内蒙古赤峰市红山区2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古赤峰市红山区2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了 下列运算结果正确的是， 在平面直角坐标系中，将点M等内容，欢迎下载使用。
本次考试时间120分钟，满分150分．
一．选择题 （下列各题的四个选项中只有一个正确选项，请你将正确选项前的代号填在答题卡上．本题共有14个小题，每小题3分，满分42分）
1. 下列图形是四届数学大会会标，其中不属于中心对称的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
解析：解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
∴不属于中心对称的有2个，
故选：B．
2. 杭州亚运会期间，文创产品热销，其中亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”凭借时尚、可爱的形象更是圈粉无数，据不完全统计，一周内“江南忆”组合的销售额高达35000000元．该销售额用科学记数法可表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
解析：解：，
故选：B．
3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°
【答案】A
解析：解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°；
故选择A．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：A选项中：，因此错误；
B选项中：，因此错误;
C选项中：，因此正确；
D选项中：，因此错误；
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（ ）
A. （1，3）B. （7，7）C. （1，7）D. （7，3）
【答案】C
解析：解：将M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到的点的坐标为（4-3，5+2）即（1，7），
故选：C．
6. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：通过观察数轴可知：，故A错误，不符合题意；
，，故B错误，不符合题意；
，，故C错误，不符合题意；
，，故D正确，符合题意．
故选D．
7. 如图， 四边形是的内接四边形， 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故选：A．
8. 某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的5位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下表，下列关系全部正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
解析：，
，
，
，
∴．
故选：C．
9. 已知a是方程 的一个根，求代数式 的值（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】D
解析：解：

，
∵a是方程的一个根，
∴，
即．
∴原式．
故选：D．
10. 如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：依题意，四边形都是矩形，
∴，，，
∵
∴,
∵
∴
∴
即
解得：
∴，
故选：C．
11. x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
解析：∵方程有两个不相等的实数根，
∴．，
解得且，
故选C．
12. 如图，这是一个几何体三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：根据三视图可得：几何体为圆锥，底面直径为，圆锥的高为，
圆锥的母线长为，
其侧面积为：．
故选：C．
13. 如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ）

A. B.
C. D. 平分
【答案】D
解析：解：点O为线段的中点，，
，
，
，
点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上，
如图，

故A结论正确，不符合题意；
由圆周角定理得到，
故B结论正确，不符合题意；
四边形是圆内接四边形，
，
故C结论正确，不符合题意；
和不一定相等，
和不一定相等，
不一定平分，
故D结论错误，符合题意．
故选：D．
14. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为．
将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在上时，旋转角为；
②当第一次与相切时，旋转角为．
则结论正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. 均不正确
【答案】A
解析：解：①当点C第一次落在上时，
连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
三点共线，
，
，
，
，
，故①正确；
当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，
是正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当第一次与相切时，旋转角为，故②错误，
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，满分12分）
15. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
解析：3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
16. 请写出一个大于且小于的整数：________．
【答案】2（或3）
解析：解：因为
所以大于且小于的整数有2，3．
故答案为：2（或3）．
17. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度．坡底，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物的高为________（结果用含有根号的式子表示）
【答案】
解析：解：过点作，交于点，如图，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴；
故答案为：．
18. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点．如果当时，对于x的每一个值，都有，则k的取值范围是________．
【答案】
解析：解：把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
把代入得，解得，
此时函数与二次函数的交点为和，
观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值，
所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围．
故答案为：．
三、解答题（本大题满分96分）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中 ．
【答案】（1）3；（2），
解析：解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，原式
20. 如图， 点O为的对角线的中点．

（1）使用直尺和圆规，依以下作法补全图形 （保留作图痕迹）；作法如下：
①以点O圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③过点O、P画直线l， 分别交边，于点E，F，连接，．
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）3
【小问1解析】
解：补全图形，如图所示
【小问2解析】
证明：在中，，
∴，，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由作图可知，，即：，
∴四边形是菱形；
【小问3解析】
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴的面积．
21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
（2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【小问1解析】
解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
【小问2解析】
解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
22. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
【答案】(1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
解析：(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：
(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
23. 对于平面直角坐标系中的点P和线段，已知点A的坐标为，点B的坐标为．给出如下定义：若线段上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在线段上，则称点P为线段的“关联点”．例如图1中，点绕线段上的点旋转后， 得到的对应点与点A重合，满足在线段上的条件，则点P为线段的“关联点”．
（1）如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”有 ；
（2）若是线段的“关联点”，且此时的坐标为，与点B重合，求点的坐标；
（3）当时，在反比例函数的图象上存在线段的“关联点”，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）、
（2）点的坐标为或
（3）
【小问1解析】
解：①如图，∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上，
绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上，
线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上，
∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”，
故答案为：、；
【小问2解析】
由题意可知，与点B重合，即：，
∵是线段的“关联点”，
∴是点绕点旋转所得，
若绕点顺时针旋转所得，
则，，且点在上方，
∴，
若绕点逆时针旋转所得，
同理可知，
综上，点的坐标为或；
【小问3解析】
根据“关联点”定义可知，若将线段上对应点，绕点旋转即可得到线段的“关联点”点，
当点的坐标为，将线段绕顺时针或逆时针旋转可得线段，，则，，
即：线段上任意一点均是线段的“关联点”，而线段左侧及点下方不可能再出现“关联点”，
要使当时，在反比例函数图象上存在线段的“关联点”，
只需要与线段有交点即可，
当经过点时，，
∴．
24. 如图，是⊙O的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交的延长线于点F，G，连接，交于点P．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
解析：（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
∵于，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，设的半径为r，
∴直径于，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设OE=4x，OG=5x，则EG==3x，
∴，
∴．
25. 如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法，如图2，点O处由一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙，建立如图所示的平面直角坐标系，已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并说明理由．
（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：
A.； B.；
C.； D.．
其中正确的不等式是__________．（填上所有正确的选项）
【答案】（1）①；②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，理由见解析
（2）A，C
【小问1解析】
①由题意可设所求的的函数关系式为．
∵点（0，0）在该函数的图像上，
∴．
解得．
故求的的函数关系为．
即 ．
②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．理由如下：
∵当时的函数值与当时的函数值相等，
∴当时，．
∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．
【小问2解析】
根据题意，得到当时，，当，，
∵
∴，，
故选A，C，
故答案为：A，C．
26. 【知识回顾】图1中点P是的角平分线上的一点，过点P作，，垂足分别是E、F，则与的数量关系为 ．
【知识探究】如图2，点P是的角平分线上的一点，M、N分别是两边的反向延长线上的点，若，则与的数量关系为 ．
【问题解决】已知，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且．
①如图3，求证：；
②如图4，点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【答案】知识回顾：；知识探究：；问题解决：①见解析；②，证明见解析
解析：解：知识回顾：∵平分，，，
∴，
故答案为：；
知识探究：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
问题解决：①在射线上截取，连接，
由知识探究可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
证明：由①可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
口味
顾客1
顾客2
顾客3
顾客4
顾客5
7
9
8
6
10
5
6
10
10
9
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
x
0
2
6
10
12
14
16
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56