[数学]河南省信阳市2024届高三下学期高考考前押题试卷（解析版）

这是一份[数学]河南省信阳市2024届高三下学期高考考前押题试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
2. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵，∴，∴；
又∵，当时，，
∴是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，即，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以.
故选：D.
4. 某校为让学生深入了解中国传统文化，计划从春节、元宵节、重阳节这3个传统节日，以及京剧、国画这2种艺术形式中随机选取3种进行宣传，则恰好选中2个传统节日和1种艺术形式的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.2
【答案】B
【解析】记“恰好选中2个传统节日和1种艺术形式”为事件A，
则样本空间共有个基本事件，事件A包含个基本事件，
所以.
故选：B.
5. 若，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由对数函数单调性，可得，所以；
因为，所以，
又因为，所以，即，所以.
故选：B.
6. 已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，解得，
设的最小正周期为，故，解得，
因为，所以，故，
当时，，
令，得，
画出的图象，如下：

要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值，
故，，
且，两式相减得，.
所以的最小值为.故选：D
7. 如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
可得
，
则，可知，
且，平面，可知：平面，
且平面，可得，
设，即，
则，
因为，解得，即；
同理可得：平面，，
则，，
又因为，
则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心，
在中，结合等边三角形可知：，
因为平面，平面，则，可知，
当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
综上所述：线段取值范围为.
故选：C.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（ ）
A. 3B. C. 3或7D. 或7
【答案】D
【解析】由题意可知：，
因为，则，，，
设，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
又因为，则，
解得，可得或，
若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，符合题意；
综上所述：实数的值为或7.
故选：D.
二、选择题
9. 一组样本数据的平均数为，方差为，极差为，与之相关的一组数据，，，，，的平均数为，方差为，极差为，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则数据的第75百分位数是
【答案】ABD
【解析】对于A：由题设有
，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C中，例如：若样本数据，可得极差为，
此时数据的极差为，此时，所以C不正确；
由，所以数据的分位数为，所以D正确.
故选：ABD.
10. 已知是定义在上的函数，且满足：①；②，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在上单调递增D. 在处取得极小值
【答案】AB
【解析】因为，
A：令，可得，故A正确；
B：令，可得，则，即，
若，可得；若，则，满足；
综上所述：，所以为奇函数，故B正确；
C、D：例如，显然不恒为0，且，
，即，
所以符合题意，但在上单调递减，无极值点，故C、D错误；
故选：AB.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与相交于点，与的一条渐近线相交于点的离心率为，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】由题意可知：双曲线的渐近线为，
因为直线的斜率，则直线与双曲线的一条渐近线平行，
可知，
联立方程，解得，即，
对于选项A：因为，
若，则，
解得，即，所以，故A正确；
对于选项B：若，则，
且，可得，所以，故B错误；对于选项C：若，可知为的中点，可得，
且在双曲线上，则，
即，解得，所以，故C正确；
对于选项D：因为，即，
且，即，
解得，
若，即，解得，
所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知全集，集合，，则______．（结果用区间表示）
【答案】
【解析】因为，则或，
又因为，
所以.
故答案为：.
13. 已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率______．
【答案】
【解析】因为圆，即为，可知圆心为，半径，
由题意知：直线的斜率存在，且不为0，
设直线，则直线，
则圆心到直线的距离分别为，
由题意可得：，解得.故答案为：.
14. 在中，．则______（用弧度制表示），若为的中点，且，则______．
【答案】
【解析】因为
，
由正弦定理可得，
且，可知，显然，
则，可得，且，所以；
因为，则，

在中，由余弦定理可得：，
即，
整理得，解得或（舍去），
在中，由余弦定理可得，
即，，
由余弦定理.
故答案为：；.
四、解答题
15. 数列中，，．
（1）记，证明：为等比数列；
（2）记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．
解：（1）因为，即，
则，且，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知：，
即，
所以
，
可知，
若是递增数列，结合二次函数对称性可得，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 自去年淄博烧烤和今年哈尔滨旅游爆火以来，各地文旅部门各显神通，积极推进本地旅游的推介宣传．某市为了提高居民对当地历史文化、自然风光、特产、美食等的了解，助力旅游产业发展，该市文旅部门举行了民俗、地方历史文化等内容的宣讲，并在该市18岁及18岁以上的市民中随机抽取400名市民进行宣讲内容的线上知识测试，将这400人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为测试合格．
（1）组织者为参加此次测试的市民制定了如下奖励方案：①测试合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额为20元，50元，每个测试者每次获得20元红包的概率为，获得50元红包的概率为．若从这400名市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布列及数学期望；
（2）已知上述抽测中18岁及18岁以上且在60岁以下市民的测试合格率约为，该市所有18岁及18岁以上的市民中60岁以下人员占比为．假如对该市不低于18岁的市民进行上述测试，估计其中60岁及60岁以上市民的测试合格率以及测试合格的市民中60岁以下人数与60岁及60岁以上人数的比值．
解：（1）从这400名市民中随机选取1人，这名市民测试合格的频率为，
用频率估计概率可知：这名市民测试合格的概率为，
由题意可知：的可能取值为，
则有：，
，
所以的分布列为
的期望.
（2）记“在所有18岁及18岁以上的市民中抽取一人，该人为60岁以下人员”为事件A，
“在所有18岁及18岁以上的市民中抽取一人，该人测试合格”为事件B，
用频率估计概率，可得：，则，
由全概率公式可得：，
即，解得，
设所求比值为，
则，
所以所求比值为24.
17. 如图，在四面体中，，，，为棱的中点，为棱的靠近的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：因为，为棱的中点，则，
又因为，，则，且，
取的中点，连接，则，
且，平面，可知平面，
由平面，可知，则，，，平面，所以平面.
（2）解：由（1）可知：平面，且，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
可得，
由题意可得：，解得，
即，则，
由题意可知：平面的法向量，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）已知过上一点的直线分别交于两点（异于点A），设的斜率分别为．
①若，求证：直线过定点；
②若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．
（1）解：设，则，
若，则，解得，即，
因点在抛物线上，则，即，
所以曲线的方程为.
（2）①证明：因为点在曲线上，则，即，
设，，

则直线的斜率分别为，
可知直线，即，
若，即，整理得，
可得直线，
所以直线过定点；
②解：若，且，且，
则，整理得，即，
可得，解得且，
可知直线，即，
则点到直线的距离，
可得的面积，
令，则，
令，则，
可知在内单调递增，且，，
则，
可得，
所以的面积的最大值为3.
19. 已知函数，．
（1）试比较与的大小；
（2）若恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，且，则有：
若，则，即；
若，则，即；
若，则，即.
（2）若恒成立，则，
构建，
原题意等价于在内恒成立，
则，
1.若，则
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，不符合题意；
2.若，则有：
（ⅰ）若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，符合题意；
（ⅱ）若时，令，解得或，
①若，即时，当时，，
可知在内单调递减，此时，不合题意；
②若，即时，则，
可知在内单调递增，
当时，此时，不合题意；
③若，即时，则，
由（1）可知：当时，，
则，
可得，
不合题意；
综上所述：的取值范围为.
组别
频数
19
78
103
136
64
20
40
50
70
100