2024年山东省聊城市东昌府区文轩中学中考数学三模试卷

这是一份2024年山东省聊城市东昌府区文轩中学中考数学三模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．3a+2a＝5aB．3a﹣2a＝1
C．3a•2a＝6aD．（3a）÷（2a）＝a
3．（3分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图所示几何体均由5个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）国网山西省电力公司数据显示，截至2022年底，山西全省新能源装机容量达4013.52万千瓦，突破4000万千瓦大关，占全省总装机容量的33.23%．数据4013.52万千瓦可用科学记数法表示为（ ）
A．401352×102千瓦B．4013.52×104千瓦
C．4.01352×107千瓦D．4.01352×108千瓦
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，∠2＝90°，则∠3的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，连接CC′，当点B的对应点B′落在AC边上时，∠B′CC′的度数为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）关于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④如果当x＝1时的函数值与x＝2023时的函数值相等，则当x＝2024时的函数值为﹣3．
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果。
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 ．
16．（3分）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第n﹣1个数对： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
18．（8分）社会发展日新月异，企业唯有与时俱进，才能破茧成蝶、破壳发展．某醋厂秉持科技创新的理念，不断推陈出新．为开发一种新的风味醋，醋厂研发组采用甲、乙两种技术方案进行实验，每种方案各设置100个实验样品．经过一段时间后，研发组从两组实验样品中各随机抽取20个作为样本，对每个样本的指标进行综合评分（满分100，单位：分），并对相关数据进行整理和分析（用x表示综合评分，数据分成5组：A．50≤x＜60；B．60≤x＜70；C．70≤x＜80；D．80≤x＜90；E．x≥90．注：90分及以上为优等）．
【数据收集与整理】
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述材料中空缺的数据：
a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）经过评估，研发组认为乙方案优于甲方案，你认为他们的结论合理吗？请结合“数据分析”中的四种数据说明理由；
（3）研发组计划对两种方案中综合评分为“优等”的实验样品进行第二阶段的指标分析，请估计第二阶段指标分析的实验样品共约有多少个．
19．（8分）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，∠AEB＝53°，∠CED＝45°，已知BE＝60米，ED＝20米．求两栋楼楼顶A，C之间的距离（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，测角仪的高度忽略不计）．
20．（8分）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务：
21．（9分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．
22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点E是BC的中点，连接AC，AE，CE，在射线BC上取点D，使∠DAC＝∠CEA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，，求⊙O的半径．
23．（10分）综合与探究
如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），C（0，3）．点P是抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，连接AP交BC于点E，当PE＝AE时，求点P的坐标．
（3）如图2，连接CP，过点P作QP⊥CP交抛物线的对称轴于点Q．试探究：是否存在一点P使CP＝QP．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）综合与实践
问题情境：
四边形ABCD是正方形，E为对角线AC所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接BE．将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，连接AE'．
问题解决：
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：AE'＝CE．
探索发现：
（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，线段AE'与CE的数量关系为
（3）如图3，当点E在AC的延长线上时，连接EE'并延长，交CD边于点G，交BA的延长线于点F，试判断FG与BE的数量关系，并说明理由．
、
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【解答】解；的相反数是，
故选：D．
2．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．3a+2a＝5aB．3a﹣2a＝1
C．3a•2a＝6aD．（3a）÷（2a）＝a
【解答】解：A、3a+2a＝5a，计算正确，符合题意；
B、3a﹣2a＝a，计算错误，不符合题意；
C、3a•2a＝6a2，计算错误，不符合题意；
D，（3a）÷（2a）＝，计算错误，不符合题意；
故选：A．
3．（3分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图所示几何体均由5个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．主视图的底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，故本选项不符合题意；
B．主视图与俯视图相同，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C．主视图的底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形；俯视图的底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形，故本选项不符合题意；
