初中数学人教版七年级下册7.1.2平面直角坐标系课后练习题

这是一份初中数学人教版七年级下册7.1.2平面直角坐标系课后练习题，共35页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！
一．选择题（共18小题）
1．（2022春•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，﹣1），D（3，﹣1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2023）B．（3，﹣2024）C．（3，﹣2025）D．（﹣3，﹣2026）
2．（2022春•西平县期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（ ）
A．2021个B．4042个C．6063个D．8084个
3．（2022春•厦门期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，0）B．（2022，1）C．（2022，2）D．（2022，0）
4．（2022春•上思县期中）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），则点A2020的坐标是（ ）
A．（506，505）B．（﹣506，507）C．（﹣506，506）D．（﹣505，505）
5．（2022春•柳南区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么A2020坐标为（ ）
A．（2022，1）B．（2022，0）C．（1010，1）D．（1010，0）
6．（2022春•永川区期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），……，根据这个规律探索可得，第120个点的坐标为（ ）
A．（16，0）B．（15，14）C．（15，0）D．（14，13）
7．（2022春•黄梅县期中）如下图所示，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，﹣1），…，按照这样的运动规律，点P第2021次运动到点（ ）
A．（2022，1）B．（2022，0）C．（2022，﹣1）D．（2022，0）
8．（2022春•青川县期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（ ）
A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）
9．（2022•苏州一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（7，4）C．（8，1）D．（1，4）
10．（2022春•绥中县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2021的坐标为（ ）
A．（﹣505，﹣505）B．（﹣505，506）
C．（506，506）D．（505，﹣505）
11．（2022春•海城市期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转8次，点P依次落在点P、P2、P3、P4、…Px的位置，则点P9的横坐标是（ ）
A．5B．6C．7D．9
12．（2022秋•石柱县校级月考）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第n次移动n个单位（n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．（182，169）B．（169，182）C．（196，182）D．（196，210）
13．（2022•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第一次向上跳动1个单位至P1（1，1），紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．（﹣24，49）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（26，51）
二．填空题（共10小题）
14．（2022•烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 ．
15．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为 ．
16．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：
（1）将表格填写完整：
（2）当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是 ．
（3）当点P从点O出发 秒时，可得到整数点（28，7）．
17．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ．
18．（2022春•上杭县期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为（ ）
A．（6062，2020）B．（3032，1010）
C．（3030，1011）D．（6063，2021）
二．填空题（共9小题）
19．（2022•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 ．
20．（2022•曲靖）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018＝ 个单位长度．
21．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推…．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1＝3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2＝9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3＝18；按照这样的规律，
l4＝ ； ln＝ （用含n的式子表示，n是正整数）．
22．（2022•锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 ．
23．（2022春•黄石校级月考）如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知：A（1，3），A1（﹣2，﹣3），A2（4，3），A3（﹣8，﹣3），B（2，0），B1（﹣4，0），B2（8，0），B3（﹣16，0）．
（1）观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为 ，点B4的坐标为 ．
（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn推测点An坐标为 ，点Bn坐标为 ．
24．（2022春•龙港区期末）如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 ；
（2）An的坐标为 ．（用含n的代数式表示）
25．（2022春•新余期末）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，2）．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ．
26．（2022•广水市期末）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上．将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2021次后，点P的坐标为 ．
27．（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位长度，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为 ；用n的代数式表示An的纵坐标： ．
解答题（共3小题）
28．（2022春•西城区校级期中）在直角坐标系中，我们把横，纵坐标都为整数的点叫敝整点，该坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点p作向上或向右运动（如图1所示）．运动时间（s）与整点（个）的关系如下表：
