2024年内蒙古呼和浩特市启秀中学中考数学二模试卷

这是一份2024年内蒙古呼和浩特市启秀中学中考数学二模试卷，共29页。

A．B．C．﹣6D．6
2．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）据国家统计局公布，2017年我国全年国内生产总值达827122亿元，827122亿用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．0.827122×1014B．82.7122×1012
C．8.27122×1014D．8.27122×1013
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3＝
B．（﹣a）3m÷am＝（﹣1）ma2m
C．﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（x2+2）
D．﹣（a+1）＝
5．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）某次歌手大奖赛中，呼声最高的六名选手为a，b，c，d，e，f，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为fedcba，他猜中了两名选手的名次，丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（ ）
A．cedafbB．ecfbadC．ceadfbD．daecfb
7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（ ）
A．B．C．D．1
8．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜3
10．（3分）若点P是直线y＝﹣x+2上一动点，∠OMP＝90°，则△OMP外接圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．πD．2π
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ ．
12．（3分）下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．其中正确的判断有 （填序号即可）
13．（3分）某超市销售一种计算机，每个售价48元，后来计算机雨进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算机的利润率提高了5%．则这种计算机原来每个进价是 ．
14．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中正确的 .（把正确结论的序号都填上）．
16．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则线段A′C的最小值是 ．
三.解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）（1）计算：4sin60°﹣|3﹣|+（）0+（）﹣2．
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣4．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且+﹣x1x2＝7，求m的值．
19．（9分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
20．（7分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD＝39°，真空管AB的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米．（参考数据：sin39°≈0.629，cs39°≈0.777，tan39°≈0.810，sin22°≈0.375，cs22°≈0.927，tan22°≈0.404）
（1）求水平横管BC到水平线AD的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
21．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
22．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．
23．（9分）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
24．（8分）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：∠FBC＝∠FCB；
（2）已知FA•FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．
25．（11分）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣（﹣6）的相反数是（ ）
A．B．C．﹣6D．6
【解答】解：﹣（﹣6）＝6，
故﹣（﹣6）的相反数是﹣6．
故选：C．
2．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）据国家统计局公布，2017年我国全年国内生产总值达827122亿元，827122亿用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．0.827122×1014B．82.7122×1012
C．8.27122×1014D．8.27122×1013
【解答】解：827122亿用科学记数法可表示为：8.27122×1013，
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3＝
B．（﹣a）3m÷am＝（﹣1）ma2m
C．﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（x2+2）
D．﹣（a+1）＝
【解答】解：A、a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3
＝a﹣2b2•（a﹣6b6）
＝a﹣8b8
＝，故A不符合题意；
B、（﹣a）3m÷am＝（﹣1）ma2m，故B符合题意；
C、﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（xn+2），故C不符合题意；
D、
＝
＝，故D不符合题意；
故选：B．
5．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得60π＝π×5×R，
解得R＝12．
∴sinθ＝，
故选：C．
6．（3分）某次歌手大奖赛中，呼声最高的六名选手为a，b，c，d，e，f，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为fedcba，他猜中了两名选手的名次，丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（ ）
A．cedafbB．ecfbadC．ceadfbD．daecfb
【解答】解：∵丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁没有猜中名次，
∴可排除B和D，
∵丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，
∴正确的顺序有fb组合且fb不是第四名和第五名，e不是第三名，
∵甲预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，
∴d不是第四名，排除C．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；
由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′＝∠MBA＝30°，
∴BM⊥AB′，且AM＝B′M；
由题意得：AB2＝4，
∴AB′＝AB＝2，AM＝1，
∴C′M＝AB′＝1；
由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴C′B＝﹣1，
故选：C．
8．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得：AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
9．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜3
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4．
故选：C．
10．（3分）若点P是直线y＝﹣x+2上一动点，∠OMP＝90°，则△OMP外接圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．πD．2π
【解答】解：如图，PM切圆O于点M，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP＝90°，
∵点P是直线y＝﹣x+2上一动点，
∴设P（m，﹣m+2），
∴OP2＝m2+（﹣m+2）2＝2（m﹣1）2+2，
当m＝1时，OP2最小是2，
∴OP＝，
要使△OMP外接圆面积最小，OP最小，
∴△OMP外接圆面积的最小值为（OP）2π＝（×）2π＝．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ xy（x﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
12．（3分）下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．其中正确的判断有 ①②③ （填序号即可）
【解答】解：①如图，等腰三角形ABC和等腰三角形A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD平分∠ABC，B'D'平分∠A'B'C'，
∴∠ABD＝∠A'B'D'，
∵BD＝B'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），
故①符合题意；
②在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，且AD＝A'D'，
∵∠ADB＝∠A'D'B'，
∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'（HL），Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL），
∴BD＝B'D'，CD＝C'D'，
∴BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C（SSS），
故②符合题意；
③三角形的重心定理：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，
故③符合题意；
故答案为：①②③．
13．（3分）某超市销售一种计算机，每个售价48元，后来计算机雨进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算机的利润率提高了5%．则这种计算机原来每个进价是 40元 ．
【解答】解：设这种计算器原来每个进价为x元，
根据题意得：＝，
48﹣x+0.05x＝50﹣x，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意，
答：这种计算器原来每个的进价是40元．
故答案为：40元．
