人教版八年级数学下册基础知识专题16.17 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解）

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【知识点一】二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
特别提醒：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
特别提醒：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
特别提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
【知识点二】二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
特别提醒：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别提醒：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
【考点目录】
【考点1】二次根式及相关概念； 【考点2】二次根式的性质；
【考点3】二次根式的大小比较； 【考点4】二次根式运算与求值；
【考点5】二次根式的应用.
【考点一】二次根式及相关概念；
（1）二次根式有意义的条件
【例1】（2023上·山东济南·八年级统考阶段练习）（1）若有意义，则满足条件____．
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）6
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列式求解即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得，解得，进而确定的值，然后代入求值即可．
解：（1）若有意义，
则有，
∴．
故答案为：；
（2）∵，，
∴，解得，
∴可有，解得，
∴．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
【变式1】（2024上·河南周口·九年级校联考期末）若有意义，则x、y的取值范围不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意知，异号或其中至少一个为0，由此即可作出判断．
解：由题意知，，
则，
即异号或其中至少一个为0，故是不可能的；
故选：C．
【变式2】（2023·广东潮州·统考三模）函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
（2）最简二次根式与同类二次根式
【例2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并，
求的值；
求与的乘积．
【答案】（1）；（2）；．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可；
（2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；
根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
解：（1）∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
（2），
∵与可以合并，
∴，
解得：；
由得：，
，
．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
【变式1】（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念逐项一一判断即可．
解：、是最简二次根式，符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
【点拨】此题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是熟记被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
【变式2】（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，熟记“二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式为同类二次根式”是解题关键．
解：与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
【考点二】二次根式的性质
【例3】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）课本再现
得出结论（1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________．
知识应用
（2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示．

请化简：．
【答案】（1）5，5，；（2）
【分析】本题考查数轴，二次根式的化简，化简绝对值，掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质求解；
（2）根据数轴确定a，c和的正负，进而利用化简．
解：（1），，可以得出结论：，
故答案为：5，5，；
（2）由数轴可知，，，
，
．
【变式1】（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
解：，
故选：．
【变式2】（2021·北京·九年级专题练习）化简的结果为 ．
【答案】
【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解．
解：原式
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键．
【考点三】二次根式的大小比较
【例4】（2023下·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是________，的小数部分是_______；
（2）比较与的大小．
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小．
【答案】（1）5；；（2）；（3）．
【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解．
（1）解：∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
【变式1】（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）的结果应在（ ）
A．和0之间B．0和1之间
C．1和2之间D．2和3之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．
解：原式=
∵
∴
故选B．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键．
【变式2】（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较与1的大小即可求解；
（3），，比较被开方数的大小即可；
解：①，
；
故答案为： ；
②；
；
故答案为： ；
③，，且；
；
故答案为： ；
【考点四】二次根式运算与求值
【例5】（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）1
【分析】本题主要考查二次根式性质，二次根式的混合运算，乘法公式的运用的综合，掌握以上知识是解题的关键．
（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）先进行二次根式的乘法运算，再合并即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
【变式1】（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理化；根据二次根式加减乘除运算进行即可判断．
解：A、，故选项A计算错误；
B、，故选项B计算错误；
C、，故选项C计算错误；
D、，故选项D计算正确；
故选：D．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）把进行化简，得到的最简结果是 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
解：
，
故答案为：．
【例6】（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
即
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）___________．
（2）化简．
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）8
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值：
（1）直接分子分母同时乘以进行分母有理化即可；
（2）先求出，据此把所求式子裂项计算即可；
（3）先求出∴，进而得到，则，再把所求式子变形为，进而得到，据此可得答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
．
【变式1】（2024下·全国·八年级假期作业）若，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】略
【变式2】（2024上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考期末）如果，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为，再代值计算即可．
解：∵，
∴
，
故答案为：．
【考点五】二次根式的应用
【例7】（2023上·广东深圳·八年级统考期末）秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
（1）在中，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，垂足为，求的长；
（3）一个三角形的三边长分别为，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积．
（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）由海伦-秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求；
（3）根据得以得到，再根据面积可以得到，代入计算即可．
（1）解：∵，
∴，
∴的面积为，
（2）解：
∴，
∴的面积为，
又∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，即，
又∵
∴，
即，
∴．
【变式1】（2023上·河南新乡·九年级统考期中）在长方形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积
故选：A．
【变式2】（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为9和25，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的面积，再利用“阴影面积长方形的面积两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的关键．
解：图中两个正方形的面积分别为9和25，
图中两个正方形的边长分别为：和．
图中长方形的长为，宽为5．
图中阴影部分面积为：．
故答案为：6．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
思考：对于任意数，一定等于吗？