贵州省安顺市2023-2024学年高一下学期6月质量检测数学试题

这是一份贵州省安顺市2023-2024学年高一下学期6月质量检测数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
3．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．-2D．-1
4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
5．某校通过统计学生在校的5次模考数学成绩（分数均为整数）决定该学生是否适合进行数学竞赛培训．规定：“5次模考成绩均不低于140分”，现有甲、乙、丙三位同学5次模考成绩，则根据以下数据能确定适合数学竞赛培训的学生有（ ）
甲：众数为140，中位数为145；
乙：中位数为145，极差为6；
丙：均值为143，其中一次成绩为145，方差为1.6．
A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．甲乙丙
6．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥B．互为对立C．相互独立D．相等
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（ ）
A．B．3C．6D．
8．三棱台中，两底面和分别是边长为2和1的等边三角形，平面ABC.若，则异面直线AC与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．对应的点在第四象限
B．的虚部为1
C．
D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上
10．国家提出乡村振兴，建设生态宜居环境.某村委会提出，为了村民有一个傍晚乘凉的环境，准备在村里修建一座凉亭，凉亭的上半部分轮廓可近似看作一个正四棱锥.如图所示，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法正确的是（ ）
A．底面边长为米
B．体积为立方米
C．侧面积为平方米
D．侧棱与底面所成角的正弦值为
11．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，，则在上投影向量的坐标为 .
13．已知三角形的内角的对边分别是，若，为锐角，则的最小值为 ．
14．如图，D是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时， ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角的对边分别为，设的面积为，满足.
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值.
16．在△ABC中，=3==3.
（1）用向量表示，并判断B，E，F三点是否共线；
（2）若|+|=||=·=，求△ABC的面积.
17．云南省文山市东山公园的文笔塔，是当地的标志性建筑.文笔塔最初建于康熙年间，旧塔高为19.33米，1997年重建新塔工程全面启动，历时一年，于1998年3月底修建而成，从远处望去，东山山顶上的文笔塔恍惚成为海市蜃楼，疑是人间仙境，如梦如幻，美丽无比.某中学数学兴趣小组为了测量文笔塔高度，在如图所示的点处测得塔底位于其北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为.在的正东方向且距点40m的点处测得塔底在其北偏西方向上（、、在同一水平面内）.
（1）求的值；
（2）求文笔塔的高度.
18．为提高全民的身体素质，某市体育局举行“万人健步走”活动，体育局通过市民上传微信走步截图的方式统计上传者每天的步数，现从5月20日参加活动的全体市民中随机抽取了100人的走步数组成样本进行研究，并制成如图所示的频率分布直方图（步数单位：千步）．
（1）求a的值，并根据直方图估计5月20日这100位市民走步数的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）按分层抽样的方式在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行走步路线调查，求这2人步数都在的概率．
19．如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点.
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值及直线与平面所成角的大小；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．A
2．B
3．D
4．A
5．B
6．C
7．B
8．C
9．C,D
10．A,C,D
11．B,D
12．
13．
14．0
15．（1）解：因为，所以.
因为，所以，所以.
由余弦定理，得，整理，得.
由余弦定理，得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以根据正弦定理，得，所以.
在中，由余弦定理，得，整理得，
因为，所以，
整理可得即，当且仅当时等号成立，
所以取得最大值是，当时取到，
所以周长的最大值为.
16．（1）解：，
因为，
所以，
所以，
因为，所以B，E，F三点共线.
（2）解：因为，
所以，
即且，
所以，
又·=，
则，即||=||=1，
所以△ABC的面积为.
17．（1）解：如图，由题意得，
．
（2）解：在中，
由正弦定理得，
，
，且，
在中，，
∴文笔塔的高度为
18．（1）解：由题有，
解得，
由频率分布直方图的数据，可得这100位市民走步数的平均数：
千步；
（2）解：在和两组中的人数分别为人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为，
在分组中抽取的人数为2人，记为，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，共10种取法，
其中这2人步数都在的情况只有，共有1种，
所以这2人步数都在的概率为．
19．（1）解：设与相交于点，连接，
四边形为菱形， ，
，，
又，平面，
则平面，
平面，平面平面．
（2）解：存在点F满足题意，假设在PD上存在点F，使得平面PBC，
在线段上作点，过点作，交于，连接，，
，，则，故，，，四点共面，
平面，平面，平面平面，
，故四边形为平行四边形，则，
E点是靠近B点的三等分点，
，，
，，
即在PD上存在点F，使得平面PBC，此时，
在中，，，
在（1）知，又，平面，平面，
过作，交于点，
故且，，则，则，
在中，，，
连接，在中，，
平面，则为直线与平面所成的角，
在中，，，
直线与平面所成角的大小为．