2024年浙江省杭州滨文中学中考数学三模试卷

这是一份2024年浙江省杭州滨文中学中考数学三模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列数是无理数的是（ ）
A．B．C．|﹣3|D．﹣π
2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列语句是命题的是（ ）
A．将27开立方
B．任意三角形的三条中线相交于一点吗？
C．锐角小于直角
D．做一条直线和已知直线垂直
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．（a3）2＝a5C．＝±5D．＝﹣2
5．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
6．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
7．（3分）若不等式组的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（ ）
A．a≥bB．a≤bC．a＞bD．a＜b
8．（3分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．
9．（3分）如图，点P是△ABC的重心．过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E；作DF∥EC交AC于点F．若△ABC的面积为18，则四边形ECFD的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1B．x1x2x3x4＝1
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知2a＝5b，则＝ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 ．
13．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
14．（3分）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 ．
15．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 ．
16．（3分）如图，在赵爽弦图中，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形ABF，BCG，CDH，DAE和一个小正方形EFGH组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形MNPQ，连接PH并延长，交MQ于点O．若正方形MNPQ的面积为196，正方形EFGH的面积为4，则：
（1）正方形ABCD的面积为 ．
（2）OH的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．计算：．
18．为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放．一天，小林把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置．你能确定小林是怎样投放的吗？—个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位置的概率是多少？
19．已知一组数据100，98，95，95，97，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画的两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去97，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数 ．
A．增加97
B．减少97
C．不变
②这组数据中的每个数据都减去97，得到的一组新数据的方差 （填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，那么数据a1+m，a2+m，a3+m，…，an+m的平均数是 ，方差是 ．
20．经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象；
（2）求出函数表达式；
（3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，若0＜x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
21．将小球（看作一点）从距离地面3m高的点A处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
（2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中长CD为2m，宽DE为1m，若要使小球落入筐中，求b的取值范围．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若，CA＝12，求AF的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
24．（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形ABCD是垂美四边形，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（3）尝试问题解决：已知，，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，求S△ABC的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列数是无理数的是（ ）
A．B．C．|﹣3|D．﹣π
【解答】解：对于A，是有理数，故A选项不符题意，
对于B，是有理数，故B选项不符题意，
对于C，|﹣3|＝3是有理数，故C选项不符题意，
对于D，y＝﹣π是无理数，故D选项符合题意，
故选：D．
2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，
故选：D．
3．（3分）下列语句是命题的是（ ）
A．将27开立方
B．任意三角形的三条中线相交于一点吗？
C．锐角小于直角
D．做一条直线和已知直线垂直
【解答】解：根据命题是对某个问题作出判断，因此A、B、D不是命题，
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．（a3）2＝a5C．＝±5D．＝﹣2
【解答】解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、＝5，故此选项错误；
D、＝﹣2，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1，
∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：D．
6．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°，
故选：B．
7．（3分）若不等式组的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（ ）
A．a≥bB．a≤bC．a＞bD．a＜b
【解答】解：∵不等式组的解集为x＞﹣b，
∴﹣a≤﹣b，
整理得：a≥b，
故选：A．
8．（3分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝9，
∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC﹣π×（）2＝9，
∴AC×BC＝18，
∵AC+BC＝10．
∴AB＝＝，
故选：C．
9．（3分）如图，点P是△ABC的重心．过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E；作DF∥EC交AC于点F．若△ABC的面积为18，则四边形ECFD的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：连接BP并延长交AC于G，由重心的性质得，BP：PG＝2：1，
∵DE∥AC，
∴BD：DA＝BP：PG＝2：1，
∴BD：BA＝2：3，AD：AB＝1：3，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，
∴S△BDE：S△BAC＝4：9，S△ADF：S△ABC＝1：9，
∴，，
∴四边形ECFD的面积＝18﹣8﹣2＝8，
故选：B．
10．（3分）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1B．x1x2x3x4＝1
C．D．
【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分别是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，x3+x4＝﹣，x3•x4＝．
则：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合题意；
B、x1x2x3x4＝•＝1，符合题意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知2a＝5b，则＝ ．
【解答】解：∵2a＝5b，
∴a＝b，
∴＝＝＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 a ．
【解答】解：∵＝，
∴＝，＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ADE＝S△ABC＝a，
同理，S△BDF＝S△ABC＝a，
∴平行四边形DFCE的面积为：a﹣S△ADE﹣S△BDF＝a﹣a﹣a＝a．
故答案为：a．
13．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ﹣4≤n＜5 ．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2+2x﹣3的图象开口向上，顶点为（﹣1，﹣4），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2﹣4＝5，
当m＝﹣1时，n＝﹣4，
∴n的取值范围是﹣4≤n＜5，
故答案为：﹣4≤n＜5．
14．（3分）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 （2000π+4000）mm ．
【解答】解：图中管道的展直长度＝2×+4000＝2000π+4000（mm）．
故答案为：（2000π+4000）mm．
15．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 14 ．
【解答】解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：
∵△ABM和△ACN是等边三角形，
∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，
即∠CAM＝∠NAB，
在△CAM和△NAB中，，
∴△CAM≌△NAB（SAS），
∴CM＝NB，
∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，
∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，
∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，
∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
又∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形，
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，
∵NP⊥BC，
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，
∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，
∴BP＝BC+PC＝5+＝，
∴BN＝＝＝7，
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，
∴四边形DEFG的周长＝4×＝14，
故答案为：14．
16．（3分）如图，在赵爽弦图中，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形ABF，BCG，CDH，DAE和一个小正方形EFGH组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形MNPQ，连接PH并延长，交MQ于点O．若正方形MNPQ的面积为196，正方形EFGH的面积为4，则：
（1）正方形ABCD的面积为 100 ．
（2）OH的长为 7.9 ．
【解答】解：（1）设每个小直角三角形的长直角边长为a，短直角边长为b，斜边长为c．
∵正方形MNPQ的面积为196，正方形EFGH的面积为4，
∴．
∵a＞0，b＞0，
∴．
解得：．
∴c＝＝10．
∴正方形ABCD的面积为：c2＝100．
故答案为100；
（2）设HP交CD于点K．
由题意得：CH＝CP，∠HCK＝∠PCK，
∴CK⊥HP．
∴∠CKP＝90°．
∴∠KCP+∠KPC＝90°．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠CPK+∠DPK＝90°．
∴∠KCP＝∠DPK．
由题意得：PC＝b＝8，sin∠DCP＝＝．
∴PK＝PC•sin∠DCP＝8×＝4.8．
同理HK＝4.8．
∴PH＝9.6．
由题意得：∠Q＝90°，PQ＝6+8＝14，cs∠OPQ＝cs∠DCP＝＝．
∴OP＝QP÷cs∠OPQ＝14÷0.8＝17.5．
∴OH＝OP﹣PH＝17.5﹣9.6＝7.9．
故答案为：7.9．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．计算：．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
18．为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放．一天，小林把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置．你能确定小林是怎样投放的吗？—个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位置的概率是多少？
【解答】解：小林把装有不可回收垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有有害垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处或把装有有害垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有不可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处；
画树状图为：（用A、B、C表示可回收的、不可回收的和有害垃圾投放位置，用a、b、c表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾的袋子）
共有6种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为2种，
所以把三个袋子都放错位置的概率＝＝．
19．已知一组数据100，98，95，95，97，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画的两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去97，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数 B ．
A．增加97
B．减少97
C．不变
②这组数据中的每个数据都减去97，得到的一组新数据的方差 不变 （填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，那么数据a1+m，a2+m，a3+m，…，an+m的平均数是 +m ，方差是 s2 ．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）观察你画的两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去97，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数减少97，
故答案为：B；
②这组数据中的每个数据都减去97，得到的一组新数据的方差不变；
故答案为：不变；
（3）根据（2）的结论可知：
若一组数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，那么数据a1+m，a2+m，a3+m，…，an+m的平均数是+m，方差是s2．
故答案为：+m，s2．
20．经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象；
（2）求出函数表达式；
（3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，若0＜x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）
由函数图象可知，y与x成反比例关系，
设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，
∴，
将其余各组数据代入验证均成立，
∴函数表达式为：；
（3）y1＞y2；
理由：由函数图象可得，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＞y2．
21．将小球（看作一点）从距离地面3m高的点A处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
（2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中长CD为2m，宽DE为1m，若要使小球落入筐中，求b的取值范围．
【解答】解：（1）①根据题意得A（0，3），
∵当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+3，
当x＝1时，y＝﹣+3＝，
答：小球达到的最大高度为．
②当y＝0时，即﹣x2+x+3＝0，
解得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意舍去），
答：小球落地时的水平距离为（1+）米；
（2）根据题意知：F（4，1），E（6，1），
∵c＝3．
∴y＝﹣x2+bx+3．
∴当抛物线过点F（4，1）时，有：1＝﹣×42+4b+3，
解得b＝；
当抛物线过点E（6，1）时，有：1＝﹣×62+6b+3，
解得b＝，
∴要使小球落入筐中，b的取值范围是．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若，CA＝12，求AF的长．
【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：
∵E是的中点，
∴，
∴∠EAB＝∠EAD，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
即∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AB是圆的直径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ACD中，csC＝＝，
∴CD＝×12＝8，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAC＝∠AFD，
∴CF＝AC＝12，
∴DF＝4，
∵AD2＝AC2﹣CD2＝122﹣82＝80，
∴AF＝＝＝4．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且3m+3n≤﹣4，
∴≤﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
24．（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ②④ ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形ABCD是垂美四边形，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（3）尝试问题解决：已知，，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，求S△ABC的面积．
【解答】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：②④；
（2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解：①如图2，延长CB交DE于M，过点D作DN⊥CB于N，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝∠EBN＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，AC＝＝3，
∴∠BAC＝∠DBN，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
∴BC＝DN＝BE＝4，AC＝BN＝3，
在△DNM和△EBM中，
，
∴△DNM≌△EBM（AAS），
∴MN＝MB＝BN＝×3＝，MD＝ME＝DE，
在Rt△DNM中，∠MND＝90°，
∴MD＝＝＝，
∴DE＝2MD＝；
②如图3，∠ACB≠90°，分别过点A、D作AM⊥CB于点M，DN⊥CB于点N，连接DC，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，
∴∠AMB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，
∴∠BAM＝∠DBN，
在△AMB和△BND中，
，
∴△AMB≌△BND（AAS），
∴BM＝DN，AM＝BN，
设AM＝BN＝x，则CN＝BC+BN＝4+x，
∵点G、H分别是AD、AC中点，连接GH、DC，GH＝2，
∴DC＝2GH＝4，
在Rt△DNC和Rt△DNB中，由勾股定理得：
DN2＝DB2﹣BN2，DN2＝DC2﹣CN2，
∴DB2﹣BN2＝DN2＝DC2﹣CN2，即（5）2﹣x2＝（4）2﹣（4+x）2，
解得：x＝，即AM＝BN＝x＝，
∴S△ABC＝BC•AM＝×4×＝．x
1
2
3
4
5
6
y
6
3
2
1.5
1.2
1
x
1
2
3
4
5
6
y
6
3
2
1.5
1.2
1