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苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.5特殊平行四边形折叠综合应用(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.5特殊平行四边形折叠综合应用(原卷版+解析)，共34页。
A．甲和乙的折法都正确B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确
2．（2022春•石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（ ）
A．70°B．65°C．30°D．60°
3．（2022•天山区校级一模）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．3﹣
4．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022春•高青县期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段AB上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28°B．32°C．34°D．36°
6．（2022春•浚县期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
7．（2022秋•铁西区校级期末）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
8．（2022•宜昌模拟）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为 ．
9．（2022春•开封期末）如图，一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠：
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，得出矩形BCDE（图④）．则矩形BCDE的宽与长的比为 ．
10．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是 ．
11．（2022春•昌平区期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为 ．
23．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB＝+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为 ．
12．（2022春•连山区期末）已知四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C'，DC'交CB于G，且ABGD为长方形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC上一点A'（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为 度．
13．（2021秋•安宁市校级期中）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝ ．
14．（2021秋•邗江区校级月考）如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
15．（2021春•饶平县校级期末）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
16．（2021春•滦州市期末）如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是 ．
17．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
18．（2021秋•铁东区期末）如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B、C两点落在B′、C′点处，若得∠B′OG＝56°，则∠AOB′余角的度数为 ．
19．（2021秋•吉安县期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
20．（2020春•中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
21．（2022春•上林县期末）综合实践：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形：
【动手操作】
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
【尝试理解】
（1）如图4，矩形BCDE中，的值为 ．
【深入探究1】
（2）如图3，求证：四边形ABPD为菱形．
【深入探究2】
（3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形，请说明理由．
22．（2022春•瑶海区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，将AB折叠使点A落在对角线BD上的点E处，折痕为BM，同样将CD折叠使点C落在对角线BD上的点F处，折痕为DN．
（1）当点E、F重合时，求证：四边形BMDN是菱形；
（2）当点EF＝BD时，求的值．
23．（2022•运城二模）如图，将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接AA′，如图1
问题解决：
（1）试判断图1中△ABA′是什么特殊的三角形？并说明理由；
（2）如图2，在图1的基础上，AA′与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交BA′于点Q，求的值．
24．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求．
（培优特训）
专项9.5 特殊平行四边形折叠综合应用
1．（2023•峰峰矿区开学）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的折法都正确B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确
【答案】A
【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；
乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；
故选：A．
2．（2022春•石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（ ）
A．70°B．65°C．30°D．60°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠BEF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝120°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
故选：D．
3．（2022•天山区校级一模）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．3﹣
【答案】C
【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2a．
由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，
∴FN＝＝＝a，
∴FM＝MN﹣FN＝（2﹣）a．
设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x．