D．主视图的底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：B．
5．（3分）国网山西省电力公司数据显示，截至2022年底，山西全省新能源装机容量达4013.52万千瓦，突破4000万千瓦大关，占全省总装机容量的33.23%．数据4013.52万千瓦可用科学记数法表示为（ ）
A．401352×102千瓦B．4013.52×104千瓦
C．4.01352×107千瓦D．4.01352×108千瓦
【解答】解：4013.52万＝40135200＝4.01352×107．
故选：C．
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，∠2＝90°，则∠3的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
【解答】解：如图，
∵∠1＝55°，∠2＝90°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝35°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠4＝35°．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，连接CC′，当点B的对应点B′落在AC边上时，∠B′CC′的度数为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【解答】解：由旋转可得，AC＝AC'，∠B'AC'＝∠BAC＝36°，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝＝72°，
即∠B′CC′的度数为72°．
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由作图过程可知：AE垂直平分CD，
∴CE＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵BC•AE＝AB•AC，
∴AE＝，
∴CE＝＝＝，
∴BD＝BC﹣2CE＝5﹣＝．
∴S△ABD＝BD•AE＝×＝．
故选：C．
10．（3分）关于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④如果当x＝1时的函数值与x＝2023时的函数值相等，则当x＝2024时的函数值为﹣3．
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，
∴二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；
②∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴﹣＝m≥2，说法②错误；
③∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象向左平移3个单位后过原点，
∴点（3，0）在二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象上，
∴9﹣6m﹣3＝0，
∴m＝1，说法③正确；
④∵当x＝1时的函数值与x＝2023时的函数值相等，
∴二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象的对称轴为直线x＝1012．
当x＝0时，y＝x2﹣2mx﹣3＝﹣3，
∴当x＝2024时，y＝x2﹣2mx﹣3的函数值为﹣3，说法④正确．
综上所述：正确的说法有①③④．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果。
11．（3分）计算的结果是 ．
【解答】解：原式
＝
＝
＝．
故答案为：．
12．（3分）为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是 ．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种课程的结果有3种，
∴两人恰好选择同一种课程的概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝ 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵CE＝10，F为CE的中点，
∴BF＝CE＝5，
∴BF＝BG＝5，
∴AG＝＝＝3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接CD
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴∠ABC＝60°，BC＝3，
∵CB＝CE，
∴△BCD是等边三角形
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝30°，
∵AB＝2BC＝6，BC＝BD，
∴AD＝BD＝3，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE+S扇形BCD﹣＝S扇形BCD﹣S扇形CDE＝﹣＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 ﹣ ．
【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝OB＝1，
∴OD＝＝，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，
∴a（﹣1）2＝﹣，
解得a＝﹣．
故答案为：﹣．
16．（3分）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第n﹣1个数对： （n2+n+1，n2+2n+2） ．
【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，…，
则第n个数对的第一个数为n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…，
即22+1，32+1，42+1，52+1，…，
则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．
故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【解答】解：（1）原式＝4+﹣1﹣4×+2
＝4+﹣1﹣2+2
＝5﹣；
（2）解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
将解集表示在数轴上如下：
18．（8分）社会发展日新月异，企业唯有与时俱进，才能破茧成蝶、破壳发展．某醋厂秉持科技创新的理念，不断推陈出新．为开发一种新的风味醋，醋厂研发组采用甲、乙两种技术方案进行实验，每种方案各设置100个实验样品．经过一段时间后，研发组从两组实验样品中各随机抽取20个作为样本，对每个样本的指标进行综合评分（满分100，单位：分），并对相关数据进行整理和分析（用x表示综合评分，数据分成5组：A．50≤x＜60；B．60≤x＜70；C．70≤x＜80；D．80≤x＜90；E．x≥90．注：90分及以上为优等）．
