浙江省浙东北（ZDB）联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

这是一份浙江省浙东北（ZDB）联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）函数f（x）＝ln（2﹣x）的定义域是（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
2．（5分）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知f（x）＝2x﹣2﹣x，则使f（x）＜f（﹣3x2+4）成立的实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知lg5≈0.699，则224是（ ）
A．5位数B．6位数C．7位数D．8位数
5．（5分）函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0B．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0
6．（5分）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．21B．35C．36D．45
7．（5分）若x1是函数f（x）＝ex+x2﹣4x的一个极值点，x2是函数g（x）＝e3﹣x﹣2x+2的一个零点，则x1+x2＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（5分）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X1，期望方差分别为E（X1），D（X1）；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X2，期望和方差分别为E（X2），D（X2），则下列判断正确的是（ ）
A．E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2）
B．E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）
C．E（X1）＞E（X2），D（X1）＞D（X2）
D．E（X1）＜E（X2），D（X1）＜D（X2）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）投掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“朝上一面点数为偶数”，事件B＝“朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A，B互斥B．事件A，B相互独立
C．D．
（多选）10．（6分）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（6分）已知f（x+1）为偶函数，对∀x∈R，f（x）＞0，且f（x+1）＝f（x）f（x+2），若f（1）＝2，则以下结论正确的是（ ）
A．B．f（3）＝1
C．f（2024）＝f（1）D．f（2024）＝f（2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若，则n＝ ．
13．（5分）利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为 ．
14．（5分）已知f（x）＝x3﹣3x，直线与曲线f（x）有三个不同的交点，则k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）证明：对∀x∈[0，+∞），．
16．（15分）已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，∠PAB＝120°，PA＝AB，G为△PAB的重心．
（1）若点E在线段BC上，且，求证：GE∥平面PCD；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
18．（17分）设函数f（x）＝（x﹣1）3﹣a（x﹣1），x∈R，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝3；
（3）若a＞0，函数g（x）＝|f（x+1）|，求g（x）在[0，2]上的最大值．
19．（17分）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量X（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差s＝50．
（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量X近似服从正态分布N（μ，δ2），用样本的平均值作为μ的近似值，用样本的标准差s作为δ的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在[300，400）之间的概率；
（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为n（n∈N）的概率为P（n），
（i）求P（0），P（1）的值，并证明：数列{P（n）﹣P（n﹣1）}（n∈N*）是等比数列；
（ii）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量ξ～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ≤ξ＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ≤ξ＜μ+2δ）≈0.9545，P（μ﹣3δ≤ξ＜μ+3δ）≈0.9973．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数f（x）＝ln（2﹣x）的定义域是（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
【分析】根据题意结合对数函数运算求解．
【解答】解：令2﹣x＞0，解得x＜2，
