第二章相互作用第十一课时动态平衡和平衡中的临界极值问题2025高考物理二轮专题

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题型一　动态平衡问题方法一　解析法如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平 衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由 数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
【典例1】　如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间 的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则 足的股节部分受到的拉力（　　）
方法二　图解法物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒 定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断 出极值。一般按照以下流程解题。
【典例2】　如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上， 光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线 与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过 90°，框架与小球始终保持静止状态。在此过程中下列说法正确的是 （　　）
解析：以小球为研究对象，受力分析如图所 示，根据几何关系可知，当F顺时针转动至竖 直向上之前，支持力逐渐减小，F先减小后增 大，当F的方向沿圆的切线方向向上时，F最 小，此时为F＝mgcs θ，故B错误，C正确；以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由图可知，F在顺时针方向转动的过程中，F沿水平方向的分力逐渐减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小，故A错误；
以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受 到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力 F的作用，由图可知，F在顺时针方向转动的过 程中，F沿竖直方向的分力逐渐增大，所以地 面对框架的支持力始终在减小，框架对地面的 压力始终在减小，故D错误。
方法三　相似三角形法物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化， 当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似 时用此法。
【典例3】　如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一 端，杆的另一端固定小球（可以看成质点），轻绳的一端悬于P点， 另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R＜L ＜2R。A、B是墙上两点，且OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁 缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支 持力F2的大小变化情况为（　　）
题型二　平衡中的临界极值问题
1. 临界问题：处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他几 个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰好出现”或“恰好不 出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界 问题常见的种类：①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力；② 绳子恰好绷紧，拉力FT＝0；③刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2. 极值问题：在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题。
3. 解答平衡中的临界极值问题的三种方法
【典例4】　如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩， 石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式 匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说 法正确的是（　　）
1. 【图解法】如图所示，一个重力为5 N的砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F 拉砝码，使细线偏离竖直方向30°处于静止状态，此时所用拉力F的 最小值为（　　）
解析：　以砝码为研究对象，分析受力情况，其受重力G、细线 的拉力FT和力F，由图看出，当F与细线垂直时F最小，由数学知识 得F的最小值为F＝Gsin 30°＝2.5 N，故选项B正确。
2. 【极限法】小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面 上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分 别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形 积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积 木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两 方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑 动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方 形积木之间的最远距离为（　　）
3. 【函数法】如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将 一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与 木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个 过程中始终静止。
（1）当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；
答案：θ　mgsin 2θ　
解析：木块在木楔斜面上匀速下滑时，有mgsin θ＝μmgcs θ，
解得μ＝tan θ。木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，有Fcs α＝mgsin θ＋Ff，Fsin α＋FN＝mgcs θ，又Ff＝μFN，
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
巧学 妙解 应用
题型一　动态平衡问题1. 如图所示，一只蜗牛沿着弧形菜叶从右向左缓慢爬行，下列说法正 确的是（　　）
解析：　蜗牛受重力、支持力、摩擦力，设坡角为α，根据平衡条 件可得FN＝mgcs α，Ff＝mgsin α，由于坡角α先变小后变大，故支 持力FN先增大后减小，静摩擦力先减小后增大，故A错误，B正 确；蜗牛缓慢爬行，则受到的合力始终为零，选项C错误；菜叶对 蜗牛的作用力是静摩擦力和支持力的合力，始终与重力平衡，一直 不变，故D错误。
2. （多选）2022年8月19日重庆发生森林火灾，灭火直升飞机沿水平 方向匀速往返火场和取水区上空，其中贮水桶受到与运动方向相 反、大小保持不变的水平风力F。已知贮水桶（包含水）的重力为 G，贮水桶受到绳子的拉力为T，绳子与竖直方向的夹角为θ，如果 贮水桶总保持与直升飞机相对静止，下列说法正确的是（　　）
3. 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小 孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端 穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动 过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况 是（　　）
4. （多选）如图所示，静止在水平地面上的台秤上有一铁架台，小球 用轻绳固定在铁架台的横杆上，现用始终与竖直方向成45°、斜向 上的拉力F将小球由最低点缓慢拉至轻绳水平。已知在拉动过程中 铁架台与台秤始终静止，下列说法正确的是（　　）
解析：　对小球受力分析如 图甲所示，由三角形定则和平 衡条件可知，小球在上升的过 程中，拉力F一直增大，轻绳的 拉力先减小后增大，A正确，B 错误；对铁架台和小球组成的系统受力分析如图乙所示，由平衡条件可知，F增大时，铁架台受台秤的支持力逐渐减小，摩擦力逐渐增大，由牛顿第三定律可知，台秤的示数逐渐减小，台秤所受地面的摩擦力一直增大，C错误，D正确。
题型二　平衡中的临界极值问题5. 某位同学用筷子将质量分布均匀的小球夹起悬停在 空中，如图所示，已知球心O与两根筷子在同一竖 直面内，小球质量为0.2 kg，筷子与竖直方向之间 的夹角均为37°，筷子与小球表面间的动摩擦因数为 0.875（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），取重力加速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。则每根筷子对小球的压力至少为 （　　）
6. 如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳 连接后悬挂在O点上，O、B间的轻绳长度是2l，A、 B间的轻绳长度是l。将一个拉力F作用到小球B上， 使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段 轻 绳分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（　　）
10. 如图所示，质量为1 kg的小球A与质量未知的滑环B用绕过光滑定 滑轮的不可伸长的轻绳连接，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖 直平面内。滑环B套在与竖直方向成θ＝53°的粗细均匀的固定杆 上，滑环和杆间的动摩擦因数μ＝0.5，初始时滑环恰好不下滑，现 对小球A施加一个水平力F，使小球A在水平力F的作用下沿着1/4圆 弧轨迹缓慢上移，设滑环与杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 （sin 53°＝0.8），下列说法正确的是（　　）
11. 如图所示，一可视为质点的小球用两根不可伸长的轻质细线OA和 OB连接后挂在天花板和墙上，AOM水平，OB倾斜，ON竖直， A、B、O、M、N各点在同一竖直平面内。现对小球施加一大小恒 定、方向由OM逐渐变化至ON方向的力F，则此过程中，两细线上 的拉力大小变化情况为（　　）
解析：　未施加力F前，将重力沿两细线方向分解，如图甲所示，可知TA＝G1，TB＝G2，外加方向顺时针改变的作用力F后，采用画圆法将F沿两细线方向分解，如图乙所示，F1先增加后减小，F2一直增大，细线OA上的拉力TA'＝G1＋F1，细线OB上的拉力 TB'＝G2＋F2，所以细线OA上的拉力大小先增大后减小，细线OB上的拉力大小一直增大，故A正确，B、C、D错误。
12. 如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的 滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直， 腿与竖直玻璃墙的夹角β＝53°，在下降过程中β角保持不变。玻璃 墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平 行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝37°，连接小木板的两 等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已 知工人及工具的总质量m＝60 kg，小木板的质量可忽略不计。工 人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（　　）