【数据收集与整理】
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述材料中空缺的数据：
a＝ 2 ，b＝ 79 ，c＝ 15% ；
（2）经过评估，研发组认为乙方案优于甲方案，你认为他们的结论合理吗？请结合“数据分析”中的四种数据说明理由；
（3）研发组计划对两种方案中综合评分为“优等”的实验样品进行第二阶段的指标分析，请估计第二阶段指标分析的实验样品共约有多少个．
【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣3﹣7﹣6＝2，
A，B，E三个等级的数据个数相同，
∴A，B，E所占比各15%，15%，15%，
∴A，B，C等级的人数为20x15%＝3（个），
20×15%＝3（个），20×25%＝5（个），乙方案的中位数为第10、11的平均数为＝79，
则b＝79，优等率c＝15%，
故答案为：2，79，15%；
（2）合理，
理由：根据统计表提供的信息，甲、乙两个方案的平均分相同，但是其他统计量不同，
从优等率看，乙方案为15%，甲方案为10%，乙方案中优等实验样品的数量高于甲方案中优等实验样品的数量，乙方案优于甲方案；
从中位数看，乙方案的中位数为79分，甲方案的为78分，说明乙方案试验样品综合评分的中位数高于甲方案的，乙方案优于甲方案，
从方差看，乙方案样本方差小于甲方案样本方差，说明乙方案样实验样品的表现更为稳定；
综上所述，乙方案优于甲方案；
（3）100×（10%+15%）＝25（个），
答：第二阶段要分析的试验样品共约25个．
19．（8分）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，∠AEB＝53°，∠CED＝45°，已知BE＝60米，ED＝20米．求两栋楼楼顶A，C之间的距离（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，测角仪的高度忽略不计）．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB，交AB于点F．
在Rt△CED中，∠CED＝45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∴CD＝DE＝20米，
在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，
∴，
∴，
∴AB＝80米．
由题意，得 BF＝CD＝DE＝20米，CF＝BD＝BE+ED＝80米，
∴AF＝AB﹣BF＝80﹣20＝60（米），
在 Rt△ACF中，（米）．
∴A，C之间的距离为100米．
20．（8分）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务：
【解答】解：任务一：设甲类图书每本的进价是m元，乙类图书每本的进价是n元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元；
任务二：①根据题意得：36x+45y＝4500，
∴y＝﹣x+100；
②根据题意得：w＝（38﹣36）x+（50﹣45）（﹣x+100），
即w＝﹣2x+500，
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当x＝60时，w取得最大值，最大值为﹣2×60+500＝380（元）．
故答案为：380．
21．（9分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6，
∴A（﹣4，6），B（4，﹣6），
∵点A（﹣4，6）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，
∴6＝，
∴m＝﹣24，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y＝（m≠0）的图象下方，
∴不等式kx＜的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴6＝﹣4k，解得k＝﹣，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBE＝20，
∵B（4，﹣6），
∴BG＝4，
∴S△OBE＝＝20，
∴OE＝10，
.E（0，10），
∴直线CD为y＝﹣x+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴k＝﹣，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBF＝20，
∵B（4，﹣6），
∴OF•6＝20，
∴OF＝，
∴F（，0），
设直线CD的表达式为y＝﹣x+b，
代入F点的坐标得，﹣×+b＝0
解得b＝10，
∴直线CD为y＝﹣x+10．
22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点E是BC的中点，连接AC，AE，CE，在射线BC上取点D，使∠DAC＝∠CEA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠E，∠E＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠CAD+∠CAB＝90°，
∴∠DAB＝90°
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴sinB＝sin∠CAD＝，
∴＝，
∵CD＝6，
∴，
∴AB＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
23．（10分）综合与探究
如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），C（0，3）．点P是抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，连接AP交BC于点E，当PE＝AE时，求点P的坐标．
（3）如图2，连接CP，过点P作QP⊥CP交抛物线的对称轴于点Q．试探究：是否存在一点P使CP＝QP．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式y＝kx+3，
∴3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式y＝﹣x+3；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于G，AH∥y轴交BC于H点，
∴PG∥AH，
∴＝，
∵PE＝AE，
∴＝，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+3t，
∵A（﹣1，0），
∴H（﹣1，4），
∴AH＝4，
∴PG＝2＝﹣t2+3t，
解得t＝1或t＝2，
∴P（1，4）或（2，3）；
（3）存在一点P使CP＝QP，理由如下：
∵CP＝QP，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