所以函数f（x）＝ln（2﹣x）的定义域是（﹣∞，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
2．（5分）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：由题意可知，P（X＝1）＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
3．（5分）已知f（x）＝2x﹣2﹣x，则使f（x）＜f（﹣3x2+4）成立的实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为f（x）＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，
由f（x）＜f（﹣3x2+4）可得，x＜﹣3x2+4，
解得，﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
4．（5分）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知lg5≈0.699，则224是（ ）
A．5位数B．6位数C．7位数D．8位数
【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：因为lg5≈0.699，
设M＝224，则lgM＝24lg2＝24（1﹣lg5）≈24×（1﹣0.699）＝7.224，
则M＝107.224∈（107，108），
故224是8位数．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0B．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0
【分析】根据题意，设函数f（x）的两个极值点分别为m、n，且m＜n＜0，求出f′（x），结合二次函数的性质分析a、b、c的符号，又由函数f（x）与y轴交点在x轴上方，则有f（0）＝d＞0，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数图象，f（x）存在两个极值点，设两个极值点分别为m、n，且m＜n＜0，
f′（x）＝3ax2+2bx+c，
在区间（﹣∞，m）上，f（x）为减函数，此时f′（x）＜0，
在区间（m，n）上，f（x）为增函数，此时f′（x）＞0，
在区间（n，+∞）上，f（x）为减函数，此时f′（x）＜0，
则f′（x）＝3ax2+2bx+c是开口向下的二次函数，3a＜0，f′（x）＝0有两个根，即x＝m和x＝n，
则有，则有b＜0，c＜0，
函数f（x）与y轴交点在x轴上方，则有f（0）＝d＞0．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，涉及函数的导数的应用，属于中档题．
6．（5分）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．21B．35C．36D．45
【分析】按百位数字分类讨论，求出每种情况的个数，再根据分类加法计数原理相加即可得到答案．
【解答】解：按百位数字分类讨论：①百位数字为1时，后两位相加为7，有8种；
②百位数字为2时，后两位相加为6，有7种；
③百位数字为3时，后两位相加为5，有6种；
④百位数字为4时，后两位相加为4，有5种；
⑤百位数字为5时，后两位相加为3，有4种；
⑥百位数字为6时，后两位相加为2，有3种；
⑦百位数字为7时，后两位相加为1，有2种；
⑧百位数字为8时，后两位相加为0，有1种，
故共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36种．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
7．（5分）若x1是函数f（x）＝ex+x2﹣4x的一个极值点，x2是函数g（x）＝e3﹣x﹣2x+2的一个零点，则x1+x2＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据x1是f（x）的极值点得到f'（x1）＝e+2x1﹣4＝0，x2是g（x）的零点得到g（x2）＝e﹣2x2+2＝e+2（3﹣x2）﹣4＝0，再根据h（x）＝ex+2x﹣4在R上单调递，得到x1＝3﹣x2即可．
【解答】解：∵f（x）＝ex+x2﹣4x，∴f'（x）＝ex+2x﹣4，
又x1是f（x）的一个极值点，∴f'（x1）＝e+2x1﹣4＝0，
∵x2是函数g（x）＝e3﹣x﹣2x+2的一个零点，
∴g（x2）＝e﹣2x2+2＝e+2（3﹣x2）﹣4＝0，
故x1，x2可以看作好h（x）＝ex+2x﹣4的两个零点，
又易知h（x）在R上单调递增，
故x1＝3﹣x2，即x1+x2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查函数的极值点与函数的零点，属于中档题．
8．（5分）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X1，期望方差分别为E（X1），D（X1）；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X2，期望和方差分别为E（X2），D（X2），则下列判断正确的是（ ）
A．E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2）
B．E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）
C．E（X1）＞E（X2），D（X1）＞D（X2）
D．E（X1）＜E（X2），D（X1）＜D（X2）
【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案．
【解答】解：试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为X1，
则X1的可能取值是0，1，2，3，
则，，，
故随机变量X1的概率分布列为：
则数学期望为：，
方差为：；
试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，