根据上表的运动规律回答下列问题：
（1）当整点p从点O出发4s时，可以得到的整点的个数为 个；
（2）当整点p从点O出发8s时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
（3）当整点P从点O出发 时，可以得到整点（16，4）的位置．
29．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 ；
（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．
30．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．
（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 ，B4的坐标是 ．
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 ．
（3）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则△OAnBn的面积S为
点P出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
（0，1）（1，0）
2
2秒
（1，1）（2，0）（0，2）
3
3秒
（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）
4
整点P运动的时间（秒）
可以得到整点P的坐标
可以得到整点P的个数
1
（0，1）（1，0）
2
2
（0，2）（1，1）（2，0）
3
3
（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）
4
…
…
…
专题7.3 平面直角坐标系中点的坐标规律专项训练（30道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！
一．选择题（共18小题）
1．（2022春•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，﹣1），D（3，﹣1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2023）B．（3，﹣2024）C．（3，﹣2025）D．（﹣3，﹣2026）
【分析】先根据已知条件求出点C的坐标，然后根据规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，求出点C连续三次变换的的坐标，找出其变化的规律，根据规律确定点C经过2022次变换后的坐标．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A，D的坐标分别为（1，﹣1），（3，﹣1）．
∴正方形的边长AD＝2．
∴正方形ABCD的顶点C的坐标为（3，﹣3）．
由题意得，经过1次变换点C的坐标变为（﹣3，﹣4）．
经过2次变换点C的坐标为（3，﹣5）．
经过3次变换点C的坐标为（﹣3，﹣6）．
经过4次变换点C的坐标为（3，﹣7）．
••••••••
从以上可以看出，偶数次变换点C的横坐标为3，奇数次变换点C的横坐标为﹣3；
变换的次数比点C的纵坐标的绝对值小3．且点C纵坐标均为负数．
∴当点C经过2022次变换后，点C的横坐标为3，点C的纵坐标为﹣（2022+3）＝﹣2025．
∴经过2022次变换后，点C的坐标为（3，﹣2025）．
故选：C．
2．（2022春•西平县期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（ ）
A．2021个B．4042个C．6063个D．8084个
【解题思路】根据第一个正方形可以得到整点个数为4，第二个正方形可知除顶点外每条边上的整点个数为1，故第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4，同理可知，第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4，从而可以得到第2021个正方形四条边上的整点个数．
【解答过程】解：根据题意可得，第一个正方形四条边上的整点个数为：4；
第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4＝8；
第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4＝12；
由此可得，由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数为：4×2020+4＝8084．
故选：D．
3．（2022春•厦门期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，0）B．（2022，1）C．（2022，2）D．（2022，0）
【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可
【解答】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∴2019＝4×504+3，
当第504循环结束时，点P位置在（2022，0），在此基础之上运动三次到（2022，2），
故选：C．
4．（2022春•上思县期中）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），则点A2020的坐标是（ ）
A．（506，505）B．（﹣506，507）C．（﹣506，506）D．（﹣505，505）
【分析】由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“A4n（﹣n，n），A4n+1（n，n﹣1），A4n+2（n，﹣n），A4n+3（﹣n，﹣n）”，根据该规律即可求出点A2020的坐标．
【解答】解：通过观察，可以发现规律：A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），A6（2，﹣2），A7（﹣2，﹣2），A8（﹣2，2），…，
∴A4n（﹣n，n），A4n+1（n，n﹣1），A4n+2（n，﹣n），A4n+3（﹣n，﹣n）．
∵2020＝4×505，
∴点A2020的坐标为（﹣505，505）．
故选：D．
5．（2022春•柳南区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么A2020坐标为（ ）
A．（2022，1）B．（2022，0）C．（1010，1）D．（1010，0）
【分析】结合图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2020＝505×4，故A2020的纵坐标与A4的纵坐标相同，都等于0；由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）…可得到以下规律，A4n（2n，1）（n为不为0的自然数），当n＝505时，A2020（1010，0）．
【解答】解：由图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2020＝505×4，
故A2020的纵坐标与A4的纵坐标相同，都等于0；
由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）…，
可得到规律A4n（2n，0）（n为不为0的自然数），
当n＝505时，A2020（1010，0）．
故选：D．
6．（2022春•永川区期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），……，根据这个规律探索可得，第120个点的坐标为（ ）
A．（16，0）B．（15，14）C．（15，0）D．（14，13）
【分析】经过观察每个列的数的个数是有规律的分别有1，2，3，4…，n个，而且奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，这样就不难找到第120个点的位置，进而可以写出它的坐标．
【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，…，第n列有n个数．则n列共有n(n+1)2个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为120＝1+2+3+…+14+15，则第120个数一定在第15列，由下到上是第1个数．因而第120个点的坐标是（15，0）．
