陕西省榆林市第十中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学（文科）试题

这是一份陕西省榆林市第十中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学（文科）试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z＝1+ai，（ ）
A．1或﹣1B．C．D．
2．（5分）设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣2}B．{x|x＞0}C．{x|﹣2＜x≤0}D．{x|0≤x≤1}
3．（5分）在等差数列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，则{an}的前6项和为（ ）
A．6B．9C．10D．11
4．（5分）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，则抽验一只是正品（甲级）的概率为（ ）
A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08
5．（5分）已知变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：
据此得到变量x，y之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．变量x，y之间成负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，
C．m＝4
D．该回归直线必过点（9，4）
6．（5分）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台），将正四棱台切割成九部分进行求解．图（1）为俯视图，图（2），B、D、H、F对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积（ ）
A．3：1B．1：3C．2：3D．1：6
7．（5分）已知，为非零向量，则“•与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（ ）
A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）
9．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为T（T）＝．将y＝f（x）的图象向右平移，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
11．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|＝2c，AF1与y轴交于点B，若|AF2|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）设，，，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量＝（﹣1，m），2+＝（2，3+2m），则||＝ ．
14．（5分）已知实数x，y满足，则2x+y的最小值为 ．
15．（5分）已知在等比数列{an}中，，则数列{an}的通项公式为 ．
16．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，且AF＝4，则此抛物线的方程为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
（Ⅰ）从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？
（Ⅱ）校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为x，当x＜70时，奖励该学生10元食堂代金券，奖励该学生25元食堂代金券；当x≥90时；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．
若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？
18．（12分）如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，E为AD的中点．将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，得到如图2所示的多面体．
（1）在多面体中，求证：A，B，D，E四点共同面；
（2）求多面体的体积．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsC+csinB＝0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．
20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点F（，0）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点B（0，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N．若点B在以线段MN为直径的圆上，并求出该定点的坐标．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex+（a﹣1）x﹣1，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝2时，证明：f（x）＞xlnx﹣csx．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，直线l1的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程及直线l1的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的极坐标为，射线l2的极坐标方程为，射线l2与曲线C和直线l1分别交于A，B两点，求△ABP的面积．
【选修4-5：不等式选讲】
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0，
（2）若关于x的方程f（x）+4|x﹣2|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
2024年陕西省榆林十中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z＝1+ai，（ ）
A．1或﹣1B．C．D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：因为复数z＝1+ai，所以，，
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．（5分）设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣2}B．{x|x＞0}C．{x|﹣2＜x≤0}D．{x|0≤x≤1}
【分析】根据集合的基本运算即可求（∁RA）∩B．
【解答】解：∵A＝{x|x＞0}，∴∁RA＝{x|x≤0}，
