人教版八年级数学下册基础知识第17章 勾股定理（单元测试·综合卷）

这是一份人教版八年级数学下册基础知识第17章 勾股定理（单元测试·综合卷），共26页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四组数中，勾股数是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，3 C． D．，，
2．如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
3．直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长为（ ）
A． B． C．或 D．或10
4．三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．如图所示，中，于，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
7．如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（ ）
A．96 B．78 C．108 D．120
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
9．如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，数轴上点P表示的数是，点M表示的数是1，轴，且，若以点P为圆心，的长为半径画弧交数轴的正半轴于，则点B表示的数为 ．
12．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB= ．
13．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为 ．
14．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，则 ．

15．折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，尺，尺，则的高为 尺．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 米．
17．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm．
18．如图，在中，，，，、分别是的内角和外角角平分线，且相交于点，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
20．（8分）1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．
（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
（2）利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
21．（10分）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连结．
（1）求证：是直角三角形；
（2）当为何值时，是以为腰的等腰三角形．
22．（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年一班数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得长等于21米，在上点的同侧取点，使．
（1）求的长（精确到0.1米，参考数据：）；
（2）已知本路段对校车限速40千米/小时，若测的某辆校车从到用时3秒，这辆校车是否超速？说明理由．
23．（10分）如图1，在中，，，点为内任意一动点，
（1）当时，求的度数；
（2）当点满足时，
①求的度数；
②如图2，取的中点，连接，试求，，之间的数量关系并说明理由．
24．（12分）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了勾股数，欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意；
B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
C、因为不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
D、因为，但，，不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答．
解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到．
3．D
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：设第三边为，
①当是直角边，则，解得：，
②当是斜边，则，解得．
∴第三边长为或．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
4．A
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断．
解：A. ，设，
则，，
故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意；
B. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意；
C. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意；
D. ，设，则，，
，故能判断是直角三角形，不符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．B
【分析】由于CD⊥AB，CD为Rt△ADC和Rt△BCD的公共边，在这两三角形中利用勾股定理可求出BD的长．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2，
∴AC2-AD2=BC2-BD2，
∵AD=2BD，AC=5，BC=4，
∴52-（2BD）2=42-BD2
解得：BD=．
故选B．
【点拨】仔细分析题目是解题的关键，本题中有一直角边为公共边，只要充分利用这一点及勾股定理，则容易解题．
6．A
【分析】根据旋转的性质可知：，，应用勾股定理求出的长，又由旋转的性质可知：，再由勾股定理即可求出的长.
解：由旋转的性质可知：，，
在中，，，，
勾股定理得：，
又旋转角为，
，
在中，，
即：的长为.
故选：.
【点拨】本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转的性质判定的形状与边、的长.
7．A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，连接，根据勾股定理得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以判断出的形状，然后根据即可得到四边形的面积．
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积．
即这块四边形空地的面积是96．
故选：A．
8．A
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2.
解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE （AAS）
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .
故答案是68.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.
9．C
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接，证明为正三角形．得出，，根据等边三角形的性质利用判定，得出，，证出，得出，则可得出结论．
解：连接，
，，
为正三角形．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
是直角三角形，
，
，
，
若，则，
由题意可知，，
故①②③正确，
故选：C．
10．B
【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.
解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点作，
由勾股定理得，
当在同一条直线上，且时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为，
故选：B.
【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
11．/
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理，先利用勾股定理求得，再根据数轴上两点之间的距离求解即可．
解：∵点P表示的数是，点M表示的数是1，
∴，又轴，且，
∴，则，
∴点B表示的数为，
故答案为：
12．1∶∶2
【分析】根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x，则AB=2x，再利用勾股定理求AC的长即可得解.
解：已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
设BC=x，则AB=2x，
∴AC==x，
则BC∶AC∶AB=1∶∶2.
故答案为1∶∶2.
【点拨】本题主要考查了30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13．S1+S2＝S3．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=c2，S2=b2，S3=a2，
∵△ABC是直角三角形，
∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3．
故答案为S1+S2=S3．
【点拨】本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
14．45
【分析】先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可．
解：∵，，
∴，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到关于的方程，求出的长．
解：尺，尺，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
故答案为：．
16．2.7
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
解：在Rt△ABC中，，
∴，
在中，，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故答案为：2.7．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
17．13
【分析】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题．画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图：
∴，
∴这图金属丝的长度至少为，
故答案为：13．
18．5
【分析】过点D作，由勾股定理可以求出的长，由角平分线的性质可得，利用三角形的面积和差关系可求出的长，即可求解．
解：如图，过点D作，
∵，，，
∴，
∵、分别是的内角和外角角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：5．
【点拨】本题考查勾股定理，角平分线的性质，利用面积的和差关系列出等式是解题的关键．
19．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由，得出，则，又，从而，则可证明．
（2）由角平分线的性质得，结合平行线性质可得，则有，再结合同角的余角相等得，则有，利用勾股定理即可求得答案．
解：（1）证明：∵，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是角度的代换．
20．（1）；；（2）见分析
【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
（2）由（1）可得，即可．
（1）解：由题得：梯形面积为；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，
即．
【点拨】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）或
【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．
（1）根据折叠的性质可得，，再根据平角的性质可得，从而推算出，最终得到；
（2）根据和两种情况展开讨论，当，设可得,根据折叠的性质得,再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，,可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案．
解：（1）证明：根据题意得，，
，
，
，
即，
是直角三角形；
（2）①当时，设，
得，
，
，
在中，
，
∴；
②当时，
，
是的中点，
，
∴，
设，则，
∴，
，
∴，
∴，
∴当或时，是以为腰的等腰三角形．
22．（1）的长为米；（2）这辆校车在路段不超速．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．
（1）分别在与中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求得与的长，从而求得的长；
（2）由从A到B用时3秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
（1）解：由题意得，，
∵，，米，
∴在中，（米），（米），
在中，，，即，
（米），
则（米）；
（2）解：不超速，理由如下：
∵汽车从A到B用时3秒，
∴速度为（米/秒），
（千米/时），
∴该车速度为千米/小时，
∵，
∴这辆校车在路段不超速．
23．（1）；（2）① ②，理由见分析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到，然后求出和的度数，利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）①作且使，连接、，则有，然后推导出，然后得到，进而计算解题；②延长至，使，连接，得到，然后得到，，再证明，根据①中的即可得到结论．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：①作且使，连接、，
∴，，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②，理由为：
由①知，
∴，
∴在一条直线上，
延长至，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1；（2；（3）的长为或10
【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可；
（2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：（1），，
，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即的长为；
（2）四边形是长方形，
，，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
（3）解：四边形是长方形，
，，
设线段的垂直平分线交于点，交于点，
则，
分两种情况：
①如图，当点在长方形内部时，
点在线段的垂直平分线上，
，，
由折叠的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
②如图，当点在长方形外部时，
由折叠的性质得：，，
同①得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为52或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．