苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.5矩形的性质与判定(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.5矩形的性质与判定(知识解读)(原卷版+解析)，共25页。

1. 理解矩形的概念；
2. 探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历矩形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过矩形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力
【知识点梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。
【典例分析】
【考点1：矩形的性质】
【典例1】（2022秋•南关区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（ ）
A．62°B．56°C．28°D．30°
【变式1-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（ ）
A．B．2C．2D．4
【变式1-2】（2022秋•双流区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-3】（2022•南京模拟）如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相于点O，∠ACB＝60°，则∠AOD的大小为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【典例2】（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
【变式2-1】（2022春•宁县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，交BD于点O，连结BM、DN．若AB＝4，MD＝5，则AD的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式2-2】（2022春•元阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝，∠BAC＝60°，点E在AB延长线上，且BE＝AC，连接DE，则DE的长为（ ）
A．6B．2C．3D．8
【变式2-3】（2022春•定远县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（ ）
A．B．C．﹣5D．5
【考点2：直角三角形斜边上的中线】
【典例3】（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5B．4C．8D．6
【变式3-1】（2022秋•高新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
【变式3-2】（2022秋•太原期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AC＝8，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5B．4C．8D．6
【考点3：矩形的判定】
【典例4】（2022秋•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC
【变式4-1】（2022秋•南山区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝CDB．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BDD．OA＝OB＝OC＝OD
【变式4-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（ ）
A．BO＝DOB．AC⊥BDC．AB＝BCD．AO＝DO
【变式4-3】（2022秋•顺德区期中）粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
【典例5】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【变式5-1】（2022秋•市北区期末）已知：如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
求证：四边形ACED是矩形．
【变式5-2】（2021秋•三原县期末）如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，求证：四边形ACOB是矩形．
【变式5-3】（2021秋•郓城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的角平分线．求证：四边形FDEC是矩形．
【考点4：矩形的性质与判定】
【典例6】（2022秋•皇姑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．
【变式6-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．
【变式6-2】（2022秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F，OE＝5，AC＝8．
（1）求AB的长；
（2）求菱形ABCD的高．
【变式6-3】（2022春•新昌县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC＝CE，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC＝3，AB＝5，求BD的长．
专题9.5 矩形的性质与判定（知识解读）
【学习目标】
1. 理解矩形的概念；
2. 探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历矩形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过矩形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力
【知识点梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。
【典例分析】
【考点1：矩形的性质】
【典例1】（2022秋•南关区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（ ）
A．62°B．56°C．28°D．30°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝124°，
∴∠DOE＝56°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣56°）＝62°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝34°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝62°﹣34°＝28°；
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（ ）
A．B．2C．2D．4
【答案】C
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO＝AC＝2，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝AO＝2，
∴AB＝AD＝2，
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•双流区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝3，
∴BD＝2OA＝6，
故选：D．
【变式1-3】（2022•南京模拟）如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相于点O，∠ACB＝60°，则∠AOD的大小为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】C
【解答】解：∵在矩形ABCD中对角线AC、BD相于点O，
∴AC＝BD，
∴OC＝OB，
∵∠ACB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°；
故选：C．
【典例2】（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
【答案】C
【解答】解：如图，连接CE，
在矩形ABCD中，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即AE的长为5．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•宁县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，交BD于点O，连结BM、DN．若AB＝4，MD＝5，则AD的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，
∴MB＝MD＝5，
在Rt△AMB中，
AM＝＝＝3，
∴AD＝AM+MD＝3+5＝8．
故选：B．
【变式2-2】（2022春•元阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝，∠BAC＝60°，点E在AB延长线上，且BE＝AC，连接DE，则DE的长为（ ）
A．6B．2C．3D．8
【答案】A
【解答】解：连接BD，
∵AB＝，∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝3，AC＝2AB＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD＝2，
∴AE＝AB+BE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
DE＝＝＝6，
故选：A．
【变式2-3】（2022春•定远县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（ ）
A．B．C．﹣5D．5
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴DM＝AD﹣AM＝AD﹣CM＝8﹣CM，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2＝CM2，
即（8﹣CM）2+42＝CM2，
解得：CM＝5，
故选：D．
【考点2：直角三角形斜边上的中线】
【典例3】（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5B．4C．8D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
【变式3-1】（2022秋•高新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
故选：D．
【变式3-2】（2022秋•太原期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AC＝8，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5B．4C．8D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D
【考点3：矩形的判定】
【典例4】（2022秋•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC
【答案】C
【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•南山区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝CDB．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BDD．OA＝OB＝OC＝OD
【答案】D
【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
【变式4-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（ ）
A．BO＝DOB．AC⊥BDC．AB＝BCD．AO＝DO
【答案】D
【解答】解：需要添加的条件是AO＝DO，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•顺德区期中）粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
【答案】B
【解答】解：A、四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，可以判定为平行四边形，不可以判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，可以判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【典例5】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS），
∴AF＝BD，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【变式5-1】（2022秋•市北区期末）已知：如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
求证：四边形ACED是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
又∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠DEC＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
【变式5-2】（2021秋•三原县期末）如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，求证：四边形ACOB是矩形．
【解答】证明：∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，
∴∠AOM＝2∠AOB，∠AON＝2∠AOC，
∵点M，O，N在同一直线上，
∴∠AOM+∠AON＝180°，
∴2∠AOB+2∠AOC＝180°，
∴∠AOB+∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AB⊥OB，AC⊥OC，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，
∴四边形ACOB是矩形．
【变式5-3】（2021秋•郓城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的角平分线．求证：四边形FDEC是矩形．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DF是∠ADC的角平分线，
∴DF⊥AC．
∴∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴BD＝CD，
∵DE是∠BDC的角平分线，
∴DE⊥BC．
∴∠DEC＝90°，
∵∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
【考点4：矩形的性质与判定】
【典例6】（2022秋•皇姑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝，AO＝3，
∴AC＝6，EC＝，
∴AE＝．
【变式6-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEF，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°，
∴平行四边形ABDF是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABDF是矩形，AB＝DF，
∴BF＝AD＝10，
∴，
则AB＝DF＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∴CF＝CD+DF＝6+6＝12，
∵∠BDF＝90°，
∴BD⊥CF，
∴S△BCF＝CF•BD＝×12×8＝48．
【变式6-2】（2022秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F，OE＝5，AC＝8．
（1）求AB的长；
（2）求菱形ABCD的高．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形AOBE是矩形，
∴AB＝OE，
∵OE＝5，
∴AB＝5；
（2）过B作BM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴AO＝OC，BO＝DO，AD＝AB＝5，
∵AC＝8，
∴AO＝4，
∵AB＝5，
∴BO＝DO＝＝＝3，
∴BD＝6，
∵S菱形ABCD＝＝AD×BM，
∴8×6＝5×BM，
∴BM＝，
即菱形ABCD的高是．
【变式6-3】（2022春•新昌县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC＝CE，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC＝3，AB＝5，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形；
（2）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形ACED是矩形，
∴DE＝AC＝4，∠E＝90°，
∵BC＝CE＝3，
∴BE＝2BC＝6，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD＝＝＝2．