2024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考数学模拟试卷（一）

这是一份2024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考数学模拟试卷（一），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果“亏损5%”记作﹣5%，那么+3%表示（ ）
A．多赚3%B．盈利﹣3%C．盈利3%D．亏损3%
2．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．2（2a﹣b）＝4a﹣b
C．（3a）2＝9aD．a6÷a4＝a2
4．（3分）点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
5．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．（3分）在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
8．（3分）如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
A．34°B．44°C．56°D．68°
9．（3分）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2a+3（a为常数）与x轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b﹣a＞c；④若B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）﹣的倒数是 ．
12．（3分）比较大小：﹣2 ﹣1.8（填“＞”，“＜”或“＝”）．
13．（3分）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：3，△ABC与△DEF的周长比是 ．
14．（3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是60m，则乙楼的高CD是 ．（结果保留根号）
15．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
16．（3分）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在Rt△ABC内，其中∠C为Rt△，D，E两点都是正方形的顶点，点D在AB边上，点E在线段CD上，则斜边AB的长为 ．
三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：．
18．（4分）解不等式组：．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2+．
20．（6分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题．
（1）本次调查的样本容量为 ；A组数据的众数为 h；
（2）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
21．（8分）某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，连接AM，作BN⊥AM于点N．
（1）若AM＝AB，求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝3，AM＝5，MC＝2，求AN的长与四边形BCMN的面积．
23．（10分）如图，直线交x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，且OC＝3OB，以OB，OC为边作矩形ABOC，反比例函数的图象经过点A，CA的延长线交直线于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点F在x轴上，且AF＝AD，求点F的坐标．
24．（12分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠ABD＝30°，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AO•AB；
（3）若BC＝1，求BF的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年广东省湛江市廉江市良垌三中中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵“亏损5%”记作﹣5%，
∴+3%表示表示盈利3%．
故选：C．
2．【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：C．
3．【解答】解：A.2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.2（2a﹣b）＝4a﹣2b，故本选项不合题意；
C．（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．
故选：D．
4．【解答】解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是：﹣5．
故选：B．
5．【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF＝60°，
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠EDF＝60°，
故选：C．
6．【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，
∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，
故选：D．
7．【解答】解：∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，
故选：B．
8．【解答】解：如图，由作图可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC，
∴∠AOE＝90°，∠EAC＝∠ACB＝34°，
∴∠α＝∠AEO＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
9．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2a+3（a为常数）与x轴有两个交点，
∴Δ＝4a2﹣4（a2﹣2a+3）＞0．
∴a＞．
∴﹣2a+3＜0．
∵y＝x2﹣2ax+a2﹣2a+3＝（x﹣a）2﹣2a+3，
∴抛物线的顶点坐标是：（a，﹣2a+3）．
∴此抛物线的顶点位于第四象限．
故选：D．
10．【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故③正确；
④∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，且1﹣（﹣）＞﹣1，
∴y1＜y2，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．【解答】解：﹣的倒数是：﹣9．
故答案为：﹣9．
12．【解答】解：∵2＞1.8，
∴﹣2＜﹣1.8，
故答案为：＜．
13．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比＝AB：DE＝1：3．
故答案为：1：3．
14．【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD＝60m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
解得：CD＝20，
故答案为：20 SHAPE \* MERGEFORMAT m．
15．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝＝2，
∵分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，分别与△ABC的边相交，
∴S阴影＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
16．【解答】解：∵∠AGF＝∠GFP＝∠FHP＝90°，
∴∠A+∠AFG＝∠AFG+∠HFP＝90°，
∴∠A＝∠HFP，
在△AFG与△FPH中，
，
∴△AFG≌△FPH（AAS），
∴AF＝FP＝2，AG＝FH，
∴AG＝FH＝＝＝，AF＝FG，
∴∠A＝30°，
∴∠FPH＝∠B＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED＝30°，
∵PE∥AC，
∴∠ACD＝∠PED＝30°，
∴CI＝，
∴AC＝AF+FH+HI+CI＝3+2，
∴AB＝4+2
故答案为：4+2．
三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：
＝3﹣×+
＝3﹣+
＝3．
18．【解答】解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
19．【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当a＝2+时，原式＝＝．
20．【解答】解：（1）本次调查的样本容量为15÷25%＝60；
由题意可知，A组数据的众数为0.4h．
故答案为：60；0.4；
（2）1200×＝860（名）．
∴该校学生劳动时间超过1h的约有860名．
21．【解答】解：（1）设每台空气加湿器降价x元，则每天盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
又∵要尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（2）不能，理由如下：
设每台空气加湿器降价y元，则每天盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50﹣y）（30+2y）＝2500，
整理得：y2﹣35y+500＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×500＝﹣775＜0，
∴该方程无实数根，
∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．
22．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD．
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝∠D＝90°．
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵AD＝3，AM＝5，
∴DM＝＝4，
∵CM＝2，
∴DC＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D＝90°，
∴∠AMD＝∠BAN，
∵BN⊥AM，
∴∠ANB＝90°，
∴∠D＝∠ANB，
∴△ANB∽△MDA，
∴，
∴，
∴AN＝，
∴BN＝＝，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ADM﹣S△ABN
＝AD•AB﹣
＝6×3﹣
＝．
23．【解答】解：（1）在直线中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵OC＝3OB，
∴A（﹣1，3），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
（2）在直线中，令y＝3，则x＝﹣6，
∴D（﹣6，3）
∴AD＝5，
设点F（m，0），
∵AF＝AD＝5，
∴25＝32+（﹣1﹣m）2
∴（m+1）2＝16，
∴m+1＝4或m+1＝﹣4，
m＝3或m＝﹣5，
∴点F的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
24．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线BD是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ABD，
∴＝，
∴AD2＝AO•AB；
（3）解：设OD＝OC＝r，
在Rt△BDO中，sin30°＝＝，
解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝OC+BC＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝＝，
∴BE＝＝，
连接DF，如图，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DFE＝90°，
即∠DFB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBF＝∠DBE，
∴△BFD∽△BDE；
∴＝，
∴＝，
解得：BF＝．
25．【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）设直线AB为：y＝k1x+1，
代入点B，得，3k1+1＝4，
解得k1＝1，
∴直线AB为：y＝x+1，
设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图，
则M（m，m+1），
∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，
∵四边形ACBP为平行四边形，
∴S四边形ACBP＝2S△ABC＝2（S△ACM+S△BCM）＝2×CM×3＝4CM＝3（﹣m2+3m）＝﹣3（m﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴m＝时，四边形ACBP面积的最大值为；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，
联立，解得，
∴D（1，4），
①如图，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，
∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90
∴∠DAN＝∠EDF，
又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，
∴△DNA≌△EFD（AAS），
∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，
∴E（4，3），
②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，
同理可得，E（﹣2，5），
③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，
同理可得，E（﹣3，2），
④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，
同理可得，E（3，0），
综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．
组别
时间h
频数
A
0＜t≤0.5
5
B
0.5＜t≤1
a
C
1＜t≤1.5
20
D
1.5＜t≤2
15
E
t＞2
8