2024成都中考数学第一轮专题复习之专题六 类型一 动点问题 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之专题六 类型一 动点问题 教学课件，共60页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，第1题图，第1题解图①，第1题解图②，解题关键点，第2题图，第3题图，第3题解图②，第4题图，第4题解图②等内容，欢迎下载使用。

类型一　动点问题(8年3考：2023.26，2022.26，2019.27 )
1. (2023锦江区二诊)如图①，已知平行四边形ABCD，点E在BC上，点G在CD上，连接AE，EG，∠AEG＝∠B.过点D作DF∥AE交EG的延长线于点F.(1)求证：△ECG∽△DFG；
(1)证明：∵DF∥AE，∴∠AEF＋∠F＝180°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.∵∠AEG＝∠B，∴∠F＝∠C.∵∠EGC＝∠DGF，∴△ECG∽△DFG；
(2)当E为BC中点时．①若DF＝FG，求证：AE＝EG；
(2)①证明：如解图①，以点E为圆心，EB长为半径画弧交AB于点P，连接EP，则EP＝EB，
∴∠B＝∠BPE.∵∠B＋∠C＝180°，∠BPE＋∠3＝180°，∴∠3＝∠C.
∵DF＝FG，△ECG∽△DFG，∴CG＝CE.∵E为BC中点，∴BE＝EC，∴EP＝CG.∵∠AEG＝∠B，∴∠2＋∠AEB＝∠1＋∠AEB，∴∠2＝∠1.在△EPA和△GCE中， ∴△EPA≌△GCE(AAS)，∴AE＝EG；
②如图②，连接AG，过点G作GH⊥AG交BC于点H，若CG＝FG，求 的值．
②解：如解图②，以点E为圆心，EB长为半径画弧交AB于点P，连接EP，则EP＝EB，连接DE.
∵CG＝FG，由(1)知△ECG∽△DFG，∴△ECG≌△DFG，∴EG＝DG，∴∠DEG＝∠EDG.
∵∠AEG＝∠B＝∠ADG，∴∠AED＝∠AEG－∠DEG＝∠ADG－∠EDG＝∠ADE，∴AE＝AD.
∵ ＝ ，BC＝AD，PE＝BE，∴ ＝ .由①可知∠2＝∠1，∠C＝∠3，∴△ECG∽△APE，∴ ＝ ＝ .
∵AE＝AD，EG＝DG，AG＝AG，∴△AEG≌△ADG(SSS)，∴∠AGE＝∠AGD.∵AG⊥GH，∴∠AGH＝90°，∴∠AGE＋∠EGH＝90°＝∠AGD＋∠CGH，∴∠EGH＝∠CGH，∴GH是∠EGC的平分线，∴点H到EG边和CG边的距离相等，∴ ＝ ＝ ＝ .
将求 的值转化为求△CHG与△EHG面积的比值．
2. (2022成都模拟)如图①，在正方形ABCD中，BC＝2，点E是射线BA上一动点，连接ED，以ED为边在ED上方作正方形EDFG，连接AF，EC.(1)求证：△ADF≌△CDE；
(2)如图②，延长GF，AD交于点M.若FA＝FM，求线段AE的长；
(2)解：如图，过点F作FP⊥AM于点P.
∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠FDP＝90°.又∵∠FDP＋∠DFP＝90°，∴∠EDA＝∠DFP.
∵ED＝DF，∠EAD＝∠DPF＝90°，∴△ADE≌△PFD(AAS)，∴AE＝PD，AD＝FP＝2，
设AE＝x，∴AP＝PM＝x＋2.∵ED∥GM，∴∠ADE＝∠M，∴tan ∠ADE＝tan M，∴ ＝ ，解得x＝－1＋ (负值已舍去)，∴AE＝－1＋ ；
过点F作FP⊥AM于点P，则△ADE≌△PFD，解直角三角形即可求解；
(3)在点E的运动过程中，求EG＋EC的最小值．
(3)解：∵四边形EDFG是正方形，∴EG＝ED，∴EG＋EC＝ED＋EC，如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，则EG＋EC的最小值为CD′的长，
作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，将求EG＋EC的最小值转化为求CD′的长.
3. 综合与实践课上，老师让同学们以“中点”为主题展开讨论．如图①，在矩形ABCD中，点O是AB边的中点，点M是边DC上一动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，且满足OP＝ AB，连接BP.【问题提出】(1)判断△ABP的形状，并说明理由；
∵OP＝ AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠OPA.∵∠OAP＋∠APO＋∠OPB＋∠OBP＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；
【类比探究】(2)如图②，当点M为边DC的中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；
(2)证明：如解图①，延长AM，BC交于点Q.
∵点M是DC的中点，∴DM＝CM.∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠DCB＝90°，∴∠D＝∠MCQ＝90°.