在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2，
∴（a﹣x）2+[（2﹣）a]2＝x2，
∴x＝（4﹣2）a，
∴EM＝a﹣（4﹣2）a＝（2﹣3）a，
∴＝＝2﹣．
故选：C．
4．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝＝2，故④错误．
综上所述，结论正确的有①③，共2个．
故选：B．
5．（2022春•高青县期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段AB上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28°B．32°C．34°D．36°
【答案】B
【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，
∴∠AEC＝∠DCB，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC＝32°，
∴∠BFD＝32°，
故选：B．
6．（2022春•浚县期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【解答】解：由折叠的性质得：∠BAE＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，
∴∠BAE＝×90°＝30°，
故选：A．
7．（2022秋•铁西区校级期末）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【解答】解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．
故选：A．
8．（2022•宜昌模拟）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为 ．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
又∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝5，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝13，
∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，
∴12×5＝13AH，
∴AH＝，
故答案为：．
9．（2022春•开封期末）如图，一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠：
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，得出矩形BCDE（图④）．则矩形BCDE的宽与长的比为 ．
【答案】
【解答】解：设BC＝NC＝MN＝2a，
∵把这个正方形折成两个相等的矩形，
∴NA＝AC＝a，
∴AB＝＝a，
∵并把AB折到图③中所示的AD处．
∴AD＝AB＝a，
∴CD＝（﹣1）a，
∴矩形BCDE的宽与长的比＝，
故答案为：．
10．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是 ．
【答案】2
【解答】解：如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴CD⊥BM，
∴CD垂直平分BM，
∴MG＝BG，
由翻折得AB＝HG，∠ABG＝∠HGB，
∵BG＝GB，
∴△ABG≌△HGB（SAS），
∴GA＝BH，
由翻折知EF⊥BG，
又∵FK⊥BC，
∴∠FKE＝∠BCG＝90°，
∴∠EFK+∠FEK＝∠GBC+∠FEK＝90°，
∴∠EFK＝∠GBC，
∵∠BAD＝∠ABC＝∠BKF＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴AB＝FK，
∴FK＝BC，
∴△FEK≌△BGC（ASA），
∴EF＝BG，
∴EF＝MG，
∴BH+EF＝AG+MG，
∵AG+MG≥AM，
∴BH+EF≥AM，
∴当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，
∴BH+EF＝AM的值也最小，
∵∠ABM＝90°，AB＝2，BM＝2BC＝4，
∴AM＝＝＝2，
∴BH+EF的最小值是2．
故答案为：2．
11．（2022春•昌平区期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为 ．
【答案】2
【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，
∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，
∴x＝2，
故答案为：2．
23．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB＝+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为 ．
【答案】或
【解答】解：∵BC∥AD，∠DAB＝135°，
∴∠B＝45°，
分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，如图，
设AE′，BC交于点F，
则∠FAB＝45°，FA＝FB＝（+1）×＝（+），
∴∠E′AB′＝∠B'AE＝∠BAE＝15°，
∴∠FAE＝30°，
∴EF＝＝＝，
∴BE＝（+）﹣＝；
②当AE'⊥AB时，如图，
则∠E′AB＝90°，
∴∠E'AB'＝∠B′AE＝∠BAE＝30°，
过点E作EG⊥AB于点G，
设BG＝x，则EG＝BG＝x，
∴AG＝x，
∴x+x＝+1，
解得x＝1，
∴BE＝BG＝，
综上可知，BE的长为或．
故答案为：或．
12．（2022春•连山区期末）已知四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C'，DC'交CB于G，且ABGD为长方形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC上一点A'（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为 度．
【答案】45
【解答】解：设∠EDC＝x，∠GDF＝y，
由折叠性质可知，∠EDG＝x，∠ADF＝∠CDF＝2x+y，
由∠ADG＝90°，得2x+y+y＝90°，
∴x+y＝45°，
故∠EDF＝x+y＝45°，
故答案为：45．
13．（2021秋•安宁市校级期中）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝ ．
【答案】40°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
由翻折可知：∠EFB＝∠C＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，
∵∠AFB＝50°，
∴∠DFE＝40°．
故答案为：40°．
14．（2021秋•邗江区校级月考）如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
【答案】40°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MNK＝∠1＝70°，
由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，
∵CN∥BM，
∴∠CNM+∠KMN＝180°，
∴∠CNM＝110°，
∴∠KNC＝40°，
故答案为：40°．
15．（2021春•饶平县校级期末）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
【答案】（，﹣）
