人教版八年级数学下册基础知识第16章 二次根式（单元测试·培优卷）

这是一份人教版八年级数学下册基础知识第16章 二次根式（单元测试·培优卷），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ）
A．B．C．bD．
4．李老师设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数，乘以后再减去，输出结果．若小刚按程序输入2，则输出的结果应为（ ）
A．2B．C．﹣D．3
5．若，则化简（ ）
A．mB．-mC．nD．-n
6．若，则a的值所在的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点P，Q对应的数分别为p，q，则下列说法正确的是（ ）
A．点P向右平移3个单位长度与点Q重合B．
C．的相反数的整数部分为2D．
8．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知x是实数，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．或或
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D．若，则
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若与都是二次根式，那么 ．
12．比较大小，① ；② ．
13．已知，则 ．
14．从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
15．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
16．根式的值是 ．
17．[输入x]→[平方]→[减去]→[输出A]
（1）把多项式A分解因式为 ；
（2）当时，多项式A的值为 ．
18．人们把 叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若，则 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算
(1) (2)；
20．（8分）数学的学习要讲究“灵活”，灵活表现在活用公式，表现在洞察数学内部结构及特征，表现在思维的简捷与优美．以下两题，特别是第（2）题，很少见，请挑战以下自己，相信你会秒杀本题．
（1）计算：． （2）计算：．
21．（10分）已知三个实数：，，．
（1）计算：+－．
（2）在算式“+□”中，□表示“×”、“÷”中的某个运算符号，请通过计算说明当□表示哪种运算符号时，算式的结果较大．
22．（10分）嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．
解：．
（1）在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质 B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则 D．通分
（2）算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
23．（10分）
如图1，从一个大正方形纸板中截去面积分别为8，32的两个小正方形．
（1）求留下的部分（阴影部分）的面积；
（2）如图2，用余下部分的长方形纸板A，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，高为a，求盒子的底面积；
（3）用余下部分的长方形纸板B，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而且长与宽的比是，求这个盒子的容积．
24．（12分）
综合与探究
如图，在数轴上，点，，所表示的数分别为0，1，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点在数轴上表示的数为（点在点的左边）．

（1）求的值．
（2）在数轴上有两点，表示的数为，，且，求的平方根．
（3）现将点向左移动5个单位长度得到点，设点表示的数为，在数轴上是否存在一点所表示的数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
B. 中，的取值范围是，故此项符合题意；
C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意；
D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握最简二次根式的被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是解题的关键．
根据最简二次根式的定义进行判断作答即可．
【详解】解：是最简二次根式，故A符合要求；
，不是最简二次根式，故B不符合要求；
，不是最简二次根式，故C不符合要求；
，不是最简二次根式，故D不符合要求；
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，实数的性质等，首先由数轴可得，然后利用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴．
故选：B．
4．B
【分析】首先用小刚按程序输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积减去，求出输出的结果应为多少即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的加减法，解答此题的关键是要弄清楚先求什么，再求什么．
5．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
6．D
【分析】由题意知，，由，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，即，
故选：D．
【点拨】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化简．
7．C
【分析】由图可知，进而根据平移、绝对值以及化简二次根式即可得解．
【详解】解：由图可知，
∴，即点P向右平移3个单位长度不与点Q重合，故A错误；
，
∴，故B错误；
∵，
∴，
∴，即的相反数的整数部分为2，故C正确；
∵，
∴，故D错误．
故选C．
【点拨】本题考查了数轴、平移、绝对值以及化简二次根式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
8．C
【分析】根据绝对值、二次根式的性质化简、负指数幂、去括号合并同类项计算即可．
【详解】当时，不成立；当时，，
，故该选项错误；
B、 ，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、 ，故该选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查绝对值、二次根式的性质化简、负指数幂、去括号合并同类项，熟记运算法则是关键．
9．B
【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴且，解得：，
∴．
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键．
10．C
【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【详解】A.，不是互为倒数，选项错误；
B.若，由于，则，选项错误；
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；
D.由可得，结合可得，，则，选项错误；
故选：C
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．
11．0
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解．
【详解】解：∵与都是二次根式，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12． < <
【分析】①对于根式的大小比较，可以两边同时平方，比较平方后的大小即可解决问题；
②两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】解：①左边，平方后得到数为：12，
右边，平方后得到数为：13，
，
；
②左边求倒数为，
右边求倒数为，
，
．
故答案为：①<；②<．
【点拨】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对分母有理化得到，再把即可求解，正确求出，再把所求式子变成是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
14．（或或，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
15．/
【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．
【详解】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．
16．16
【分析】本题考查了二次根式的化简，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，将原式的分子变形为，即为，变形为，即为，同理将原式的分母中的两项也变形，变形后分子分母分别提取公因式后约分，最后开方即可得到结果．
【详解】解：
．
故答案为：16．
17． 4
【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；
（2）把代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意得；
故答案为：；
（2）当时，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值．
18．/
【分析】根据，依次求出即可解答．
【详解】解：根据，可得，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．
19．(1)17
(2)
【分析】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：最后结果必须化成最简二次根式．
【详解】（1）
（2）
20．(1)
(2)1
【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；
（2）将被开方数变形为完全平方数，求出算术平方根，再算乘法．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式性质与二次根式的运算法则．
21．(1)
(2)当□表示“÷”时，算式的结果要大，理由见解析
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）把乘与除分别代入计算后，再比较大小可得答案．
【详解】（1）解：+－
=
=；
（2）当□表示“×”时，+=
当□表示“÷”时，+=
∴当□表示“÷”时，算式的结果要大．
【点拨】本题考查二次根式的加减及二次根式的混合运算，解题关键是掌握二次根式的相关运算法则．
22．(1)BD
(2)
【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；
（2）直接利用乘法分配律把变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，
故答案为：BD；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
23．(1)32
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式是解答关键．
（1）先求得两个小正方形的边长，进而利用长方形的面积公式求解即可；
（2）利用长方形纸板的面积减去四个小正方形的面积即可求得底面积；
（3）设底面长方形的宽为x，长为3x，利用长方体的容积等于长×宽×高求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴留下的部分的面积为；
（2）解：由题意，
盒子的底面积为；
（3）解：设底面长方形的宽为x，长为3x，
由题意，得，∴，
∴无盖的长方体盒子的高为，
∴无盖的长方体盒子的容积为．
24．(1)
(2)
(3)存在点，的值为或
【分析】（1）先求解，，结合条件可得，再化简绝对值即可；
（2）根据非负数的性质先求解，，再计算，最后求解平方根即可；
（3）先表示点表示的数，求解，分两种情况：①当点在点的左边时，，②当点在点的右边时，，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，．
∵点在点的左边，∴．
∵点到点的距离与点到点的距离相等，点到点的距离与点到点的距离相等，∴，
∴
（2）∵，
∴，．
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴的平方根为．
（3）存在的值为或．
理由：根据题意可知，点表示的数，
∴．
分两种情况：①当点在点的左边时，．
∵，
∴，
∴，解得．
②当点在点的右边时，．
∵，
∴
∴，解得，
∴存在点，的值为或．
【点拨】本题考查的是数轴上两点之间的距离，平方根的含义，二次根式的加减运算，绝对值的化简，理解题意，熟练的化简绝对值，利用两点间的距离公式建立方程求解是解本题的关键．