∵∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM，∴AD＝QC＝BC.由(1)可知∠BPQ＝∠APB＝90°，∴PC＝ BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP.∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OBP＋∠CBP＝∠OPB＋∠CPB＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OPA＋∠APN＝180°－∠OPC＝180°－90°＝90°.∵∠OAN＝∠OAP＋∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠OPN－∠OPA＝∠OAN－∠OAP∴∠APN＝∠PAN，∴PN＝AN；
【拓展应用】(3)在(2)的条件下，若AB＝5，AD＝4，作点N关于直线AM的对称点N′，连接AN′并延长交矩形的边所在的直线于点E，求CE的长．
(3)解：按照题干条件作图，分两种情况，如解图②，连接PN′.
①当AN′的延长线与BC所在的直线交于点E时，记为E1，由(2)知，PN＝AN.
∵点N与点N′关于AP对称，∴PN＝PN′，AN＝AN′，∴AN＝AN′＝PN′＝PN，∴四边形NPN′A为菱形，∴CE1＝PN′＝AN.设CE1＝AN＝x，则DN＝4－x，由(2)知，CP＝BC＝4，PN＝AN＝x，∴在Rt△DNC中，由勾股定理得(4－x)2＋52＝(4＋x)2，解得x＝ ；
②当AN′的延长线与DC所在的直线交于点E时，记为E2，∵△ADE2∽△E1CE2，∴ ＝ .设CE2＝y，∴ ＝ ，解得y＝ .综上所述，CE的长为 或 .
连接AN′并延长交矩形的边所在的直线于点E，需分两种情况：①AN′的延长线与BC所在的直线交于点E；②AN′的延长线与DC所在的直线交于点E.
4. (2022葫芦岛)在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
【解法提示】如解图①，连接BP，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∵AD＝BD，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∵点P为CD的中点，∴DP＝BP，∠CPB＝∠BPD＝90°，∴∠ADP＝∠PBE＝90°＋45°＝135°，
∵PA⊥PE，∴∠APE＝∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△EBP，∴PA＝PE.
(1)解：PA＝PE；
(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA＋ DP＝DE；
(2)证明：如解图②，过点P作PF⊥CD交直线BD于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，∴∠DPA＝∠FPE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF，∴PD＝PF，∴∠PDA＝∠PFE＝90°＋45°＝135°，∴△ADP≌△EFP，∴AD＝EF.在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，∵cs ∠PDF＝ ，∴DF＝ ＝ ＝ DP，∵DE＝DF＋EF，∴DA＋ DP＝DE；
(3)点P在射线CD上运动，若AD＝ ，AP＝5，请直接写出线段BE的长．
需注意点P在射线CD上运动，则需分点P在线段CD上和在CD的延长上两种情况讨论．
5. (2023成都B卷26 题12分)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且 ＝ (n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.【初步感知】(1)如图①，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE＋BF＝ AB，请写出证明过程；
解：(1)证明过程如下：如解图①，连接CD，
当n＝1时， ＝1，即AD＝BD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠FCD＝ ∠ACB＝45°，∴CD＝AD，∠A＝∠FCD，AB＝ BC，∴BC＝ AB.∵DE⊥FD，∴∠ADE＋∠EDC＝∠FDC＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE与△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，∴BC＝CF＋BF＝AE＋BF＝ AB；
【深入探究】(2)①如图②，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠C＝90°，∠HGA＝∠B＝45°，△DJG∽△DFB，∴ ＝ ＝ ，∵∠A＝45°，∴△AHG是等腰直角三角形，根据(1)中的结论可得AE＋JG＝ AG，∴AE＋JG＝AE＋ BF＝ AG＝ × AB＝ AB.∴线段AE，BF，AB之间的数量关系为AE＋ BF＝ AB；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)；
【解法提示】过点D作DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H，如解图③，当点F在射线BC上时，
设AN＝DN＝x，则BH＝DH＝nx，∴AD＝ x，BD＝ nx，∴AB＝ (n＋1)x.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH.又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ ＝ ＝ ，∴FH＝nNE，∴AE＋ BF＝x－NE＋ (nx＋FH)＝2x＝ AB；
如解图④，当点F在CB的延长线上时，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝ AN，BD＝ BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴ ＝ ＝ .设AN＝DN＝x，则BH＝DH＝nx，∴AD＝ x，BD＝ nx，∴AB＝ (n＋1)x.
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ ＝ ＝ ，∴FH＝nNE，∴AE－ BF＝x＋NE－ (FH－nx)＝2x＝ AB；综上所述，当点F在射线BC上时，AE＋ BF＝ AB，当点F在CB延长线上时，AE－ BF＝ AB.
②当点F在射线BC上时，AE＋ BF＝ AB，当点F在CB延长线上时，AE－ BF＝ AB；
分点F在射线BC上或在CB延长线上两种情况讨论.
【拓展运用】(3)如图③，连接EF，设EF的中点为M.若AB＝ ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).
(3)解：如解图⑤，当点E1与点A重合时，取E1F1的中点M1，当点E2与点C重合时，取E2F2的中点M2，可得点M的轨迹长度即为M1M2的长度，
如解图⑥，以点D为原点，DF1所在直线为y轴，DB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交x轴于点H，
∵AB＝2 ， ＝ ， ∴AD＝ ，DB＝ ，∴E1(－ ，0).∵∠F1BD＝45°，∴F1D＝BD，∴F1(0， ).