【解答】解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，OA＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠CBO＝∠AOB，
由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，
∴∠OBD＝∠AOB，
∴BE＝OE，
在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，
由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，即BE＝，
∴OE＝BE＝，
在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，
由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，
∴DF＝，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，
∴OF＝，
∴点D的坐标为（，﹣），
故答案为：（，﹣）．
16．（2021春•滦州市期末）如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是 ．
【答案】75°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠FBC＝30°，
根据折叠可得AB＝BF，
∴FB＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
故答案为：75°．
17．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
【答案】
【解答】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵点M是BC边的中点，
∴CM＝BM＝BC＝2cm，
由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，
∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF，
设AF＝xcm，则EF＝xcm，
∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，
∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，FM＝+2＝cm，
∵∠FEG＝∠DEM＝90°，
∴∠FEG＝∠B＝90°，
∵∠EFG＝∠BFM，
∴△FGE∽△FMB，
∴＝，即＝，
∴FG＝cm，
故答案为：．
18．（2021秋•铁东区期末）如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B、C两点落在B′、C′点处，若得∠B′OG＝56°，则∠AOB′余角的度数为 ．
【答案】22°
【解答】解：∵把一张长方形的纸条按图那样折叠后，
∴∠B'OG＝∠BOG＝56°，
∴∠AOB'＝68°，
∴∠AOB′余角的度数为22°，
故答案为：22°．
19．（2021秋•吉安县期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，
在Rt△AOF中，OF＝＝6，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
即EC的长为3．
（2）∵EC的长为3，
∴点E的坐标为（10，3）．
20．（2020春•中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AF∥CE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
由（1）得：AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
21．（2022春•上林县期末）综合实践：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形：
【动手操作】
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
【尝试理解】
（1）如图4，矩形BCDE中，的值为 ．
【深入探究1】
（2）如图3，求证：四边形ABPD为菱形．
【深入探究2】
（3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形，请说明理由．
【解答】（1）解：设MN＝2a，
由题意得：AC＝a，BC＝MN＝2a，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝a，
由折叠的性质得：AD＝AB＝a，
∴CD＝AD﹣AC＝（﹣1）a，
∵四边形BCDE是矩形，
∴DE＝BC＝2a，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）证明：由题意得：BP∥AD，
∴∠BPA＝∠DAP，
由折叠的性质得AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，
∴∠BPA＝∠BAP，
∴AB＝BP，
∴AD＝BP，
∵BP∥AD，
∴四边形ABPD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABPD为菱形．
（3）证明：设MN＝2a，由折叠的性质得MN＝MB＝BC＝2a，NA＝AC＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴矩形BCDE是黄金矩形．
22．（2022春•瑶海区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，将AB折叠使点A落在对角线BD上的点E处，折痕为BM，同样将CD折叠使点C落在对角线BD上的点F处，折痕为DN．
（1）当点E、F重合时，求证：四边形BMDN是菱形；
（2）当点EF＝BD时，求的值．
【解答】（1）证明：∵折叠，
∴AB＝BE，DE＝CD，∠A＝∠BEM＝90°，∠C＝∠DEN＝90°，
∴BE＝DE，∠MED＝∠BEN＝90°，
∴∠MEB+∠BEN＝180°，
∴点M，点E，点N三点共线，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
在△MED和△NEB中，
，
∴△MED≌△NEB（ASA），
∴MD＝BN，
又∵AD∥BC，
∴四边形MDNB是平行四边形，
∵∠BEN＝90°，
∴四边形MDNB是菱形；
（2）设EF＝x，则BD＝3x，
①当点E在点F的左侧时，
由折叠可得：AB＝BE，DE＝CD，∠A＝∠BEM＝90°，∠C＝∠DFN＝90°，
∴BE＝DF，
∴BE＝DF＝EF＝x，
∴AB＝x＝CD，
∴BC＝＝x，
则，
②当E点在点F的右侧时，
同理可求BF＝DE＝EF＝x，则AB＝CD＝2x，
∴BC＝＝x，
则，
综上所述：＝或．
23．（2022•运城二模）如图，将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接AA′，如图1
问题解决：
（1）试判断图1中△ABA′是什么特殊的三角形？并说明理由；
（2）如图2，在图1的基础上，AA′与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交BA′于点Q，求的值．
【解答】解：（1）等边三角形．
理由：由折叠可知：EF垂直平分AB，AB＝A'B，
∴AA'＝A'B，
∴AB＝A'B＝AA'，
∴△ABA'为等边三角形．
（2）取A'Q的中点M，连接MN，则A'M＝QM，
由折叠可知：AN＝A'N，
∴MN是△AA'Q的中位线，
∴MN∥AQ，
∴BP：PN＝BQ：QM，
∵P为BN的中点，
∴BP＝PN，
∴BQ＝QM，
∴．