∵B＝{x|﹣8＜x≤1}，∴（∁RA）∩B＝{x|﹣2＜x≤5}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．（5分）在等差数列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，则{an}的前6项和为（ ）
A．6B．9C．10D．11
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a4＝5，a5＝3，
∴8a1+4d＝8，a1+4d＝6，
解得：a1＝﹣1，d＝5，
则{an}的前6项和＝﹣6+×6＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，则抽验一只是正品（甲级）的概率为（ ）
A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08
【分析】由题意，记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，利用对立事件及互斥事件的定义即可求得．
【解答】解：记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，这三个事件彼此互斥，
因而抽验产品是正品（甲级）的概率为P（A）＝1﹣P（B）﹣P（C）＝1﹣4%﹣3%＝92%＝0.92．
故选：C．
【点评】此题考查了互斥事件，对立事件及学生对于题意的正确理解．
5．（5分）已知变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：
据此得到变量x，y之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．变量x，y之间成负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，
C．m＝4
D．该回归直线必过点（9，4）
【分析】由﹣0.7＜0可判断A，令线性回归方程中x＝20进行预测，可判断B，利用线性回归方程过点（，）可求出m的值，进而判断CD．
【解答】解：对于A，由﹣0.7＜2，y之间呈负相关关系；
对于B，当x＝20时，；
对于C，由表格数据可知，＝，
则 10.4，
解得m＝5，故C错误；
对于D，由m＝5，得，6）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
6．（5分）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台），将正四棱台切割成九部分进行求解．图（1）为俯视图，图（2），B、D、H、F对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积（ ）
A．3：1B．1：3C．2：3D．1：6
【分析】设四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，则根据题意易得b2h＝2abh，从而可得b＝2a，再利用体积公式计算，即可求解．
【解答】解：设四棱锥的底面边长为a，高为h，
则中间位置的长方体E的体积为b2h，四个三棱柱的体积为，
又这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，∴b2h＝4abh，
∴b＝2a，
∴四棱锥I与三棱柱H的体积之比：＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
7．（5分）已知，为非零向量，则“•与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】与 都是非零向量，则“向量与 夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．
【解答】解：与 都是非零向量与 夹角为锐角”⇒“”，可能同向共线．
因此“”是“向量与 ．
故选：B．
【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（ ）
A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）
【分析】由题意，利用函数的奇偶性和单调性的性质可得﹣＜2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．
【解答】解：∵偶函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，
则由f（2x﹣4）＜f（），
∴﹣＜2x﹣7＜＜x＜，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题．
9．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可求解．
【解答】解：如图，设AA1，A1BE，AC，F，G，H，
则EF∥AB6，EF＝AB3；EG∥A1C，EG＝A1C，
∴异面直线AB1与A2C所成角即为∠FEG或其补角，
又根据题意易知EF＝EG＝＝，FG＝＝＝，
∴cs∠FEG＝＝，
∴异面直线AB1与A2C所成角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求解，化归转化思想，属中档题．
10．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为T（T）＝．将y＝f（x）的图象向右平移，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】首先根据正弦函数的周期公式，诱导公式可求sinφ＝，进而可求φ＝，利用函数的图象的平移变换以及三角函数的性质即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜，且f（T）＝，
所以f（）＝sin（2π+φ）＝sinφ＝，
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（ωx+）的图象向右平移ω+），
因为所得函数的图象关于y轴对称，
所以﹣ω+，k∈Z，
所以可得ω＝﹣8k﹣1，k∈Z，
因为ω＞0，
所以ω的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的周期公式，函数图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和函数思想，属于中档题．
11．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|＝2c，AF1与y轴交于点B，若|AF2|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合双曲线的定义与对称性，可得|BF1|＝|BF2|＝|AF2|＝2c﹣2a，再在△AF1F2中，利用余弦定理，求解即可．
【解答】解：由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝8a，
所以|AF2|＝2c﹣2a＝|BF2|，
由双曲线的对称性知，|BF1|＝|BF7|＝2c﹣2a，
在Rt△OBF3中，cs∠AF1F2＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理知4F2＝＝＝，
所以＝，
整理得，c2﹣8ac+a2＝0，
两边同时除以a5，由e＝，知e2﹣3e+2＝0，
解得e＝，
