2024年江苏省扬州市树人教育集团九年级中考三模数学试题

这是一份2024年江苏省扬州市树人教育集团九年级中考三模数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列四个实数中，2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．C．2024D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3B．2a2b﹣3ab2＝﹣a2b2
C．（y﹣x）2＝y2﹣x2D．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．正方形B．长方形C．三角形D．圆
4．（3分）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．12πcm2
5．（3分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（ ）
A．2B．C．D．
6．（3分）已知点A（1，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定
7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a﹣2b+c＜0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①∠CAF＝∠DAE；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为 ．
10．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ．
13．（3分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
14．（3分）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
15．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为 .
16．（3分）如图，▱ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边CD与y轴交于点E，若BD＝3，AD＝，∠ADB＝45°，则点E的坐标为 ．
17．（3分）如图，点P是反比例函数图象上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图象于C、D两点，△PCD的面积是，则k的值是 ．
18．（3分）如图，在直角坐标系中，A（﹣6，0），D是OA上一点，B是y正半轴上一点，且OB＝AD，DE⊥AB，垂足为E，则OE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19．（1）计算：．
（2）求不等式的正整数解．
20．先化简，再求值：（1+）•，其中x＝﹣1．
21．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．
22．每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有 人，D类所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为 类；
（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
23．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为 ；
（2）小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
24．为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB＝时，求CE的长．
26．在矩形ABCD中，AD＞AB．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD上确定点E，使 BE＝BC．再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C．
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，且 ，则BC的长为
27．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
28．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 （填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1．（3分）在下列四个实数中，2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．C．2024D．
【解答】由倒数的定义可知，2024的倒数是．
故答案选B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3B．2a2b﹣3ab2＝﹣a2b2
C．（y﹣x）2＝y2﹣x2D．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2
【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8a3，故选项A不符合题意；
B．2a2b，3ab2不是同类项，不能合并，故选项B不符合题意；
C．（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2，故选项C不符合题意；
D．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．正方形B．长方形C．三角形D．圆
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．
故选：C．
4．（3分）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．12πcm2
【解答】解：底面周长是2×4π＝8π，
则圆锥的侧面积是：×8π×6＝24π（cm2）．
故选：C．
5．（3分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：如图：连接AE，
由题意得：
AE∥BC，AD＝＝5，DE＝5，
∴AD＝DE＝5，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，
∴∠DOC＝∠DCO，
∴DO＝DC＝3，
∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，
故选：A．
6．（3分）已知点A（1，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
∵点A（1，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，且1＜，
∴m＜n．
故选：C．
7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a﹣2b+c＜0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴a、b同号，即b＞0，
∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），
∴与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴与x轴有两个交点，
即：b2﹣4ac＞0，故②错误；
③对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①③④正确．
故选：C．
8．（3分）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①∠CAF＝∠DAE；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝∠DAC＝45°，
∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，
∴∠CAF＝∠DAE，故①正确；
∵△AEF，△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，AF＝AE，
∴＝＝，
∵∠CAF＝∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，＝（）2＝2，
∴S△CAF＝2S△DAE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，S△ADE＝S△CDE，
∴S四边形AFCE＝S△ACF+S△ACE＝2S△DAE+S△ACE＝S△ADE+S△CDE+S△ACE＝S△ADC＝S正方形ABCD，
∴四边形AFCE的面积是定值，故②正确；
∵△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEC＝135°，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，
∴CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，
∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴DE平分∠ADC，
∴点E是△ADC角平分线的交点，
∴E为△ADC的内心，故③正确；
如图，连接BD交AC于点O，
∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，
∵BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，
∴vF＝vE，
∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．
综上所述：正确的结论是①②③，共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为 3×10﹣5 ．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故答案为：3×10﹣5．
10．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
11．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝ y（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x2y﹣4y
＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2），
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）已知关于x的方程x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ﹣5 ．
【解答】解：根据根与系数的关系得﹣1+3＝﹣m，﹣1×3＝n，
解得m＝﹣2，n＝﹣3，
所以m+n＝﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．（3分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 300（1+x）2＝363 ．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案为：300（1+x）2＝363．
14．（3分）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 7.5 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），
故答案为：7.5m．
15．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为 6 .