24．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）解：MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求．
A．甲和乙的折法都正确B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确
2．（2022春•石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（ ）
A．70°B．65°C．30°D．60°
3．（2022•天山区校级一模）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．3﹣
4．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022春•高青县期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段AB上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28°B．32°C．34°D．36°
6．（2022春•浚县期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
7．（2022秋•铁西区校级期末）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
8．（2022•宜昌模拟）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为 ．
9．（2022春•开封期末）如图，一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠：
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，得出矩形BCDE（图④）．则矩形BCDE的宽与长的比为 ．
10．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是 ．
11．（2022春•昌平区期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为 ．
23．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB＝+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为 ．
12．（2022春•连山区期末）已知四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C'，DC'交CB于G，且ABGD为长方形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC上一点A'（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为 度．
13．（2021秋•安宁市校级期中）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝ ．
14．（2021秋•邗江区校级月考）如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
15．（2021春•饶平县校级期末）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
16．（2021春•滦州市期末）如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是 ．
17．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
18．（2021秋•铁东区期末）如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B、C两点落在B′、C′点处，若得∠B′OG＝56°，则∠AOB′余角的度数为 ．
19．（2021秋•吉安县期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
20．（2020春•中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
21．（2022春•上林县期末）综合实践：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形：
【动手操作】
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
【尝试理解】
（1）如图4，矩形BCDE中，的值为 ．
【深入探究1】
（2）如图3，求证：四边形ABPD为菱形．
【深入探究2】
（3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形，请说明理由．
22．（2022春•瑶海区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，将AB折叠使点A落在对角线BD上的点E处，折痕为BM，同样将CD折叠使点C落在对角线BD上的点F处，折痕为DN．
（1）当点E、F重合时，求证：四边形BMDN是菱形；
（2）当点EF＝BD时，求的值．
23．（2022•运城二模）如图，将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接AA′，如图1
问题解决：
（1）试判断图1中△ABA′是什么特殊的三角形？并说明理由；
（2）如图2，在图1的基础上，AA′与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交BA′于点Q，求的值．
24．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求．
（培优特训）
专项9.5 特殊平行四边形折叠综合应用
1．（2023•峰峰矿区开学）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的折法都正确B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确
【答案】A
【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；
乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；
故选：A．
2．（2022春•石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（ ）
A．70°B．65°C．30°D．60°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠BEF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝120°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
故选：D．
3．（2022•天山区校级一模）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．3﹣
【答案】C
【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2a．
由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，
∴FN＝＝＝a，
∴FM＝MN﹣FN＝（2﹣）a．
设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x．
在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2，
∴（a﹣x）2+[（2﹣）a]2＝x2，
∴x＝（4﹣2）a，
∴EM＝a﹣（4﹣2）a＝（2﹣3）a，
∴＝＝2﹣．
