2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章 第一节 尺规作图 知识精练(含答案)

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1. (2023随州)如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于eq \f(1,2)BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是( )
A. AE＝CF B. DE＝BF
C. OE＝OF D. DE＝DC
第1题图
2. (2023甘肃省卷)如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( )
第2题图
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3. (2023通辽)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
4. [新考法—数学文化](2023兰州)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．(1)以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；(2)分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；(3)连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b.按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
第4题图
5. (2023贵州)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于eq \f(1,2)EF长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是( )

第5题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. (2023营口)如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于eq \f(1,2)CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E.若AC＝5，CD＝6，则AE＝________．
第6题图
7. (2023广东省卷)如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)实践与操作：用尺规作图法，过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
第7题图
8. 如图，已知△ABC，∠ABC＝120°，AB＝BC，D是AC的中点，连接BD.
(1)请在CD的上方找一点E，使得∠CDE＝∠BCD，且满足DE＝BC；(要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接CE，若AB＝6，求四边形BCED的周长．
第8题图
拔高题
9. (2023孝感)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于eq \f(1,2)EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为( )
第9题图
A. eq \r(10) B. eq \r(11) C. 2eq \r(3) D. 4
10. [新考法—无刻度直尺作图](2023江西)如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中作锐角△ABC，使点C在格点上；
(2)在图②中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
图①
图②
第10题图
参考答案与解析
1. D 【解析】根据作图可知，EF垂直平分BD，∴BO＝DO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE(ASA)，∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误．
2. C 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，由“三线合一”得∠DBC＝30°，又∵BD＝DE，∴∠DEC＝∠DBC＝30°.
3. D 【解析】如解图，作直线PQ(两点确定一条直线)，连接PA，PB，QA，QB，OC，由作图步骤得，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).∵∠ACB＝90°，∴OC＝ eq \f(1,2) AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上，∴⊙O为△ABC的外接圆．
第3题解图
4. A 【解析】由作图，得a∥b，∴∠CON＝∠MNO＝35°.∵OA＝OB，C是AB的中点，∴OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON＝35°.
5. A 【解析】由题可得，DG是∠ADC的平分线，∴∠ADG＝∠CDG.∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB－CG＝5－3＝2.
6. 4 【解析】由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，∵CD＝6，∴CE＝DE＝3.∵CA＝5，∴AE＝ eq \r(AC2－CE2) ＝ eq \r(52－32) ＝4.
7. 解：(1)如解图，DE即为所求；
第7题解图
(2)在Rt△ADE中，
∵∠DAB＝30°，
∴AE＝AD·cs ∠DAB＝4× eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(3) ，
∴BE＝AB－AE＝6－2 eq \r(3) ，
即BE的长为6－2 eq \r(3) .
8. 解：(1)作图如解图①；(作法不唯一)
第8题解图①
(2)如解图②，∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵D是AC的中点，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝60°.
在Rt△BDC中，BC＝AB＝6，
∴BD＝BC·cs 60°＝3.
∵∠CDE＝∠BCD，
∴DE∥BC.
又∵DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴EC＝DB＝3，DE＝BC＝6，
∴▱BCED的周长为2(BD＋BC)＝18.
第8题解图②
9. A 【解析】如图，设BP交CD与点J，过点J作JK⊥BD于点K.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°.∵CN⊥BM，∴∠CMB＝∠CDN＝90°，∴∠CBM＋∠BCM＝90°，∠BCM＋∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，∴△BMC∽△CDN，∴ eq \f(BM,CD) ＝ eq \f(BC,CN) ，∴BM·CN＝CD·CB＝3×4＝12.∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，∴BD＝ eq \r(CD2＋BC2) ＝ eq \r(32＋42) ＝5.由作图可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC.∵S△BCD＝S△BDJ＋S△BCJ，∴ eq \f(1,2) ×3×4＝ eq \f(1,2) ×5×JK＋ eq \f(1,2) ×4×JC，∴JC＝KJ＝ eq \f(4,3) ，∴BJ＝ eq \r(CB2＋JC2) ＝ eq \r(42＋（\f(4,3)）2) ＝ eq \f(4\r(10),3) .∵cs ∠CBJ＝ eq \f(BM,CB) ＝ eq \f(BC,BJ) ，∴ eq \f(BM,4) ＝ eq \f(4,\f(4\r(10),3)) ，∴BM＝ eq \f(6\r(10),5) .∵CN·BM＝12，∴CN＝ eq \r(10) .
第9题解图
10. 解：(1)如解图①，△ABC即为所求作(答案不唯一，作出其中一个即可).
(2)如解图②，点Q即为所求作．
【作法提示】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
图①
图②
第10题解图
已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求作：Rt△ABC的外接圆.
作法：如图②.(1)分别以点A和点B为圆心，大于eq \f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；(2)作直线PQ，交AB于点O；(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O.⊙O即为所求作的圆.
图①
图②
第3题图