14．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
由旋转，得△EOF≌△BOA，
∴∠OAB＝∠EFO，
∵∠FEO+∠EFO＝∠FEO+∠HED＝90°，
∴∠EFO＝∠HED，∴∠HED＝∠OAB，
∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，
∴△DHE≌△BOA（AAS），
∴DH＝OB＝1，
阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
＝×3×1+×1×2+﹣
＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中正确的 ②③④ .（把正确结论的序号都填上）．
【解答】解：如图1，
∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CM＝CM，
若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2．故③正确；
当MN过点D时，如图3所示：
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5，故④正确．
故答案为：②③④．
16．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则线段A′C的最小值是 2﹣2 ．
【解答】解：如图，以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A'C的长取最小值，
由折叠可知，A′E＝AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，CE＝＝＝2，
∴A′C的最小值＝CE﹣A'E＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
三.解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）（1）计算：4sin60°﹣|3﹣|+（）0+（）﹣2．
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣4．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝13．
（2）原式＝
＝
＝，
当x＝﹣4时，
原式＝．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且+﹣x1x2＝7，求m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，且+﹣x1x2＝7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2．
19．（9分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m＝ 100 ，n＝ 15 ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
m＝10÷10%＝100，n%＝15÷100＝15%，
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：100×35%＝35（人），
补全的条形统计图，如图所示；
（3）由题意可得，
全校1800名学生中，喜爱踢足球的有：1800×＝720（人），
答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球；
（4）设四名女生分别为：A（小红）、B（小梅）、C、D，
则出现的所有可能性是：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、
（B，A）、（B，C）、（B，D）、
（C，A）、（C，B）、（C，D）、
（D，A）、（D，B）、（D，C），
∴小红、小梅能分在同一组的概率是：．
20．（7分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD＝39°，真空管AB的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米．（参考数据：sin39°≈0.629，cs39°≈0.777，tan39°≈0.810，sin22°≈0.375，cs22°≈0.927，tan22°≈0.404）
（1）求水平横管BC到水平线AD的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABF中，，
∵AB＝2.5米，∠BAF＝39°，
∴BF＝AB⋅sin39°≈2.5×0.629＝1.5725≈1.6米．
答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米；
（2）∵∠FBC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴四边形BCDF为矩形，
∴BC＝DF，CD＝BF＝1.6米，
∵CE＝0.6米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.6﹣0.6＝1（米），
在Rt△ADE中，，
∵∠DAE＝22°，
∴（米），
又∵在Rt△ABF中，，
∵AB＝2.5米，∠BAF＝39°，
∴AF＝AB⋅cs39°≈2.5×0.777＝1.9425≈1.94（米）．
∴DF＝AD﹣AF＝2.48﹣1.94＝0.54≈0.5（米）．
∴BC＝DF＝0.5米，
答：水平横管BC的长度约为0.5米．
21．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵AB∥DC，CE⊥CD，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠OCE+∠OAE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠OEC+∠OEA＝90°，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∴OA＝OC＝OE，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
22．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．
【解答】解：（1）把A（2，m），B（n，﹣2）代入y＝得：k2＝2m＝﹣2n，
即m＝﹣n，
则A（2，﹣n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，﹣n），B（n，﹣2），
∴BD＝2﹣n，AD＝﹣n+2，BC＝|﹣2|＝2，
∵S△ABC＝•BC•BD
∴×2×（2﹣n）＝5，解得：n＝﹣3，
即A（2，3），B（﹣3，﹣2），
把A（2，3）代入y＝得：k2＝6，
即反比例函数的解析式是y＝；
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y＝k1x+b得：，
解得：k1＝1，b＝1，
即一次函数的解析式是y＝x+1；
（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是p≤﹣2，
当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是p＞0，
即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．
23．（9分）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
【解答】解：（1）由题意得：
y1＝（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），
y2＝100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；
（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，
即y1随x的增大而增大，
∴当x＝125时，y1最大值＝（120﹣a）×125＝15000﹣125a（万元）
②y2＝﹣0.5（x﹣100）2+5000，
∵a＝﹣0.5＜0，
∴x＝100时，y2最大值＝5000（万元）；
（3）∵由15000﹣125a＞5000，
∴a＜80，
∴当40＜a＜80时，选择方案一；
由15000﹣125a＝5000，得a＝80，
∴当a＝80时，选择方案一或方案二均可；
由15000﹣125a＜5000，得a＞80，
∴当80＜a＜100时，选择方案二．
24．（8分）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：∠FBC＝∠FCB；
（2）已知FA•FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠FBC+∠FAC＝180°，
∵∠CAD+∠FAC＝180°，
∴∠FBC＝∠CAD，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠CAD，
又∵∠FAB＝∠FCB，
∴∠FBC＝∠FCB；
（2）解：由（1）得：∠FBC＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠FBC，
∵∠BFA＝∠BFD，
∴△AFB∽△BFD，
∴，
∴BF2＝FA•FD＝12，
∴BF＝2，
∵FA＝2，
∴FD＝6，AD＝4，
∵AB为圆的直径，
∴∠BFA＝∠BCA＝90°，
∴tan∠FBA＝＝＝，
∴∠FBA＝30°，
又∵∠FDB＝∠FBA＝30°，
∴CD＝AD•cs30°＝4×＝2．
25．（11分）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，
∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3，
设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，
∵OE＝3，
∴AE＝5﹣3＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m＝，
∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），
∴﹣5＝﹣a（﹣+4），解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x+4）＝x2+x；
（2）∵CP＝2t，
∴BP＝5﹣2t，
∵BD＝，DE＝＝，
∴BD＝DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP＝EQ，
∴5﹣2t＝t，
∴t＝；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为＝﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴＝﹣1，解得m＝2，
又M点在抛物线上，
∴y＝×22+×2＝16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为＝﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴＝﹣3，解得m＝﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y＝×（﹣6）2+×（﹣6）＝16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．