故选：C．
7．（2022春•黄梅县期中）如下图所示，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，﹣1），…，按照这样的运动规律，点P第2021次运动到点（ ）
A．（2022，1）B．（2022，0）C．（2022，﹣1）D．（2022，0）
【分析】令P点第n次运动到的点为Pn点（n为自然数）．列出部分Pn点的坐标，根据点的坐标变化找出规律“P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”，根据该规律即可得出结论．
【解答】解：令P点第n次运动到的点为Pn点（n为自然数）．
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．
∵2021＝4×505+1，
∴P第2021次运动到点（2022，1）．
故选：A．
8．（2022春•青川县期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（ ）
A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）
【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；
偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），
由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．
代入上式得（14，142−5），即（14，2）．
故选：D．
9．（2022•苏州一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（7，4）C．（8，1）D．（1，4）
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答】解：如图，
经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2015÷6＝335…5，
∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，
点P的坐标为（1，4）．
故选：D．
10．（2022春•绥中县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2021的坐标为（ ）
A．（﹣505，﹣505）B．（﹣505，506）
C．（506，506）D．（505，﹣505）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．
【解答】解：∵2021÷4＝505•••1，
∴点P2021的在第三象限的角平分线上，
∵点P5（﹣1，﹣1），
∴点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，
∴点P2021（﹣505，﹣505）．
故选：A．
11．（2022春•海城市期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转8次，点P依次落在点P、P2、P3、P4、…Px的位置，则点P9的横坐标是（ ）
A．5B．6C．7D．9
【分析】观察不难发现，经过四次翻转后点P的位置为正方形的左上角，即恢复到开始的位置，经过四次翻折前进的路程为正方形的周长，用8除以4，根据商为2确定出为两个翻转循环的最后一个位置，进而得出P6与P7位置相同，然后求解即可．
【解答】解：由图可知，四次翻转后点P在开始位置，即正方形的左上角，
∵正方形的边长为1，
由图易知：P6与P7位置相同，
∴P9的横坐标为：3+6＝9．
故选：D．
12．（2022秋•石柱县校级月考）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第n次移动n个单位（n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．（182，169）B．（169，182）C．（196，182）D．（196，210）
【分析】数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．
【解答】解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，
所以点M第27次移动到的位置时，列的数字是1﹣﹣27中所有奇数的和，行的数字是1﹣﹣27中所有偶数的和，
即1+3+5+7+9+…+27＝196，
2+4+6+8+…+26＝182，
所以，点M第27次移动到的位置为（196，182），
故选：C．
13．（2022•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第一次向上跳动1个单位至P1（1，1），紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．（﹣24，49）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（26，51）
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．
【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1．
故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
14．（2022•烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 （15，4） ．
【分析】观察图象，推出P8的位置，即可解决问题．
【解答】解：观察发现：P1（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到P2（﹣1，0）；
P2（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（0，﹣1）；
P3（0，﹣1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P4（2，1）；
P4（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（﹣1，4）；
P5（﹣1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到P6（﹣6，﹣1）；
P6（﹣6，﹣1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（2，﹣9）；
P7（2，﹣9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到P8（15，4）．
故答案为：（15，4）．
15．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为 （0，﹣3） ．
【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【解答】解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，﹣3），A3（﹣4，﹣1），A4（﹣2，3），A5（2，1），…，
∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，﹣3），A4n+3（﹣4，﹣1），A4n+4（﹣2，3）（n为自然数）．
∵2022＝505×4+2，
∴点A2022的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
16．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：
（1）将表格填写完整：
（2）当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是 11 ．
（3）当点P从点O出发 35 秒时，可得到整数点（28，7）．
【分析】（1）根据点P的运动规律确定此题结果；
（2）根据题意归纳出当点P从点O出发n秒，可得到的整数点的个数是n+1可确定此题的结果；