如图2，当P点在对称轴的右侧，P点在C点下方时，
过点P作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M点，过点Q作QN⊥MN交于N点，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠CPM+∠QPN＝90°，
∵∠CPM+∠MCP＝90°，
∴∠QPN＝∠MCP，
∵CP＝PQ，
∴△CPM≌△PQN（AAS），
∴CM＝PN，PM＝QN，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴CM＝PN＝m，PM＝QN＝m﹣1，
∴m﹣1＝3﹣（﹣m2+2m+3），
解得m＝或m＝（舍），
∴P（，）；
如图3，当P点在对称轴右侧，P点在C点上方时，
过P点作MN∥y轴，过点Q作QM⊥MN交于M点，过点N作CN⊥MN交于N点，
∴△CNP≌△PMQ（AAS），
∴CN＝PM＝m，QM＝PN＝m﹣1，
∴m﹣1＝﹣m2+2m+3﹣3，
解得m＝或m＝（舍），
∴P（，）；
如图4，当P点在对称轴的左侧，P点在Q点上方时，
过点P作MN⊥y轴交于M点，交对称轴于N点，
∴△PMC≌△QNP（AAS），
∴PM＝NQ＝m，CM＝PN＝1﹣m，
∴1﹣m＝﹣m2+2m+3﹣3，
解得m＝或m＝（舍），
∴P（，）；
如图5，当P点在对称轴的左侧，P点在C点下方时，
过P点作MN∥y轴，过点C作CM⊥MN交于M点，过点Q作QN⊥MN交于N点，
∴△CPM≌△PQN（AAS），
∴CM＝PN＝﹣m，PM＝NQ＝1﹣m，
∴3﹣（﹣m2+2m+3）＝1﹣m，
解得m＝（舍）或m＝，
∴P（，）；
综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
24．（12分）综合与实践
问题情境：
四边形ABCD是正方形，E为对角线AC所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接BE．将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，连接AE'．
问题解决：
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：AE'＝CE．
探索发现：
（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，线段AE'与CE的数量关系为 AE'＝CE
（3）如图3，当点E在AC的延长线上时，连接EE'并延长，交CD边于点G，交BA的延长线于点F，试判断FG与BE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，
∴BE'＝BE，∠EBE'＝90°，
∴∠ABE'+∠ABE＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE'＝∠CBE，
∴△ABE'≌△CBE（SAS）．
∴AE'＝CE；
（2）解：同（1）可得△ABE'≌△CBE（SAS）．
∴AE'＝CE；
故答案为：AE'＝CE．
（3）解：FG＝BE．
理由：如图，过点E作EM⊥AE，交DC的延长线于点M，则∠CEM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BCD＝90°．
∴∠F＝∠EGM，∠BCM＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°．
∴∠ECM＝∠ACD＝45°，
∴∠M＝90°﹣∠ECM＝45°，
∴∠ECM＝∠M，
∴CE＝ME．
同（1）得△ABE'≌△CBE．
∴AE'＝CE，∠BAE'＝∠BCE＝∠BCM+∠ECM＝135°，
∴AE'＝ME，∠E'AF＝180°﹣∠BAE'＝45°，
∴∠E'AF＝∠M．
∴△AFE'≌△MGE（AAS），
∴FE'＝GE．
∴FG＝FE'+E'G＝GE+E'G＝EE'．
∵将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，
∴BE'＝BE，∠EBE'＝90°，
∴∠BEE'＝∠BE'E＝45°，
∴FG＝EE'＝＝EB．甲方案20个样本的综合评分
59，86，77，87，78，73，79，69，84，91，85，91，64，85，59，78，64，70，75，86．
乙方案20个样本的综合评分
A，B，E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：72，73，76，79，79．
甲方案样本综合评分统计
A．50≤x＜60
2
乙方案样本综合评分统计

B．60≤x＜70
3
C．70≤x＜80
7
D．80≤x＜90
6
E．x≥90
a
样本综合评分情况分析
平均数
中位数
方差
优等率
甲方案
77
78
97.8
10%
乙方案
77
b
86.5
c
如何设计采购方案
素材一：
甲
乙
总费用（元）
购进数量（本）
3
4
288
购进数量（本）
5
2
270
素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下：
甲
乙
购进数量（本）
x
y
售价（元/本）
38
50
问题解决
任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价．
任务二：①写出y关于x的关系式；
②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，请直接写出利润w的最大值为 元．
篮球
足球
排球
篮球
（篮球，篮球）
（篮球，足球）
（篮球，排球）
足球
（足球，篮球）
（足球，足球）
（足球，排球）
排球
（排球，篮球）
（排球，足球）
（排球，排球）
甲方案20个样本的综合评分
59，86，77，87，78，73，79，69，84，91，85，91，64，85，59，78，64，70，75，86．
乙方案20个样本的综合评分
A，B，E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：72，73，76，79，79．
甲方案样本综合评分统计
A．50≤x＜60
2
乙方案样本综合评分统计

B．60≤x＜70
3
C．70≤x＜80
7
D．80≤x＜90
6
E．x≥90
a
样本综合评分情况分析
平均数
中位数
方差
优等率
甲方案
77
78
97.8
10%
乙方案
77
b
86.5
c
如何设计采购方案
素材一：
甲
乙
总费用（元）
购进数量（本）
3
4
288
购进数量（本）
5
2
270
素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下：
甲
乙
购进数量（本）
x
y
售价（元/本）
38
50
问题解决
任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价．
任务二：①写出y关于x的关系式；
②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，请直接写出利润w的最大值为 380 元．