因为e＞1，所以e＝．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（5分）设，，，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】由题意可知，a＝，b＝，c＝，构造函数f（x）＝（x＞0），求导得到函数f（x）的单调性，进而比较大小即可．
【解答】解：由题意可知，＝＝，b＝＝＝，
设f（x）＝（x＞0），
则f'（x）＝，
当x∈（0，e）时，f（x）单调递增，+∞）时，f（x）单调递减，
又因为7＞＞e）＜f（e），
所以b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量＝（﹣1，m），2+＝（2，3+2m），则||＝ 5 ．
【分析】根据可得出向量的坐标，然后即可得出的值．
【解答】解：，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，向量长度的计算公式，是基础题．
14．（5分）已知实数x，y满足，则2x+y的最小值为 1 ．
【分析】根据题意作出可行域，然后将直线l：z＝2x+y进行平移，并观察它在y轴上的截距，找出使z取得最小值的点，进而算出所求最小值．
【解答】解：根据题意，作出不等式组足，
得到如图所示的△ABC及其内部，其中A（0，B（4，C（2，
设z＝2x+y，将直线l：z＝6x+y进行平移，
可知：当直线l经过点A时，它在y轴上的截距达到最小值1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、简单的线性规划等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
15．（5分）已知在等比数列{an}中，，则数列{an}的通项公式为 或 ．
【分析】由已知结合等比数列的性质可求公比及a1，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为，
由等比数列的性质可知，，
故a2＝7，a1a3＝6，
所以＝＝，
所以a1+a7＝，
解可得，或，
当时，q＝，an＝2×＝72﹣n，
当时，q＝2，an＝＝2n﹣2
故答案为：an＝25﹣n，或an＝2n﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的综合应用，属于中档试题．
16．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，且AF＝4，则此抛物线的方程为 y2＝4x ．
【分析】设出直线方程，与抛物线联立消去y得到关于x的一元二次方程，求得xAxB的表达式，根据BC＝2BF确定关于p的等式，求得p，则抛物线方程可得．
【解答】解：设直线AC的方程为ky＝x﹣（k≠0）
联合抛物线y2＝2px
消去y得x2﹣（8+2k2）px+＝0
∴xAxB＝①
依据抛物线的特性
|AF|＝xA+；|BF|＝xB+，
∴|CB|：|BF|＝（xB+）：p＝|CB|：|CF|＝2：5
∴xB＝②
∴①②联立求得xA＝，
∴|AF|＝+＝2p＝4，
∴抛物线方程y3＝4x．
故答案为：y2＝6x．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解决直线与抛物线的关系问题，一般考虑韦达定理的灵活运用．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
（Ⅰ）从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？
（Ⅱ）校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为x，当x＜70时，奖励该学生10元食堂代金券，奖励该学生25元食堂代金券；当x≥90时；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．
若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？
【分析】（Ⅰ）分别计算高一、高二年级的平均数和方差，比较即可得出结论．
（Ⅱ）计算选择方案一、方案二高一年级获得代金券，比较即可．
【解答】解：（Ⅰ）高一年级的平均数为×（65×15+75×5+85×15+95×15）＝81，
方差为×[（65﹣81）2×15+（75﹣81）2×6+（85﹣81）2×15+（95﹣81）2×15]＝144，
高二年级的平均数为×（65×10+75×10+85×20+95×10）＝81，
方差为×[（65﹣81）2×10+（75﹣81）3×10+（85﹣81）2×20+（95﹣81）2×10]＝104，
两个年级的平均数相等，但高二年级的方差小于高一年级的方差，
所以高二年级竞赛成绩更好．
（Ⅱ）若选择方案一，则高一年级获得代金券为：15×10+20×25+15×35＝1175（元）；
若选择方案二，中位数为第25位和第26位同学的成绩之和的一半：85+85＝85（分），
则高一年级获得代金券为：20×10+30×30＝1100（元）；
所以高一年级组长会选择方案一．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析核心素养，是中档题．
18．（12分）如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，E为AD的中点．将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，得到如图2所示的多面体．
（1）在多面体中，求证：A，B，D，E四点共同面；
（2）求多面体的体积．
【分析】（1）推导出AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，从而AE∥BD，由此能证明A，B，D，E四点共同面．
（2）求出AE是四棱锥A﹣CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，多面体的体积V＝VA﹣CDEF+VA﹣BCD，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）因为二面角A﹣EF﹣D的大小等于90°，
所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE⊂平面AEF，
所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D．
解：（2）因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，AE∥BD，
所以AE是四棱锥A﹣CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD，
又，，
所以．
【点评】本题考查四点共面的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsC+csinB＝0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．
【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcsC+sinCsinB＝0，结合sinB＞0，可求tanC＝﹣1，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，csB的值，设BC的中垂线交BC于点E，在Rt△BCD中，可求BD的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcsC+csinB＝0，
