2023-2024学年云南省曲靖市部分学校高一（下）6月联考数学试题

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市部分学校高一（下）6月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知三点共线，则的值为（ ）
A．B．5C．D．3
2．数据的方差，则下列数字特征一定为0的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．极差
3．已知中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
6．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若上有两点到平面距离相等，则
B．若，则与是异面直线
C．若，则与没有公共点
D．若，则与一定相交
7．崇丽阁之名取自晋代左思《蜀都赋》中的名句“既丽且崇，实号成都”．如图，在测量府河西岸的崇丽阁高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．如图，四棱锥的底面为矩形，且平面，若，则下列结论错误的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为B．平面平面
C．D．二面角的余弦值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，，则（ ）
A．若，，的虚部依次为，，，则
B．若，，的实部依次为，，，则
C．
D．
10．已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）

A．存在点使得
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D．当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点，点为原点，则的最小值为 .
13．如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 .
14．设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论：
①；②；
③；④若是单位向量，则．
以上所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知平面向量，．
(1)求的值；
(2)若向量与夹角为，求实数的值．
16．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，为的中点，求的长；
(3)若，求的取值范围.
17．已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中.
(1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
(2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.
18．如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静）
(1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？
(2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？
19．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
1．D
2．D
3．B
4．A
5．A
6．C
7．A
8．C
9．BCD
10．BD
11．AC
12．2
13．
14．①④
15．(1)
(2)或．
16．(1)；
(2)1；
(3).
17．(1)420；200
(2)，选择方案二.
18．(1)
(2)航行方向为北偏东
19．(1)证明略
(2).