故，，
故E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2）．
故选：A．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差的有关计算，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）投掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“朝上一面点数为偶数”，事件B＝“朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A，B互斥B．事件A，B相互独立
C．D．
【分析】结合互斥事件的概念检验选项A，结合相互独立事件的概念检验选项B，结合条件概率公式检验选项C，结合并事件的概率公式检验选项D．
【解答】解：投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数的可能情况有6种，
事件A＝朝上一面点数为偶数包含3种情况：2，4，6，
事件B＝朝上一面点数不超过2包含2种情况：1，2，显然A，B不互斥，A错误；
故P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，
所以P（AB）＝P（A）P（B），即A，B相互独立，B正确；
因为P（B|A）＝＝＝，C正确；
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝＝，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了互斥及相互独立事件的判断，还考查了条件概率公式的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，＝＝n×＝n，A正确；
对于B，＝＝×＝，B错误；
对于C，﹣＝（n+1）n×﹣n×＝n2，C正确；
对于D，﹣＝＝（k≤n0），D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查排列、组合数公式的应用，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知f（x+1）为偶函数，对∀x∈R，f（x）＞0，且f（x+1）＝f（x）f（x+2），若f（1）＝2，则以下结论正确的是（ ）
A．B．f（3）＝1
C．f（2024）＝f（1）D．f（2024）＝f（2）
【分析】利用f（x+1）＝f（x）f（x+2）得到f（x+3）＝，可得周期为6，再结合f（﹣x+1）＝f（x+1）利用赋值法算出f（2），f（0），f（3）等值，再逐项判断．
【解答】解：由题意f（x+1）＝f（x）f（x+2）①，
得f（x+2）＝f（x+1）f（x+3），
两式两边分别相乘后化简得：f（x+3）＝②，所以f（x）的周期为6，
由于函数f（x+1）为偶函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1）③，
令③式中的x＝1，可得f（0）＝f（2），再令①式中的x＝0得f（1）＝f（0）f（2），
所以2＝f2（0）＝f2（2），结合f（x）＞0恒成立，所以f（2）＝f（0）＝，A正确；
再令②式中x＝0，得f（3）＝＝，B错误；
结合周期为6得：f（2024）＝f（6×337+2）＝f（2），C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查抽象函数的周期性、奇偶性等性质的判断和应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若，则n＝ 7 ．
【分析】根据组合数公式化简求n．
【解答】解：由题意，＝21，解得n＝7或n＝﹣6（舍）．
故答案为：7．
【点评】本题考查组合数的应用，属于基础题．
13．（5分）利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为 0.64 ．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，该金融产品价格上涨的概率为60%×80%+40%×40%＝0.64．
故答案为：0.64．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
14．（5分）已知f（x）＝x3﹣3x，直线与曲线f（x）有三个不同的交点，则k的取值范围为 ．
【分析】根据直线与曲线相切时求出临界值k，再求有3个交点时k的取值范围．
【解答】解：f（x）＝x3﹣3x，f'（x）＝3x2﹣3，
直线过（﹣，0），
设过点（﹣，0）的直线l与曲线f（x）相切于点P（x0，x30﹣3x0），
∴切线方程为y﹣（x﹣3x0）＝（3x﹣3）（x﹣x0），
将（﹣，0）代入方程得，0﹣（x﹣3x0）＝（3x﹣3）（﹣﹣x0），
解得x1＝﹣，x2＝，x3＝，
∴k1＝3x﹣3＝，k2＝3x﹣3＝，k3＝，
∵f（x）与直线与曲线f（x）有三个不同的交点，
∴＜k＜，或k＞．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的切线方程，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）证明：对∀x∈[0，+∞），．
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程；
（2）要证：，即证：，令，求导可得g（x）在[0，+∞） 单调递减，所以g（x）≤g（0）＝0，即，从而证得结论．
【解答】解：（1）由题意得：切点P（1，1﹣ln2），
因为函数f（x）＝x﹣ln（x+1），
所以f′（x）＝1﹣＝，
所以切线的效率k＝f′（1）＝，
所以切线方程为，即y＝；
（2）证明：要证：，
即证：，
令，
则g′（x）＝1﹣﹣x＝，
∀x∈[0，+∞），g′（x）≤0，则g（x）在[0，+∞） 单调递减，
所以g（x）≤g（x）max＝g（0）＝0，即，
则．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