故选：C．
4．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝＝2，故④错误．
综上所述，结论正确的有①③，共2个．
故选：B．
5．（2022春•高青县期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段AB上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28°B．32°C．34°D．36°
【答案】B
【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，
∴∠AEC＝∠DCB，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC＝32°，
∴∠BFD＝32°，
故选：B．
6．（2022春•浚县期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【解答】解：由折叠的性质得：∠BAE＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，
∴∠BAE＝×90°＝30°，
故选：A．
7．（2022秋•铁西区校级期末）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【解答】解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．
故选：A．
8．（2022•宜昌模拟）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为 ．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
又∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝5，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝13，
∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，
∴12×5＝13AH，
∴AH＝，
故答案为：．
9．（2022春•开封期末）如图，一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠：
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，得出矩形BCDE（图④）．则矩形BCDE的宽与长的比为 ．
【答案】
【解答】解：设BC＝NC＝MN＝2a，
∵把这个正方形折成两个相等的矩形，
∴NA＝AC＝a，
∴AB＝＝a，
∵并把AB折到图③中所示的AD处．
∴AD＝AB＝a，
∴CD＝（﹣1）a，
∴矩形BCDE的宽与长的比＝，
故答案为：．
10．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是 ．
【答案】2
【解答】解：如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴CD⊥BM，
∴CD垂直平分BM，
∴MG＝BG，
由翻折得AB＝HG，∠ABG＝∠HGB，
∵BG＝GB，
∴△ABG≌△HGB（SAS），
∴GA＝BH，
由翻折知EF⊥BG，
又∵FK⊥BC，
∴∠FKE＝∠BCG＝90°，
∴∠EFK+∠FEK＝∠GBC+∠FEK＝90°，
∴∠EFK＝∠GBC，
∵∠BAD＝∠ABC＝∠BKF＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴AB＝FK，
∴FK＝BC，
∴△FEK≌△BGC（ASA），
∴EF＝BG，
∴EF＝MG，
∴BH+EF＝AG+MG，
∵AG+MG≥AM，
∴BH+EF≥AM，
∴当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，
∴BH+EF＝AM的值也最小，
∵∠ABM＝90°，AB＝2，BM＝2BC＝4，
∴AM＝＝＝2，
∴BH+EF的最小值是2．
故答案为：2．
11．（2022春•昌平区期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为 ．
【答案】2
【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，
∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，
∴x＝2，
故答案为：2．
23．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB＝+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为 ．
【答案】或
【解答】解：∵BC∥AD，∠DAB＝135°，
∴∠B＝45°，
分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，如图，
设AE′，BC交于点F，
则∠FAB＝45°，FA＝FB＝（+1）×＝（+），
∴∠E′AB′＝∠B'AE＝∠BAE＝15°，
∴∠FAE＝30°，
∴EF＝＝＝，
∴BE＝（+）﹣＝；
②当AE'⊥AB时，如图，
则∠E′AB＝90°，
∴∠E'AB'＝∠B′AE＝∠BAE＝30°，
过点E作EG⊥AB于点G，
设BG＝x，则EG＝BG＝x，
∴AG＝x，
∴x+x＝+1，
解得x＝1，
∴BE＝BG＝，
综上可知，BE的长为或．
故答案为：或．
12．（2022春•连山区期末）已知四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C'，DC'交CB于G，且ABGD为长方形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC上一点A'（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为 度．
【答案】45
【解答】解：设∠EDC＝x，∠GDF＝y，
由折叠性质可知，∠EDG＝x，∠ADF＝∠CDF＝2x+y，
由∠ADG＝90°，得2x+y+y＝90°，
∴x+y＝45°，
故∠EDF＝x+y＝45°，
故答案为：45．
13．（2021秋•安宁市校级期中）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝ ．
【答案】40°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
由翻折可知：∠EFB＝∠C＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，
∵∠AFB＝50°，
∴∠DFE＝40°．
故答案为：40°．
14．（2021秋•邗江区校级月考）如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
【答案】40°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MNK＝∠1＝70°，
由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，
∵CN∥BM，
∴∠CNM+∠KMN＝180°，
∴∠CNM＝110°，
∴∠KNC＝40°，
故答案为：40°．
15．（2021春•饶平县校级期末）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
【答案】（，﹣）
【解答】解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，OA＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠CBO＝∠AOB，
由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，