（3）由题意可得当点P从点O出发n秒，可得到的整数点都在直线y＝﹣x+n上，将整数点（28，7）代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，当点P从点O出发n秒，可得到的整数点为（0，3）（1，2）（2，1）（3，0），
故答案为：（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）；
（2）根据题意归纳出当点P从点O出发n秒，可得到的整数点的个数是n+1，
当n＝10时，
n+1＝10+1＝11，
∴当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是11，
故答案为：11；
（3）由题意可得当点P从点O出发n秒，可得到的整数点都在直线y＝﹣x+n上，
则得﹣28+n＝7，
解得n＝35，
∴当点P从点O出发35秒时，可得到整数点（28，7），
故答案为：35．
17．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 （9，2） ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 （2022，672） ．
【分析】设走完第n步时，棋子所处的位置为点Pn（n为自然数），根据走棋子的规律找出部分点Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：设走完第n步时，棋子所处的位置为点Pn（n为自然数），
观察，发现规律：P1（1，0），P2（3，0），P3（3，1），P4（4，1），…，
∴P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）．
∵8＝3×2+2，
∴P8（9，2）．
∵2016＝3×671+3，
∴P2016（2022，672）．
故答案为：（9，2）；（2022，672）．
18．（2022春•上杭县期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为（ ）
A．（6062，2020）B．（3032，1010）
C．（3030，1011）D．（6063，2021）
【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由2019是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1（3032，1010）．
【解答】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），
A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），
∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，
∴n＝1011，
∴A2n﹣1（3032，1010），
故选：B．
二．填空题（共9小题）
19．（2022•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 （2，3） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，
点A第二次关于x轴对称后在第四象限，
点A第三次关于y轴对称后在第三象限，
点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
20．（2022•曲靖）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018＝ 673 个单位长度．
【分析】根据P0P1＝1，P0P2＝1，P0P3＝1；P0P4＝2，P0P5＝2，P0P6＝2；P0P7＝3，P0P8＝3，P0P9＝3；可知每移动一次，圆心离中心的距离增加1个单位，依据2018＝3×672+2，即可得到点P2018在正南方向上，P0P2018＝672+1＝673．
【解答】解：由图可得，P0P1＝1，P0P2＝1，P0P3＝1；
P0P4＝2，P0P5＝2，P0P6＝2；
P0P7＝3，P0P8＝3，P0P9＝3；
∵2018＝3×672+2，
∴点P2018在正南方向上，
∴P0P2018＝672+1＝673，
故答案为：673．
21．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推…．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1＝3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2＝9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3＝18；按照这样的规律，
l4＝ 30 ； ln＝ 3n(n+1)2 （用含n的式子表示，n是正整数）．
【分析】先计算出第四次平移后可能点的坐标，即可计算出l4．根据l1、l2、l3、l4的值可推出ln．
【解答】解：由题意可得第四次平移后可能的点的坐标为：（0，4）、（2，3）、（4，2）、（6，1），（2，3）、（4，2）、（6，1）、（8，0），
故可得l4＝30．
由题意得，l1＝3，l2＝9，l3＝18，l4＝30，
则可推出ln=3n(n+1)2．
故答案为：30、3n(n+1)2．
22．（2022•锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 （51，50） ．
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．
故答案为：（51，50）．
23．（2022春•黄石校级月考）如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知：A（1，3），A1（﹣2，﹣3），A2（4，3），A3（﹣8，﹣3），B（2，0），B1（﹣4，0），B2（8，0），B3（﹣16，0）．
（1）观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为 （16，3） ，点B4的坐标为 （32，0） ．
（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn推测点An坐标为 （（﹣1）n•2n，（﹣1）n•3），点Bn坐标为 （（﹣1）n•2n+1，0） ．
【分析】（1）根据图形写出即可；
（2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标的变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可；
【解答】解：（1）如图，∵A（1，3）A1（﹣2，﹣3）A2（4，3）A3（﹣8，﹣3），
∴点A4的坐标为（16，3）；
∵B（2，0）B1（﹣4，0）B2（8，0）B3（﹣16，0），
∴点B4的坐标为（32，0）；
点An坐标为：（（﹣1）n•2n，（﹣1）n•3），点Bn的坐标为：（（﹣1）n•2n+1，0）．
24．（2022春•龙港区期末）如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 （8，2） ；
（2）An的坐标为 （3n﹣1，2） ．（用含n的代数式表示）
【分析】根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；
【解答】解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），
∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次大3，
∴A3（5+3，2），An（2+3（n﹣1），2），
即A3（8，2）；
故答案为（8，2）；
（2）An（3n﹣1，2），
故答案为（3n﹣1，2）；
25．（2022春•新余期末）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，2）．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 （1617，2） ．
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为2，0，﹣2，﹣2，0，2，0，﹣2，﹣2，0，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可．
