[数学]天津市部分区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]天津市部分区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，不论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，所以不变的数字特征为中位数.
故选：C.
2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A. 正方形的直观图是正方形B. 矩形的直观图是矩形
C. 菱形直观图是菱形D. 平行四边形的直观图是平行四边形
【答案】D
【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，
平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半，
对于A中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以A错误；
对于B中，矩形的直角，在直观图中变为或，不是矩形，所以B错误；
对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，
所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；
对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.
故选：D.
3. 已知向量，，则（ ）
A. -3B. -1C. 2D. (-1，-2)
【答案】A
【解析】因为，，所以.
故选：A.
4. 若为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（ ）
A. A与B互为对立事件B. A与B互斥
C. A与B相等D. P(A)=P(B)
【答案】D
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果，
事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种，
显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生，
所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误；
事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误；
由古典概型得，所以，故选项D正确.
故选：D.
6. 将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，
则球的直径为1，半径为，所以能制作的最大零件的体积为.
故选：A.
7. 在中，角的对边分别为.若，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以，
在中，根据正弦定理得，所以.
故选：B.
8. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是，
不获一等奖的概率是，
则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：
.
故选：D.
9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】对A，若，，则，故A错；
对B，若，，则有可能或，故B错；
对C，若，，则有可能或与相交，故C错；
对D，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.
故选：D.
10. 在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，
因为，，所以，，
所以，
因为，
所以，
函数开口向下，对称轴为，
当时，取最大值.
故选：A.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 若事件与互斥，且，，则______.
【答案】0.8
【解析】因为事件与互斥，且，，
所以.
故答案为：0.8.
12. 已知向量，，若存在实数，满足，则实数的值为______.
【答案】6
【解析】因，所以，所以，得.
故答案为：6.
13. 某工厂对一批产品的长度（单位：）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在以下的产品有30个，则长度在区间内的产品个数为______.
【答案】55
【解析】由频率分布直方图可知，长度在区间内的频率为，
长度在以下的频率为，
则长度在区间内的产品个数为.
故答案为：55.
14. 在长方体中，若，是棱的中点，则直线与所成的角的大小为______.
【答案】
【解析】由题意，连接，作图如下：
在长方体中，显然，则为直线与的夹角，
由为的中点，且，则，即，
故为等边三角形，则.
故答案为：.
15. 在中，，，.若，，且，则的值为______.
【答案】2
【解析】∵，，
∴，
，
∵，∴，
则，解得.
故答案为：.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知是虚数单位，复数，.
（1）当时，求；
（2）若是纯虚数，求的值；
（3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.
解：（1）当时，，所以.
（2）若复数是纯虚数，则，解得，所以.
（3）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，即，
所以，实数的取值范围是.
17. 甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数；
（2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；
（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由.
注：一组数据的平均数为，它的方差为.
解：（1）根据题意可知，甲的数据里的众数是7；
把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10，
因为85%10=8.5所以第9个数据是第85百分位数，所以第85百分位数为9.
（2），
；
，
.
（3）由（2）知，，
即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，
乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛.
18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
解：（1）由正弦定理及，
得，
因为，所以，
因为是锐角三角形，所以.
（2）由及余弦定理，
得，解得，
所以.
19. 一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异.
（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；
（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率.
解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则，，
又事件A与B相互独立，所以，.
（2）从中摸两个球，所得样本空间为
，包含10个样本点，
满足条件的样本点有共3个，
满足条件的事件的概率为.
20. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成的角的正切值.
解：（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面.
（2）因为四边形为正方形，所以，
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（3）连接，设，
因为，所以，，
又因为∥，所以，
由余弦定理得，
所以，即，
由（2）知平面，平面，则，
而平面，
所以平面，所以就是直线与平面所成的角，
在中，，
所以直线与平面所成的角的正切值为.