∴∠OBD＝∠AOB，
∴BE＝OE，
在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，
由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，即BE＝，
∴OE＝BE＝，
在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，
由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，
∴DF＝，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，
∴OF＝，
∴点D的坐标为（，﹣），
故答案为：（，﹣）．
16．（2021春•滦州市期末）如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是 ．
【答案】75°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠FBC＝30°，
根据折叠可得AB＝BF，
∴FB＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
故答案为：75°．
17．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
【答案】
【解答】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵点M是BC边的中点，
∴CM＝BM＝BC＝2cm，
由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，
∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF，
设AF＝xcm，则EF＝xcm，
∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，
∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，FM＝+2＝cm，
∵∠FEG＝∠DEM＝90°，
∴∠FEG＝∠B＝90°，
∵∠EFG＝∠BFM，
∴△FGE∽△FMB，
∴＝，即＝，
∴FG＝cm，
故答案为：．
18．（2021秋•铁东区期末）如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B、C两点落在B′、C′点处，若得∠B′OG＝56°，则∠AOB′余角的度数为 ．
【答案】22°
【解答】解：∵把一张长方形的纸条按图那样折叠后，
∴∠B'OG＝∠BOG＝56°，
∴∠AOB'＝68°，
∴∠AOB′余角的度数为22°，
故答案为：22°．
19．（2021秋•吉安县期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，
在Rt△AOF中，OF＝＝6，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
即EC的长为3．
（2）∵EC的长为3，
∴点E的坐标为（10，3）．
20．（2020春•中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AF∥CE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
由（1）得：AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
21．（2022春•上林县期末）综合实践：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形：
【动手操作】
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
【尝试理解】
（1）如图4，矩形BCDE中，的值为 ．
【深入探究1】
（2）如图3，求证：四边形ABPD为菱形．
【深入探究2】
（3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形，请说明理由．
【解答】（1）解：设MN＝2a，
由题意得：AC＝a，BC＝MN＝2a，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝a，
由折叠的性质得：AD＝AB＝a，
∴CD＝AD﹣AC＝（﹣1）a，
∵四边形BCDE是矩形，
∴DE＝BC＝2a，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）证明：由题意得：BP∥AD，
∴∠BPA＝∠DAP，
由折叠的性质得AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，
∴∠BPA＝∠BAP，
∴AB＝BP，
∴AD＝BP，
∵BP∥AD，
∴四边形ABPD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABPD为菱形．
（3）证明：设MN＝2a，由折叠的性质得MN＝MB＝BC＝2a，NA＝AC＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴矩形BCDE是黄金矩形．
22．（2022春•瑶海区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，将AB折叠使点A落在对角线BD上的点E处，折痕为BM，同样将CD折叠使点C落在对角线BD上的点F处，折痕为DN．
（1）当点E、F重合时，求证：四边形BMDN是菱形；
（2）当点EF＝BD时，求的值．
【解答】（1）证明：∵折叠，
∴AB＝BE，DE＝CD，∠A＝∠BEM＝90°，∠C＝∠DEN＝90°，
∴BE＝DE，∠MED＝∠BEN＝90°，
∴∠MEB+∠BEN＝180°，
∴点M，点E，点N三点共线，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
在△MED和△NEB中，
，
∴△MED≌△NEB（ASA），
∴MD＝BN，
又∵AD∥BC，
∴四边形MDNB是平行四边形，
∵∠BEN＝90°，
∴四边形MDNB是菱形；
（2）设EF＝x，则BD＝3x，
①当点E在点F的左侧时，
由折叠可得：AB＝BE，DE＝CD，∠A＝∠BEM＝90°，∠C＝∠DFN＝90°，
∴BE＝DF，
∴BE＝DF＝EF＝x，
∴AB＝x＝CD，
∴BC＝＝x，
则，
②当E点在点F的右侧时，
同理可求BF＝DE＝EF＝x，则AB＝CD＝2x，
∴BC＝＝x，
则，
综上所述：＝或．
23．（2022•运城二模）如图，将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接AA′，如图1
问题解决：
（1）试判断图1中△ABA′是什么特殊的三角形？并说明理由；
（2）如图2，在图1的基础上，AA′与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交BA′于点Q，求的值．
【解答】解：（1）等边三角形．
理由：由折叠可知：EF垂直平分AB，AB＝A'B，
∴AA'＝A'B，
∴AB＝A'B＝AA'，
∴△ABA'为等边三角形．
（2）取A'Q的中点M，连接MN，则A'M＝QM，
由折叠可知：AN＝A'N，
∴MN是△AA'Q的中位线，
∴MN∥AQ，
∴BP：PN＝BQ：QM，
∵P为BN的中点，
∴BP＝PN，
∴BQ＝QM，
∴．
24．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）解：MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求．
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