2024年甘肃省酒泉市中考数学二模试卷

这是一份2024年甘肃省酒泉市中考数学二模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）2024年2月17日正值春节假期返程高峰，受较强冷空气影响，甘肃省酒泉市境内迎来大风降雪天气．G30连霍高速星星峡段实施交通管制后，大量车辆滞留酒泉境内，酒泉市迅速启动极端天气道路保畅应急预案，全力开展救援、安置、服务等工作．风雪无情人有情，据统计，酒泉市先后疏导各类车辆3.5万余辆，旅客均在肃州、玉门、瓜州、敦煌、肃北等沿线县市区得到妥善安置，温暖过夜．截至18日上午8时，酒泉市先后安置滞留旅客4.2万余人.4.2万用科学记数法表示为（ ）
A．4.2×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×104万
3．（3分）敦煌是中华民族古老文明的象征，是人类文化中的一朵奇葩．敦煌壁画是敦煌石窟艺术内容之一，具有较高的艺术价值．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
6．（3分）小颖为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图．下列说法正确的是（ ）
A．平均数是2.5，中位数是3
B．平均数是2，众数是6
C．众数是2，中位数是2
D．众数是2，中位数是3
7．（3分）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是2：5，若三角板的面积是6cm2，则其投影的面积是（ ）
A．15cm2B．30cm2C．D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，如果点M为CD的中点，AM与BD相交于点N，若已知S△DMN＝4，那么S△ADN等于（ ）
A．4B．8C．12D．16
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（，2）
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）若x+y＝5，y＝2，则x2y+xy2的值是 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，点B在线段AC上，且，若AC＝2，则AB的长为 .
14．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
15．（3分）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2cm,以AB，AD为直径作两个半圆，分别取，的中点M，N，连接MC，NC．则阴影部分的周长为 cm．
三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（4分）计算：．
18．（5分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1＝0．
19．（6分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，用黑色笔将作图痕迹加黑）；
（2）①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB=5，BC=10，求四边形BEDF的周长．
​
20．（6分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
21．（5分）天水麻辣烫持续火爆，越来越多的游客到天水旅游打卡，在带动餐饮市场的同时，还带火了天水的文旅产业．小明一家准备五一假期去天水游玩，要从麦积山石窟、伏羲庙、玉泉观、武山水帘洞、甘谷大象山五个景点中选择游玩．
（1）若只去一个景点，选择麦积山石窟的概率是 ；
（2）若确定去麦积山石窟，再从其他景点中任选两个，则同时选到伏羲庙和玉泉观的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
22．（6分）2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．2023年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m,AB=5m,BC=2m,∠ABC=145°，∠BCD=60°．
（1）求机械臂端点C到工作台的距离CD的长；（结果精确到0.1m）
（2）求OD的长．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47，≈1.41，≈1.73）
四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23．（6分）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、器乐、陶艺和球类四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
请根据以上的信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生有 人，n＝ ，a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有学生1200人，估计参加书法社团活动的学生人数．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x,y轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知OA=2，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB＝时，求CE的长．
26．（8分）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在△ABC中，点D为边AC的中点．以点D为圆心，AC为直径作圆，∠ACB的平分线交此圆于点P，点P在△ABC的内部，连接BP．
求证：△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
【问题解决】小慧的做法是连接AP并延长，交BC于点Q，利用△ACQ形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明．
【问题拓展】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD．AC⊥BC，若BD=8．AB-AD=3，则△BCD面积的最大值为 ．
27．（10分）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为直线BC上的一动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，当点D在线段BC上时，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