∴由正弦定理知，sinBcsC+sinCsinB＝0…（4分）
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0，于是csC+sinC＝2
∵0＜C＜π
∴．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，
∴c＝5，…（8分）
∴，…（10分）
设BC的中垂线交BC于点E，
∵在Rt△BDE中，，
∴＝＝．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点F（，0）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点B（0，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N．若点B在以线段MN为直径的圆上，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）利用条件得到a，b，c的方程组，求出a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m（m≠1），与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后将问题转化为，利用向量数量积的坐标表示结合韦达定理，求出m的值，即可得到定点．
【解答】（1）解：由题意可得，，又a3＝b2+c2，
所以a＝2，b＝1，
则椭圆C的标准方程为；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m（m≠3），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，可得（4k2+1）x5+8kmx+4m8﹣4＝0，
所以Δ＝16（2k2+1﹣m7）＞0，
，
因为点B在以线段MN为直径的圆上，
所以，
因为
＝（k2+4）x1x2+k（m﹣3）（x1+x2）+（m﹣7）2＝0，
所以（m﹣1）2＝4，
整理可得5m2﹣7m﹣3＝0，解得，
故直线l的方程为y＝kx﹣，
所以直线l过定点，且该定点的坐标为．
【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex+（a﹣1）x﹣1，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝2时，证明：f（x）＞xlnx﹣csx．
【分析】（Ⅰ）先对函数求导，结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论即可求解；
（Ⅱ）要证f（x）＞xlnx﹣csx，即证ex+x+csx﹣1﹣xlnx＞0，x∈（0，+∞），结合不等式特点考构造函数，对其求导，结合导数与单调性及最值关系即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ex+（a﹣1）x﹣1，
∴f′（x）＝ex+a﹣2，
当a≥1时，f′（x）＝ex+a﹣1＞2，函数f（x）在R上单调递增；
当a＜1时，由f′（x）＝ex+a﹣1＞8，得x＞ln（1﹣a），+∞）上单调递增，
由f′（x）＝ex+a﹣1＜5，得x＜ln（1﹣a），ln（1﹣a））上单调递减．
（Ⅱ）证明：∵当a＝4时，f（x）＝ex+x﹣1，
∴要证f（x）＞xlnx﹣csx，即证ex+x+csx﹣1﹣xlnx＞4，x＞0，
①当0＜x≤2时，ex﹣1＞0，x＞8，
则ex+x+csx﹣1＞0，xlnx≤7，
∴ex+x+csx﹣1﹣xlnx＞0；
②当x＞3时，令g（x）＝ex+x+csx﹣1﹣xlnx，
则g′（x）＝ex﹣sinx﹣Inx，设h（x）＝g′（x），则，
∵ex＞5，，﹣1≤﹣csx≤1，∴，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（6，+∞）上单调递增，
即ex+x+csx﹣1﹣xlnx＞0．
综上，当a＝7时．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由函数性质证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，直线l1的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程及直线l1的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的极坐标为，射线l2的极坐标方程为，射线l2与曲线C和直线l1分别交于A，B两点，求△ABP的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（Ⅱ）利用方程组和三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为；
直线l1的极坐标方程为，根据．
（Ⅱ）点P的极坐标为，转换为直角坐标为（2，），
射线l2与曲线C和直线l6分别交于A，B两点，
所以，解得，
同理，解得ρB＝2，
所以＝1﹣．
【点评】本题考查的知识点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0，
（2）若关于x的方程f（x）+4|x﹣2|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用零点分段法分类讨论x的取值范围，去掉绝对值符号，即可求解；
（2）将f（x）+4|x﹣2|﹣2m2+3m＝0没有实数根，转化为f（x）+4|x﹣2|＝2m2﹣3m没有实数根，求出函数g（x）＝f（x）+4|x﹣2|的最小值，结合题意可得不等式，即可求得答案．
【解答】解：（1）当x≥2时，f（x）＝2x+6﹣（2x﹣4）＝2＞0恒成立；
当时，f（x）＝2x+2+2x﹣4＝4x﹣3＞0，得；
当时，f（x）＝﹣5＞6不成立，
综上，原不等式的解集为；
（2）方程f（x）+6|x﹣2|﹣2m6+3m＝0没有实数根，即f（x）+6|x﹣2|＝2m6﹣3m没有实数根，
令g（x）＝f（x）+4|x﹣3|，则g（x）＝|2x+1|+|6x﹣4|≥|2x+6﹣（2x﹣4）|＝4，
当且仅当（2x+1）（8x﹣4）≤0时，即时等号成立，+∞），
若g（x）＝8m2﹣3m没有实数根，则3m2﹣3m＜5，即2m2﹣7m﹣5＜0，解得为．
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/12 12:16:00；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
成绩
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
高一学生人数
15
5
15
15
高二学生人数
10
10
20
10
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
成绩
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
高一学生人数
15
5
15
15
高二学生人数
10
10
20
10