最大值为
三、填空题

12.设
，则
.
13.已知函数
．
，若曲线
在
处的切线方程为
，则
14.二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月
生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为 ，
，…， ，即最大编号为 ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所
以缴获坦克的编号 ， ，…， ，，相当于从
中随机抽取的n个整数，这n个数将区间
分成
个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽
取的，所以可以用前n个区间的平均长度 估计所有 个区间的平均长度 ，进而得到N的估计
值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数
为
．
四、解答题
15.已知等差数列
的前 项和为 ，数列
的通项公式；
是等比数列，
．
(1)求
(2)设
和
，求数列
的前 项和
．
16.已知双曲线
的左､右焦点分别为
，点 为双曲线上一点，且
(1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线
与双曲线 交于
两点，且
，其中 为坐标原点，求 的值.
17.已知四棱锥
.
的底面
与平面
是棱长为2的菱形，
所成的角为
，若
上，且
，且
为
的中点，点 在线段
平面

(1)求
；
(2)求平面
与平面
夹角的大小.
18.2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启
用了新的排球用球
其中
，已知这种球的质量指标 （单位： ）服从正态分布
，
.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规
则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜
的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班
排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为
.
(1)令
，则
，且
，求
，并证明：
的最大值点
；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为
，求出
；
(3)以（2）中 作为 的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为 ，求 的分布列.
参考数据：
，则
，
.
19.在平面直角坐标系
中，利用公式
①（其中 ， ， ， 为常数），将点
变换为点
的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 ， ， ， 组成的
正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ， ， 表示．
（ 1 ）在平面直角坐标系
的坐标；
中，将点
绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），求点

（ 2 ）如图，在平面直角坐标系
中，将点
绕原点 按逆时针旋转 角得到点
（到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（ 3 ）
向量
（称为行向量形式），也可以写成
，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标
公式①可以表示为：
是一个二阶矩阵，
，则称
是二阶矩阵
与向量
的乘积，设
．
，
是平面上的任意两个向量，求证：