[数学]自贡市2024年中考真题（解析版）

这是一份[数学]自贡市2024年中考真题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在0，，，四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
2. 据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界．70000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 3，4B. 4，4C. 4，5D. 5，5
【答案】D
6. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
7. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
9. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
10. 如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
11. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
12. 如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫来黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式： ___________．
【答案】
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
14. 计算：________．
【答案】1
15. 凸七边形的内角和是________度．
【答案】900
16. 一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值________．
【答案】（答案不唯一）
17. 龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大
纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为________（结果保留）．
【答案】．
18. 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________．
【答案】
三、解答题（共8个题，共78分）
19. 计算：
解：
．
20. 如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
（1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形．
∵， ∴，
∵平分，
∴，
∵， ∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
21. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得： ，解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
22. 在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；
（2）如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．
求证：是的切线．
解：（1）连接，设半径为，
∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，，；
在四边形中，，
四边形为矩形，
又因为， 四边形为正方形．
则，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，即， 解得，
故答案为：；；1；
（2）证明：连接，，，作于点，
设半径为，
∵，
∴，
∵，， ∴，
∴，，，
∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∵， ∴是的切线．
23. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
图1 学生体质健康统计表
（1）图1中________，________，________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
解：（1）样本容量为，
则，
，
，
故答案为：；20；；
（2）补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
解：（1）依题意把代入，得出 解得
把代入中，得出
∴
则把和分别代入
得出 解得
∴；
（2）记直线与直线的交点为
∵ ∴当时，则 ∴
∵P是直线上的一个动点， ∴设点，
∵的面积为21，∴
即
∴ 解得或 ∴点P坐标为或；
（3）由（1）得出 ∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时
∵的面积为21，和
整理得
解得（负值已舍去） 经检验是原方程的解，
∴Q点坐标为 如图：点在点的左边时
∵的面积为21，和
整理得
解得，符合题意，，不符合题意，
则，故
综上：Q点坐标为或．
25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，
．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，
．求雕塑高度（结果精确到）．
解：（1）由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
， ，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长；
（3）过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论．
解：（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为，
而， ∴；
（2）解：如图：
当时，，∴点，
∵，， ∴，，
∴，
∵， ∴， ∴，
∴是经过点A、B、C的的直径，
∵，经过圆心，∴；
（3）如图：
将点代入，得，
∴，
把点N横坐标，代入得，
∵轴，轴，
∴，点G为中点，
∴，
∴点E为中点，
∴，
∵点P关于E的对称点为Q，
∴，
∴，
联立抛物线与直线表达式， 得：，
整理得：，
∴，
解得：，
即，
∵，，
∴，
∴点N、Q、H三点共线，
∴点H直线上．成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
良好
45
c
优秀
32
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）