广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

这是一份广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84，79，86，87，84，93，84，则这组分数的中位数和众数分别是（ ）
A．84，85B．84，84C．85，84D．85，85
2．若椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．6B．或C．D．或
3．已知AD是△ABC的中线，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．现有上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为的圆台，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
5．己知，则（ ）
A．B．C．D．
6．某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种．
A．18B．36C．60D．72
7．已知两条不同直线m，n，三个不同平面，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
8．若的展开式中的系数为，则a的值为（ ）
A．2B．3C．1D．4
二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中。有两个或三个符合题意，全对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分。
9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共扼复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
10．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
11．已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列各选项正确的是（ ）
A．当时，B．的周期为4
C．D．的图象关于对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．己知的定义域为A集合，若，则实数a的取值范围是______．
13．在平面直角坐标系xOy中，过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程为______．
14．国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过______年，使得木材总盘翻两番．（参考数据：，，）
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）在①，，，②其前n项和为，，；③其前n项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答．已知数列为等差数列，
（1）求数列的通项公式．
（2）若，证明数列的前n项和满足·
16．（本小题15分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
（1）求证，；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求直线与平面DB，E所成角的正弦值．
17．（本小题15分）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，证明：．
18．（本小题17分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差，派送不及时．包装损坏等一系列问题也让市民感到不病，影响了整个行业的持续健康发展．A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了20名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分（满分100分），根据他们的服务质量得分分成以下6组：，，，……，，统计得出以下频率分布直方图：
（1）求这200名外卖派送人员服务质好的平均得分？（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）A市外实派送人员的服务质量得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本甲均数．若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间的人数；
（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案．
方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；
方案二，以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中、若中奖、则补助200元次、若不中奖，则只补助100元/次、且假定每次中奖的概率均为．
问：哪一种补助方案补助总金额更低．
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，．
19．（本小题17分）已知椭圆离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点、截得的弦长为，求直线l的方程；
（3）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA、QA分别与y轴交于M，N两点、试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
高二段考二数学参考答案
1．B【详解】数据84，79，86，87，84，93，84
按从小到大的顺序排一列：79，84，84，84，86，87，93，
所以这组分数的中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误．故选：B．
2．D【详解】当焦点在y轴时，由，
解得，符合题意，此时椭圆C的长轴长为；
当焦点在x轴时，由，解得，符合题意，
此时椭圆C的长轴长为．故选：D．
3．D【详解】．故选：D．
4．B【详解】由，，，则圆台的高，
根据圆台体积公式得．故选：B．
5．D【详解】因为，
所以，
所以，所以．故选：D．
6．B【详解】因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：
①A在1号位置，B又2、4、5三种位置选择。有种次序；
②A在2号位置，B有4，5号两种选择，有种次序；
③A在4号位置，B有5号一种选择，有种；故共有种．故选：B．
7．D【详解】试题分析：若，，则或m，n相交或m，n异面，A不正确；
若，，则或，相交，选项B不正确；
若，，则或，相交，选项C不正确；
若，则m垂直于内的任意一条直线，而，所以选项D正确．选D．
A【详解】依题意，，
展开式的通项为，，，
当时，，此时展开式的的系数为，
当时，，此时展开式的的系数为，
所以展开式中的系数为，所以．故选：A
9．ABD【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，，
则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，D正确．故选：ABD
10．ABD【详解】函数，．
此时，，，，
因为，所以，所以，故A正确；
，所以关于点对称，故B正确；
函数图象向左平移个单位长度后得到，
，当时，．
所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
，当时，
，所以函数在上单调递减，故D正确．故选：ABD
11．AB【详解】是定义在R上的偶函数，设，
则，，故A正确；
由得，的周期为4，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．故选：AB．
12．【详解】，则或，即．
①当时，，满足，符合题意；
②当时，，所以若，则有或（舍），解得；
③当时，，所以若，则有或（舍），解得．
综上所迹．故答案为：
13．【详解】根据题意，圆经过点，，
则圆心在线段AB的垂直平分线上．
又由点，，则线段AB的垂直平分线方程为．
则有，解可得，
即圆心为，圆的半径，故圆的方程为．
14．10【详解】第1年：2019年底的木材总量为a万立方米，
第2年：2020年底的木材总量为万立方米，
第3年：2021年底的木材总量为万立方米，
第4年：2022年底的木材总量为万立方米，
……
第n年：木材总量为万立方米，
由木材总量翻两番即为4a，令，
，，即．
又，，故第11年时，即至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．
15．【详解】（1）已知数列为等差数列，
若选①，，
注意到，解得，，
从而，所以，
若选②其前n项和为，，；
则，
解得，，所以，
若选③其前n项和为，，首先，
其次，时，，
当时，也满足，故，
综上无论选条件①，②，③，都有．
（2）由题意，
所以．
16．【详解】（1）法一、在三棱柱中，平面ABC，
则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直）．
，M为棱的中点，，
又∵平面平面，平面平面，
平面．
又平面，
法二：（1）依题意，以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、
z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、、、、、．
依题意，，，
，，
（2）依题意，是平面的一个法向量，，．
设为平面的法向量，则，则，
不妨令，得．
，
．
二面角的正弦值；
（3）依题意，．（2）知为平面的一个法向量，
．
直线与平面所成角的正弦值为．
17．【详解】（1）的定义域，
．
若，，则在上单调递增；
若，当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增．
综上：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因，，设，
则．
在上单调递减，
，
．
18．【详解】解：（1）由题意知：
所以样本平均数为．
所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5．
（2）由（1）可知，故，
，
．
2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间的人数约为
（人）．
（3）按方案一：所补助的总费用为（元）
按方案二：设一个人所得补助为Y元，则Y的可能取值为100，200，300，400．
由题意知，；
，
，
，
，
所以Y的分布列为
，
估算补助的总金额为：（元）．
，所以选择方案二补助的总金额更低．
19．【详解】（1）解：由短轴长为2，得．
由，得，．
∵椭圆C的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率存在时，设直线方程：，，．
由，可得，
，，
，
；
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，
由，可得或．
所以不符合．
直线方程为和．
（3）解：以MN为直径的圆过定点．
证明如下：设，则，且，即，
，
直线PA方程为：，，
直线QA程为：，．
以MN为直径的圆为，
（或通过求得圆心，得到圆的方程．）
即，
，
，
令，则，解得
以MN为直径的圆过定点．中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
Y
100
200
300
400
P