16．（15分）已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
【分析】（1）直接利用二项式系数建立方程求出n的值；
（2）利用n的值和二项式的展开式求出x2的系数．
【解答】解：（1）由题意得：
，化简得：n2﹣2lnn+98＝0，
所以（n﹣7）（n﹣14）＝0，解得n＝7或14，
（2）由（1）得：n＝7或14，根据，x2的系数为；
当n＝7，k＝4时，，
当n＝14，k＝4 时，，
综上，当n＝7时，x2的系数为35；当n＝14时，x2的系数为1001．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，∠PAB＝120°，PA＝AB，G为△PAB的重心．
（1）若点E在线段BC上，且，求证：GE∥平面PCD；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得AD⊥平面PAB，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2，求得和平面PCD的法向量，计算其数量积即可得证；
（2）由（1）得：，，设直线PB与平面PCD所成角为θ，代入线面角公式即可求解．
【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，
以A为坐标原点，垂直平面ABCD竖直向上为z轴，以AD，AB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2，则PA＝AB＝2，
则，
由重心得，即，
由得：，
所以，，
设平面PCD的一个法向量为，
，
令，
∵，
又GE⊄平面PCD，
∴GE∥平面PCD；
解：（2）由（1）得：，，
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则，
故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
18．（17分）设函数f（x）＝（x﹣1）3﹣a（x﹣1），x∈R，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝3；
（3）若a＞0，函数g（x）＝|f（x+1）|，求g（x）在[0，2]上的最大值．
【分析】（1）对f（x）求导，分a≤0和a＞0两种情况，讨论导函数的正负，从而得原函数的单调性；
（2）由f（x）存在极值点x0，可得，再根据f（x1）＝f（x0），经计算可证得x1+2x0＝3；
（3）根据g（x）＝|x3﹣ax|，分析其单调性，分，，三种情况求其最大值，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，f′（x）＝3（x﹣1）2﹣a，
①当a≤0时，f′（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：由（1）知，，即，
则f（x1）＝f（x0）
因为x1≠x0，所以，
所以，
所以（x1﹣x0）（x1+2x0﹣3）＝0，
又x1≠x0，所以x1+2x0＝3；
（3）由题意，g（x）＝|f（x+1）|＝|x3﹣ax|，
则g（x）在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
①当时，即a≥12时，g（x）max＝g（2）＝|8﹣2a|＝2a﹣8；
②当时，即4＜a＜12时，；
③当时，即0＜a≤4时，
．
综上，．
【点评】本题考查导数的综合应用，属难题．
19．（17分）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量X（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差s＝50．
（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量X近似服从正态分布N（μ，δ2），用样本的平均值作为μ的近似值，用样本的标准差s作为δ的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在[300，400）之间的概率；
（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为n（n∈N）的概率为P（n），
（i）求P（0），P（1）的值，并证明：数列{P（n）﹣P（n﹣1）}（n∈N*）是等比数列；
（ii）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量ξ～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ≤ξ＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ≤ξ＜μ+2δ）≈0.9545，P（μ﹣3δ≤ξ＜μ+3δ）≈0.9973．
【分析】（1）由正态分布的概率公式即可求解；
（2）（i）由题意可知积分之和为n的情况分为：①上一次积分为n﹣1分，然后这次摸到白球；②上一次积分为n﹣2分，然后这次摸到红球；从而得（n≥2，且n∈N*），进而可得，从而证明结论；
（ii）由（i）中递推式可得，设获得一等奖的顾客人数为Y，则，由二项分布的期望公式即可求得．
【解答】解：（1）由题知X～N（300，502），
所以，
所以这一天该款手机的销量恰好在[300，400）之间的概率为0.47725；
（2）（i）证明：，
由题知，积分之和为n的情况分为：
①上一次积分为n﹣1分，然后这次摸到白球；
②上一次积分为n﹣2分，然后这次摸到红球；
于是（n≥2，且n∈N*），
则，
又，所以P（n）﹣P（n﹣1）≠0，
所以，
所以{P（n）﹣P（n﹣1）}（n∈N*）是以为首项，公比为的等比数列；
（ii）由（i）知，，
则，
，
……
，
累加得：，
所以，
又P（0）＝1符合上式，所以，
于是，
所以，
设获得一等奖的顾客人数为Y，则，
所以（人），
所以获得一等奖的顾客人数约为75人．
【点评】本题考查概率的应用，考查数列与概率的综合应用，属难题．
X1
0
1
2
3
P