河北省邢台市多校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河北省邢台市多校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. 100°B. 80°C. 120°D. 60°
【答案】A
解析：解：∵在中，，
∴，
故选：A．
2. 下列各数中与的积为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：A. ，是无理数，不合题意；
B. ，是无理数，不合题意；
C. ，是无理数，不合题意；
D. ，是有理数，符合题意；
故选：D
3. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A.
B.
C.
D.

【答案】C
解析：解：A、三角形的三边为，，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
4. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，故A不一定是菱形；
∵根据等边对等角得出两个的对边相等，
∴邻边相等的平行四边形是菱形，故B一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边相等，故C不一定是菱形；
∵图D中，根据三角形的内角和定理可得：，
∴邻边不相等，故D一定不是菱形．
故选：B．
5. 若，，则（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】B
解析：解：∵，，
∴，
故选：B
6. 如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（ ）
A. 20分B. 40分C. 60分D. 80分
【答案】A
解析：解：（1）若有意义，则．故（1）错误
（2）矩形的对角线互相平分且相等．故（2）错误
（3）平行四边形不是轴对称图形．故（3）错误
（4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13或．故（4）错误
（5）对角线相等的菱形是正方形．故（5）正确
故选：A．
7. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：如图，

根据题意，得，
∴，
故选：C．
8. 如图，根据图中标注和作图痕迹可知，在数轴上的点所表示的数为（ ）

A. ﹣1﹣B. ﹣1+ C. D. 1-
【答案】A
解析：解：根据勾股定理可求出圆的半径为：
，
即点到表示的点的距离为，
那么点到原点的距离为个单位，
∵点在原点的左侧，
∴点所表示的数为：．
故选：A．
9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A. （1）处可填B. （2）处可填
C. （3）处可填D. （4）处可填
【答案】C
解析：解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B．有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C．菱形的对边本身相等，（3）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
D．有一个角是直角的菱形是矩形，则（4）处可填，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
10. 观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：数据为，，，，，…，，
∴第个数是，
故选：D．
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴
∴B点的坐标为．
故选：D．
12. 如图，在正方形中，点E，G分别在，BC边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接GF，若正方形的边长为8，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：如图，延长交于点H．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，正方形的边长为8，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选B．
二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13. 写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是______．
【答案】1（答案不唯一）
解析：解：当时，，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，已知，，则的长为________．
【答案】
解析：∵四边形是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴，，
∴是等腰三角形．
又∵，
∴．
在中，，，
∴，．
解得．
故答案为：．
15. 如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为______．
【答案】10
解析：解：如图，
根据题意，得，，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
16. 如图，E，F分别是边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______．
【答案】7
解析：解：如图，连接、两点，过点作于点．
∵，，
∴．
∵四边形平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∴，
同理，
∴．
∵，，
∴，
故阴影部分的面积．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在算式“”中，“○”表示被开方数，“□”表示“＋”“－”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，求“○”表示的数．
（2）如果“○”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）27； （2）．
【小问1解析】
解：设“〇”开平方表示的数为x，
则，
即
解得：，
则“○”表示的数为：27；
【小问2解析】
解：依题意可得：，
当“□”表示“＋”时，即
当 “□”表示“－”时，
当 “□”表示 “×”时，
当 “□”表示 “÷”时，
当 “□”表示“×”时，算式的结果最小，为；
18. 如图所示，在正方形中，是的中点，是上一点，且．试说明：是直角三角形．
【答案】见解析
解析：解：设正方形的边长为，则．
在中，，
在中，，
在中，，
所以，所以是直角三角形．
19. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，请分别求菱形的面积和周长．
【答案】菱形的面积为1，周长为
解析：解：∵在菱形中，，，
∴菱形的面积．
，，，
∴，
∴菱形的周长为．
20. 解答：
请你帮助琳琳重新把缺失的证明过程补充完整．
【答案】见解析
解析：证明：如图2，取的中点E，连接．
∵D是的中点，E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，即是的垂直平分线，
∴，
∴．
21. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）当时，写出这一组勾股数______．
（2）证明“罗士琳法则”的正确性．
【答案】（1）14，48，50；
（2）见解析．
【小问1解析】
解：当时，
根据题意得：，
∴这一组勾股数为14，48，50；
故答案为：14，48，50．
【小问2解析】
证明：∵
．
，
∴当k大于2时，，
∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．
22. 如图，在中，F是上一点，连接，过点A作，E是的中点，连接并延长，交于点D，连．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，请直接写出长度．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【小问1解析】
证明：∵，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形平行四边形；
【小问2解析】
解：如图所示，过点作，交于点．

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】（1）34cm；（2）秒．
解析：解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在中，
，，，
∴，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．
如图2，在中，
∵长方体的棱长，，
∴，，，，
∴，
解得．
答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲．
24. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F．
①求证：．
②若，，求折痕的长．
（2）如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）或．
【小问1解析】
①证明：∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图1，过点F作于点H．
∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴由①可得．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
【小问2解析】
①若E为的三等分点，且，如图2所示．
∵，
∴，．
过点E作于点M，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
∵将矩形沿折叠，
∴，，，
∴，
∴．
②若E为的三等分点，且，如图3所示．
∴，．过点E作于点N，
同理可得，，
∴，
同理由折叠可得，，，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
班级八（1）班 姓名嘉嘉 得分______
判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”．
每题20分，共100分．
（1）若有意义，则．（√）
（2）矩形的对角线互相垂直平分．（√）
（3）平行四边形是轴对称图形．（√）
（4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13．（√）
（5）对角线相等的菱形是正方形．（√）
琳琳在做数学作业时，因钢笔漏水，不小心将部分字迹污染了，部分作业过程如下：如图1，在中，，D是的中点．求证：．
证明：如图2，取的中点E，连接．
∵D是的中点，E是的中点，
∴……