2024年甘肃省酒泉市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．【答案】A
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：4.2万＝42000＝2.2×104，
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
B，C，D选项中的图形都能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
A选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以A选项符合题意，
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤7，
∴﹣1＜x≤1，
解集表示在数轴上如图：
故选：C．
5．【答案】C
【解答】解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，
根据题意得10x+20y＝150，
∴x＝15﹣2y，
∵15﹣2y＞3，
∴y＜7.5，
∵y是正整数，
∴y的值为5，2，3，2，5，6，6，
即截取方案共有7种．
故选：C．
6．【答案】C
【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，7，1，1，7，2，2，3，2，2，7，3，4，8，
处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2，
7出现的次数最多，故众数为2．
平均数为（0×5+1×4+5×6+3×5+4×2）÷15＝8，
故选：C．
7．【答案】D
【解答】解：设投影的面积为S cm2，
∴，
解得，
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：∵点M为CD的中点，
∴DM＝CD，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABN＝∠MDN，∠BAN＝∠DMN，
∴△ABN∽△MDN，
∴＝＝＝7，
∴S△ADN：S△DMN＝AN：MN＝2：1，
∵S△DMN＝6，
∴S△ADN＝2S△DMN＝8．
故选：B．
9．【答案】C
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣，则B点坐标为（0；
当y＝0时，﹣x+3＝7，则A点坐标为（2，
则OA＝2，OB＝6，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
10．【答案】C
【解答】解：当x＝0时，y＝PC＝PA＝2，
当x＝5+，PC⊥AB，
则AP＝x﹣AD＝2﹣2＝，
csA＝＝，则tanA＝，
∴BC＝AC•tanA＝4×＝，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．【答案】30．
【解答】解：∵x+y＝5，y＝2，
∴x＝4，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝8×3×5
＝30，
故答案为：30．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+8x+1＝0有实数根，
∴k﹣6≠0，且b2﹣8ac＝16﹣4（k﹣1）≥8，
解得：k≤5且k≠1，
故答案为：k≤2且k≠1．
13．【答案】﹣1．
【解答】解：∵，
∴点B是线段AC的黄金分割点，
∴＝，
∵AC＝2，
∴AB＝﹣2，
故答案为：﹣1．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，
∴母线长为3cm，
∴圆锥的侧面积为2π×4×7÷2＝20πcm2．
15．【答案】4．
【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ交CD于P，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点B为弧AD 的中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝20°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°，
∴∠BOQ＝20°+40°＝60°．
∵OB＝OQ，
∴△BOQ是等边三角形，
∴BQ＝OB＝CD＝4．
故答案为8．
16．【答案】2+π．
【解答】解：如图，取AD的中点O，设CN交AD于点E，
∵N是弧AD的中点，
∴NO⊥AD，
∵CD⊥AD，
∴NO∥CD，
∴△NOE∽△CDE，
∴＝＝＝，
∴OE＝OD＝，
在Rt△NOE中，NE＝＝＝，
∴CM＝CN＝3NE＝，
∵点M，N分别为弧AB，
∴弧AB，弧AD的长度和为3×，
∴图中阴影部分的周长为（6+π）cm．、
故答案为：2+π．
三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】1．
【解答】解：
＝1﹣（﹣2）+3×
＝1﹣+4+
＝1．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由于a2+3a﹣3＝0
∴a2+8a＝1
原式＝÷
＝•
＝
＝
＝
19．【答案】（1）见解析；
（2）①四边形BEDF是菱形．理由见解析．
②25．
【解答】解：（1）所作图形如图所示．
（2）①四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED，
∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴BF＝DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∴BF＝DF＝DE＝BE，
∴四边形BEDF是菱形．
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
设菱形BEDF的边长为x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴x2﹣（10﹣x）8＝52，
，
∴菱形BEDF的周长是25．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得：，
