上海市南汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(无答案)

这是一份上海市南汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：100分 完成时间90分钟 命题人：高二数学命题小组
一、填空题（本大题满分36分）
1.对于复数（i是虚数单位），__________.
2.二面角大小的取值范围是__________.（用区间表示）
3.__________.
4.已知，，则_______.
5.已知向量，，若，则实数__________.
6.若（为虚数单位）为方程（）的一个根，则_______.
7.如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为__________.
8.在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有__________条.
9.若平面内不共线的四点、、、满足，则_______.
10.在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于________.
11.点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为_________.
12.在平面内，若有，，，则的最大值为__________.
二、选择题（本大题满分12分）
13.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
14.已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）
A.存在唯一的一条直线，使得B.存在无数条直线，使得
C.存在唯一的一条直线，使得D.存在无数条直线，使得
15.折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（ ）

图1 图2
①②③④
A.1B.2C.3D.4
16.在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线作平面，使得点、到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（ ）
A.无数个B.1个C.2个D.3个
三、解答题：（本大题满分52分）
17.（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）
已知长方体中，分别是和的中点.
（1）画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由）
（2）若，，，求异面直线与所成角的大小.
18.（本题满分8分，第（1）小题4分，第（2）小题4分）
如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上.
（1）若四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（2）若点A，B，P三点共线，且，求的值.
19.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知向量，，.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
20.（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、.
（1）证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）若，，点在上运动，试求面积的最小值.
21.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①；②；③；④.
（1）设，，求和.
（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由.
（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.