∵M1是E1F1的中点，∴M1(－ ， ).∵AC＝BC，CG⊥AB，∴GB＝GC＝ AB＝ ，∴DG＝DB－BG＝ ，∴E2( ， ).根据(2)中的结论AE2－ BF2＝ AB，∴BF2＝n(AE2－ AB)＝ ，∴BH＝F2H＝ BF2＝ ，∴DH＝DB＋BH＝ n，∴F2( n，－ )，∴M2( ， )，∴M1M2＝ ，∴点M运动的路径长为 .
6. (2022成都B卷26题12分)如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB(n＞1)，点E是AD边上一动点(点E不与A，D重合)，连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H.【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由；
解：(1)理由如下：∵四边形EBFG，四边形ABCD是矩形，∴∠BEG＝90°，∠A＝90°，∴∠AEB＋∠DEH＝90°，∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEH＝∠ABE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEH；
【深入探究】(2)若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan ∠ABE的值；
(2)∵H是线段CD的中点，∴DC＝2DH，∴AB＝2DH.设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，∴AD＝2AB＝4x，∴DE＝AD－AE＝4x－a，
由(1)可知△ABE∽△DEH，∴ ＝ ，∴ ＝ ，整理得2x2－4ax＋a2＝0，∴x＝ .当x＝ 时，tan ∠ABE＝ ＝ ＝ ；当x＝ 时，tan ∠ABE＝ ＝ ＝ .综上所述，tan ∠ABE的值为 或 ；
【拓展延伸】(3)连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan ∠ABE的值(用含n的代数式表示)．
(3)如解图①，当HF＝BF时，由题意知HF＝BF＝nFG.
∵四边形BEGF与四边形ABCD均是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝∠BFG＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝∠HFG，在Rt△HFG中，HG＝ ＝ FG，∴tan ∠ABE＝tan ∠HFG＝ ＝ ；
如解图②，当HF＝BH时，由题意知BE＝FG，∠BEH＝∠G＝90°，∵BH＝FH，∴Rt△EBH≌△Rt△GFH(HL)，∴EH＝HG＝ EG＝ nFG，∵四边形BEGF与四边形ABCD均是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝∠BFG＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝∠HFG，∴tan ∠ABE＝tan ∠HFG＝ ＝ ＝ .综上所述，tan ∠ABE的值是 或 .
分HF＝BF和HF＝BH两种情况求解．
7. (2019成都B卷27题10分)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝ ，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.(1)求证：△ABD∽△DCE；
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE；
(2)当DE∥AB时(如图②)，求AE的长；
(2)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M.
∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝32.∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE.又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB.∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ ＝ ，∴DB＝ ＝ ＝ .∵DE∥AB，∴ ＝ ，∴AE＝ ＝ ＝ ；
(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
(3)解：存在．由(2)知AM＝12，BM＝CM＝16.如图，过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°.
∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∴∠MAD＋∠DAN＝90°.∵AF⊥AD，∴∠NAF＋∠DAN＝90°，∴∠NAF＝∠MAD.∵∠ANF＝∠AMD＝90°，∴△AFN∽△ADM.∴ ＝ ＝tan ∠ADF＝tan B＝ .
∴AN＝ AM＝ ×12＝9.∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当DF＝CF时，由点D不与点C重合可知△DFC为等腰三角形．又∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14.∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD的长为18.
过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，证△AFN∽△ADM是关键．
8. 某数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边△ABC中，AB＝2，点D在射线BC上运动，连接AD，以AD为一边在AD右侧作等边△ADE.(1)【问题发现】如图①，当点D在线段BC上运动时(不与点B重合)，连接CE.则线段BD与CE的数量关系是________；直线BA与CE的位置关系是________；
【解法提示】∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，∴∠BAC＝∠ACE，∴BA∥CE.
(2)【拓展延伸】如图②，当点D在线段BC的延长线上运动时，直线AD，CE相交于点M，请探究△MAE的面积与△MDC的面积之间的数量关系；
(3)【问题解决】当点D在射线BC上运动时(点D不与点B，C重合)，直线AD，CE相交于点M，若△MCD的面积是 ，请求出线段BD的长．
∵BA∥CE，∴△MDC∽△ADB，∴ ＝ ，∴CD·AB＝BD·CM.设CD＝x，①如解图①，当点D在线段BC上时，
则BD＝2－x，CE＝ME－CM＝3－CM.∵BD＝CE，∴2－x＝3－CM，∴CM＝x＋1，∴2x＝(2－x)(x＋1)，整理得x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不符合题意，舍去)，∴BD＝2－x＝1；
②如解图②，当点D在线段BC的延长线上时，
则BD＝2＋x，CE＝ME＋CM＝3＋CM，∵BD＝CE，∴2＋x＝3＋CM，∴CM＝x－1，∴2x＝(2＋x)(x－1)，整理得：x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不符合题意，舍去)，∴BD＝2＋x＝4.综上所述，线段BD的长为1或4.