【解答】解：连接CE，CE，CD，设CD与OE相交于点F，
由作图可得，OC＝OD＝CE＝DE＝5，
∴四边形CODE为菱形，
∴CD⊥OE，OF＝OE＝4，CD＝2CF，
在Rt△COF中，由勾股定理得，CF＝＝＝3，
∴CD＝2CF＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，▱ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边CD与y轴交于点E，若BD＝3，AD＝，∠ADB＝45°，则点E的坐标为 （0，﹣） ．
【解答】解：∵AD＝，∠ADB＝45°，
∴AO＝OD＝1，
∵BD＝3，
∴OB＝BD﹣OD＝2，
∴B（﹣2，0），
∴A（0，1），D（1，0），B（﹣2，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（﹣1，﹣1），
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴CF＝1，OF＝1，
∵OE∥CF，
∴OE＝CF＝，
∴E（0，﹣）．
故答案为：（0，﹣）．
17．（3分）如图，点P是反比例函数图象上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图象于C、D两点，△PCD的面积是，则k的值是 2 ．
【解答】解：设P（a，），
又C、D在y＝上，
∴C（a，），D（，）．
∴PC＝﹣，PD＝a﹣．
∴S△PCD＝PC•PD＝（﹣）（a﹣）＝．
∴（4﹣k）（1﹣）＝1．
∴k＝2或6．
由题意，k＜4，
∴k＝2．
故答案为：2．
18．（3分）如图，在直角坐标系中，A（﹣6，0），D是OA上一点，B是y正半轴上一点，且OB＝AD，DE⊥AB，垂足为E，则OE的最小值为 3﹣3 ．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，
∵A（﹣6，0），
∴OA＝6．
∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠OAB＝90°，∠F+∠ADE＝90°，
∴∠F＝∠OAB，
又∵AD＝OB，∠FAD＝∠AOB＝90°，
∴△FAD≌△AOB（ASA），
∴AF＝OA＝6，
∵∠AEF＝90°，
∴点E在以AF为直径的圆上，
取AF的中点M，连接OM，
∴OM＝＝3，
∴OE的最小值为3﹣3．
故答案为：3﹣3．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19．（1）计算：．
（2）求不等式的正整数解．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+3
＝6﹣2；
（2）∵，
∴1﹣3x≥﹣14+2x，
﹣3x﹣2x≥﹣14﹣1，
﹣5x≥﹣15，
则x≤3，
所以不等式的正整数解为1、2、3．
20．先化简，再求值：（1+）•，其中x＝﹣1．
【解答】解：（1+）•
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．
21．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：设菱形的边长为x，
∵AB＝CD＝x，CF＝2，
∴DF＝x﹣2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x﹣2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
AE2+BE2＝AB2，
即42+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝5，
∴菱形的边长是5．
22．每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有 4 人，D类所在扇形的圆心角的度数是 18° ；
（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为 B 类；
（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
【解答】解：（1）观察两个统计题知：B类有7人，占35%，
所以调查的总人数为7÷35%＝20（人），
所以视力情况属于A类的学生有20×20%＝4（人），
D类所在扇形的圆心角的度数为360°×（1﹣20%﹣35%﹣40%）＝18°，
故答案为：4，18°；
（2）每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了B类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为B类，
故答案为：B．
（3）300×（40%+5%）＝135（人），
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
23．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为 ；
（2）小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的球为标有数字2的结果有1种，
∴摸出的球为标有数字2的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果．
其中点A在坐标轴上的结果有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），共5种，
∴点A在坐标轴上的概率为．
24．为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？
【解答】解：设第一批足球每个的进价是x元，则第二批足球每个的进价是（1+25%）x元，
由题意得：﹣＝40，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
答：第一批足球每个的进价是50元．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB＝时，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝∠D，
∴∠D＝∠OCD，
∴OC∥DE，
∴∠OCE＝∠E＝90°，
即CE⊥OC，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sinB＝＝，
∴AC＝6，
∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，
∴sin∠ACE＝sinB＝＝，
解得：AE＝3.6，
∴CE＝＝4.8．
26．在矩形ABCD中，AD＞AB．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD上确定点E，使 BE＝BC．再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C．
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，且 ，则BC的长为 5
【解答】解：（1）图数如图所示：
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC，
∵sin∠DEF＝＝，
∴可以假设DF＝4k，EF＝5k，
∵FE＝FC＝5k，
∴CD＝DF+CF＝9k＝3，
∴k＝，
∴EF＝，DF＝，DE＝1，
设AD＝BC＝BE＝x，
在Rt△ABE中，x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴BC＝5．
故答案为：5．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，
∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝6，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（6，6），
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE＝＝＝10，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，
∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，
（3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），
设直线BC的表达式为 y＝kx+b，
将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6，
∵PD∥AC，
∴可设直线PD表达式为y＝3x+a，
由（1）设P（m，﹣m2+2m+6），
将P点坐标代入直线PD的表达式得a＝﹣m2﹣m+6，
∴直线PD的表达式为：，
由，
得，
∴D（m2+m，﹣m2﹣m+6），
∵P，D都在第一象限，
∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB
＝|AB|[（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m2﹣m+6）]
＝×8×（﹣m2+m）
＝﹣m2+9m
＝﹣（m2﹣6m）
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为，
此时P点为 ．
解法二：利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积，即求△PBC的面积最大值．
28．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 D （填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 10 ；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．
【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，
故答案为：D，10．
②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．
设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），
∴OE＝4，OF＝，
∴tan∠FEO＝＝，
∴∠FEO＝30°，
∴OH＝OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．
（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．
当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝2，EN•NH＝4，
∴NH＝，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN＝＝2，
∴HM＝＝＝，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM＝，
∴H（﹣2，3），
把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+，
当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
0
1
2
0
（0，0）
（0，1）
（0，2）
1
（1，0）
（1，1）
（1，2）
2
（2，0）
（2，1）
（2，2）