解得：7≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，2，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案7：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用3辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案6的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×4+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用3辆B种客车，20辆A种客车最合算．
21．【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，
∴选择麦积山石窟的概率是．
故答案为：．
（2）将伏羲庙、玉泉观、甘谷大象山分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选到伏羲庙和玉泉观的结果有：（A，（B，共5种，
∴同时选到伏羲庙和玉泉观的概率为＝．
22．【答案】（1）6.6米．
（2）3.8米．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BF⊥OD于点F，
∴四边形BEDF是矩形，四边形AOFG是矩形，
∴BE＝DF，BF＝CE，OA＝GF＝1米，
∵∠ABC＝145°，∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝30°，∠ABG＝25°，
∵BC＝2米，
∴CE＝6米，
在Rt△ABG中，cs∠ABG＝，
∴BG≈5×0.91≈7.6米，
∴BF＝BG+GF＝5.5米，
∴CD＝CE+BF＝1+5.4＝6.6米，
答：机械臂端点C到工作台的距离CD的长4.6米．
（2）在Rt△BCE中，由勾股定理可知：BE＝米，
在Rt△ABG中，
由勾股定理可知：AG＝≈2.5米，
∴OF＝AG＝2.1米，
∴OD＝DF+OF≈4.8米．
答：OD的长为3.4米．
四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23．【答案】（1）200，54，25；
（2）见解析；
（3）300人．
【解答】解：（1）抽取的学生有80÷40%＝200（人），
360°×＝54°，
∴n＝54，
×100%＝25%，
∴a＝25，
故答案为：200，54；
（2）参加球类社团活动的学生人数为200﹣（50+30+80）＝40（人），
补全条形统计图如图：
；
（3）1200×＝300（人）．
答：估计参加书法社团活动的学生人数为300人．
24．【答案】（1）k＝1，m＝8；
（2）（2，2+2）或（2﹣2，2）．
【解答】解：（1）∵OA＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，2），
∵直线y＝kx+2过点A（﹣2，2），
∴﹣2k+2＝5，
解得：k＝1，
∴直线l的解析式为y＝x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为4，
∴点C的纵坐标为2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，4），
∵反比例函数的图象过点C，
∴m＝2×4＝4；
（2）设点D的坐标为（n，n+2），）（n＞8），
∴DE＝|n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，
∵直线y＝x+5与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|n+2﹣|＝2，
①当点D在点E上方时，
n+2﹣＝2，
解得：n1＝4，n2＝﹣2（舍去），
此时，点D1的坐标为（5，2+2），
②当点E在点D上方时，
n+2﹣＝﹣2，
解得n3＝3，n7＝﹣2﹣7（舍去），
此时，点D2的坐标为（2﹣2，2），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，2+2）或（2，2）．
25．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝∠D，
∴∠D＝∠OCD，
∴OC∥DE，
∴∠OCE＝∠E＝90°，
即CE⊥OC，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sinB＝＝，
∴AC＝6，
∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，
∴sin∠ACE＝sinB＝＝，
解得：AE＝4.6，
∴CE＝＝4.8．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，连接AP并延长．
∵AC为⊙D的直径，
∴∠APC＝90°．
∴∠APC＝∠QPC＝90°．
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠QCP．
∵CP＝CP，
∴△ACP≌△QCP（ASA）．
∴AC＝QC．
∵∠APC＝90°．
∴点P为AQ的中点．
∴，
∴．
∴△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
（2）延长BC，AD交于点E，
∵AC平分∠BAD且AC⊥BC，
∴△ABE为等腰三角形，点C为BE中点，
∴S△BCD＝S△CDE＝S△BDE，
当△BCD的面积最大时，△BDE面积最大，
即BD⊥AD满足题意，
∵DE＝AB﹣AD＝3，BD＝8，
∴△BCD面积的最大值为BD•DE＝．
故答案为：6．
27．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）S的最大值为，点P（，）；
（3）存在，点D（5，﹣2）或（1，2）．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x5﹣2x﹣3），
则﹣2a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x3+2x+3；
（2）连接CP，
∵DP∥AC，则S△PDA＝S△PCD，
则S＝S△PAD+S△PBD＝S△PBC，
过点P作y轴的平行线交BC于点E，
由点B、C的坐标得，
设点P（x，﹣x8+2x+3），则点E（x，
则S＝PE×OB＝2+2x+2+x﹣3）＝﹣（x﹣≤，
故S的最大值为，此时x＝2.5，）；
（3）存在，理由：
设点D（x，﹣x+3），
由点A、C、D的坐标得8＝10，AD2＝2x7﹣4x+10，CD2＝8x2，
当AD为斜边时，
则2x8﹣4x+10＝2x6+10，
解得：x＝0（舍去）；
当CD或AC为斜边时，
同理可得：10+2x4﹣4x+10＝2x3或10＝2x2﹣5x+10+2x2，
解得：x＝4（舍去）或5或1，
即点D（7，﹣2）或（1．A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）