2024成都中考数学第一轮专题复习之专题六 类型二 折叠问题 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之专题六 类型二 折叠问题 教学课件，共29页。PPT课件主要包含了第1题图，第2题图，折叠问题，第3题图，∠EAF，解题关键点，第4题图等内容，欢迎下载使用。

类型二　折叠问题(2020.27 )
1. (2023成都黑白卷)综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图①，在正方形纸片ABCD中，点E是边AB的中点，将△BCE沿CE所在的直线折叠，得到△B′CE，延长CB′交AD于点P，连接AB′.猜想证明：(1)求证：∠PAB′＝∠PB′A；
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠BAD＝90°.由折叠的性质知，△B′CE≌△BCE，∠EB′C＝∠B＝90°，EB′＝EB，∴∠EB′P＝180°－∠EB′C＝180°－90°＝90°，∴∠BAD＝∠EB′P.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝B′E，∴∠EAB′＝∠EB′A，∴∠BAD－∠EAB′＝∠EB′P－∠EB′A，即∠PAB′＝∠PB′A；
拓展探究：如图②，延长AB′交CD于点F.(2)求证：CF＝DF；
(3)求 的值．
(3)解：如图，连接BB′，BB′交EC于点O.
设AE＝EB＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a.在Rt△ABB′中，AB2＝AB′2＋BB′2，∴4a2＝AB′2＋(2AB′)2，解得AB′＝ a.∵AD＝2a，DF＝a，∠D＝90°，∴AF＝ ＝ ＝ a，∴FB′＝AF－AB′＝ a－ a＝ a，∴ ＝ ＝ .
2. (2020成都B卷27题10分)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠C＝90°.由折叠的性质得BC＝BF，∠EBF＝∠EBC，∠BFE＝∠C＝90°.
∵BC＝2BA，∴BF＝2BA，在Rt△ABF中，∵sin ∠AFB＝ ＝ ，∴∠AFB＝30°.∵AD∥BC，∴∠FBC＝∠AFB＝30°，∴∠CBE＝ ∠FBC＝15°；
(2)如图②，当AB＝5，且AF·FD＝10时，求BC的长；
∴DE＝ ＝ ＝2，∴EF＝EC＝DC－DE＝AB－DE＝5－2＝3，在Rt△DEF中，DF＝ ＝ ＝ ，∴BF＝ ＝ ＝3 ，∴BC＝BF＝3 ；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，求 的值．
∴∠NGF＝90°.∵∠A＝90°，∴∠NGF＝∠A.
∵∠GFN＝∠AFB，∴△NFG∽△BFA，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴NG＝ AB.∵BM为∠ABF的平分线，∴∠ABN＝∠GBN.∵BN＝BN，∠A＝∠NGB＝90°，∴△ABN≌△GBN，∴AB＝BG，AN＝NG，∴FG＝BF－BG＝BC－AB，FA＝AN＋NF＝NG＋NF＝ AB＋ BC.
∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴3BC＝5AB，∴ ＝ .
3. 综合与实践(1)【操作发现】如图①，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一个45°角：________；
(2)【拓展探究】如图②，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P.①∠AEF＝________°；
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴由折叠的性质得，∠AEB＝∠AEF，∠CEF＝∠AEF.∵∠AEB＋∠AEF＋∠CEF＝180°，∴3∠AEF＝180°，∠AEF＝60°.
②若AB＝ ，求线段PM的长；
②由(1)知∠EAF＝45°，∵∠ENF＝∠ECF＝90°，∴∠ANF＝90°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°＋∠NFE，∴2(45°＋∠NFE)＋∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°.
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中， ∴△ANP≌△FNE(ASA)，∴AP＝FE，PN＝EN，由①知∠NEF＝∠CEF＝∠AEB＝60°，又∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝ AB＝1，∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝ PN＝ a，AP＝2PN＝2a，∵AN＋EN＝AE，∴ a＋a＝2，解得a＝ －1，∴AP＝2a＝2 －2，∴PM＝AM－AP＝AB－AP＝ －(2 －2)＝2－ ；
(3)【迁移应用】如图③，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB＝3，AD＝5，请直接写出线段BE的长．
【解法提示】如图，在AD上取一点J，使得AJ＝AB，过点J作JT⊥BC于点T，交AF于点K，连接EK.
∵AB＝CD＝3，∴当DF＝2CF时，CF＝1，DF＝2.∵JK∥DF，∴△AJK∽△ADF，∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得JK＝ ，由(1)可知EK＝EM＋MK＝BE＋JK，设BE＝x，则EK＝x＋ ，ET＝BT－BE＝AJ－BE＝3－x，KT＝JT－JK＝AB－JK＝3－ ＝ ，在Rt△EKT中，根据勾股定理可得，EK2＝ET2＋KT2，即(x＋ )2＝(3－x)2＋( )2，解得x＝ ；
由题干可知，F为CD的三等分点，则需分DF＝2CF和CF＝2DF两种情况讨论．
4. 综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题展开活动．已知菱形ABCD，∠BAD＝120°，点E，F分别是AB，BC边上的点，将菱形ABCD沿EF折叠．【猜想证明】(1)如图①，设对角线AC与BD相交于点O，若点B的对应点与点O重合，折痕EF交BD于点G.试判断四边形EBFO的形状，并说明理由；
解：(1)四边形EBFO为菱形．理由如下：∵折叠点B与点O重合，折痕为EF，∴BO被EF垂直平分，∴BE＝OE，BF＝OF，∠BGE＝∠BGF＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴∠EBG＝∠FBG，∴△EBG≌△FBG，∵BE＝BF，∴BE＝OE＝BF＝OF，∴四边形EBFO为菱形；
【问题解决】(2)如图②，若点B的对应点恰好落在对角线AC上的点M处，若AM＝2，MC＝4，求线段AE的长；
(2)如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，
∴△BAC为等边三角形，∴BC＝AC＝AM＋MC＝6，∠BAC＝∠BCA＝60°，由折叠可知，MF＝BF，∠EMF＝∠B＝60°，∴∠EMA＋∠FMC＝180°－∠EMF＝120°，∠EMA＋∠AEM＝180°－∠EAM＝120°，∴∠FMC＝∠AEM.∵∠BAC＝∠BCA，∴△AEM∽△CMF，∴ ＝ .
设FC＝x，则BF＝FM＝6－x，在Rt△FHC中，CH＝ x，FH＝ x，则MH＝4－ x，在Rt△MFH中，MF2＝FH2＋MH2，即(6－x)2＝( x)2＋(4－ x)2，解得x＝ ，∴FC＝ ，即 ＝ ，∴AE＝ ；
由菱形和折叠的性质及题干中∠BAD＝120°可推出∠EMF＝60°，则用“一线三等角”模型求解．
(3)如图③，若点B的对应点恰好落在CD边上的点N处，若点N为CD的一个三等分点(CN＞DN)，求 的值．
(3)如图，过点N作NK⊥BC交BC的延长线于点K，
由折叠可知，FN＝BF.∵点N为CD的三等分点(CN＞DN)，设DN＝a(a≠0)，则CN＝2a.∵四边形ABCD为菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，BC＝CD＝3a，∴∠NCK＝180°－120°＝60°，∴∠CNK＝30°，