【解答】解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4，
第6到10次运动横坐标分别为：4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为：4n+1，4n+2，4n+2，4n+4，4n+4，
前五次运动纵坐标分别为2，0，﹣2，﹣2，0，
第6到10次运动纵坐标分别为为2，0，﹣2，﹣2，0，
…
第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为2，0，﹣2，﹣2，0，
∵2021÷5＝404…1，
∴经过2021次运动横坐标为＝4×404+1＝1617，
经过2021次运动纵坐标为2，
∴经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是（1617，2）．
故答案为（1617，2）．
26．（2022•广水市期末）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上．将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2021次后，点P的坐标为 （6065，2） ．
【分析】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：第一次P1（5，2），
第二次P2（8，1），
第三次P3（10，1），
第四次P4（13，2），
第五次P5（17，2），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2021÷4＝505余1，
P2021的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×505＝6065，
∴P2021（6065，2），
故答案为（6065，2）．
27．（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位长度，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为 2 ；用n的代数式表示An的纵坐标： (1+n)22 ．
【分析】作A1D⊥y轴于点D，可推出A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+1=(1+1)22=2，A2的纵坐标=(1+2)22=4.5，则An的纵坐标为(1+n)22．
【解答】解：作A1D⊥y轴于点D，
则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，
∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+1=(1+1)22=2，
同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2=(1+2)22=4.5，
∴An的纵坐标为(1+n)22，
故答案为2，(1+n)22．
解答题（共3小题）
28．（2022春•西城区校级期中）在直角坐标系中，我们把横，纵坐标都为整数的点叫敝整点，该坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点p作向上或向右运动（如图1所示）．运动时间（s）与整点（个）的关系如下表：
根据上表的运动规律回答下列问题：
（1）当整点p从点O出发4s时，可以得到的整点的个数为 5 个；
（2）当整点p从点O出发8s时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
（3）当整点P从点O出发 20 时，可以得到整点（16，4）的位置．
【分析】（1）根据表中所示的规律，点的个数比时间数多1，可计算出整点P从O点出发4秒时整点P的个数；
（2）由表中所示规律可知，横纵坐标的和等于时间，据此可得到整点P从点O出发8秒时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
（3）由表中规律可知，横纵坐标的和等于时间，可得问题答案．
【解答】解：（1）根据表中所示的规律，点的个数比时间数多1，可计算出整点P从O点出发4秒时整点P的个数为5，
故答案为：5；
（2）由表中所示规律可知，横纵坐标的和等于时间，则点的个数为（0，8），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0）．如图：
（3）由表中规律可知，横纵坐标的和等于时间，可得，16+4＝20秒．
故答案为：20．
29．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6） ；
（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”；
故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；
（2）①当点B在x轴上时，
设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，
解得t＝﹣6，
∴B（﹣6，0）．
②当点B在y轴上时，
设B（0，b），
由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，
解得b＝6，
∴B（0，6）．
综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．
（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），
∴m＝n+4．
∵点B在第四象限，
∴m＞0n＜0，
∴n+4＞0n＜0，
解得﹣4＜n＜0，
此时0＜n+4＜4，
∴0＜m＜4．
由定义可知：m≠3，n≠﹣1，
∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
30．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．
（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 （16，3） ，B4的坐标是 （32，0） ．
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是 （2n，3） ，Bn的坐标是 （2n+1，0） ．
（3）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则△OAnBn的面积S为 3×2n
【分析】（1）根据点A、A1、A2、A3的变化，可找出点A4的坐标；同理可得出点B4的坐标；
（2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点An、Bn的坐标；
（3）由点An、Bn的坐标可得出OBn、AnBn﹣1的长度，再根据三角形的面积公式即可求出△OAnBn的面积．
【解答】解：（1）∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），
∴A4（16，3）；
∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
∴B4（32，0）．
故答案为：（16，3）；（32，0）．
（2）∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），A4（16，3），…，
∴An（2n，3）；
∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），B4（32，0），…，
∴Bn（2n+1，0）．
故答案为：（2n，3）；（2n+1，0）．
（3）∵An（2n，3），Bn（2n+1，0），
∴OBn＝2n+1，AnBn﹣1＝3，
∴S=12OBn•AnBn﹣1＝3×2n．点P出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
（0，1）（1，0）
2
2秒
（1，1）（2，0）（0，2）
3
3秒
（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）
4
整点P运动的时间（秒）
可以得到整点P的坐标
可以得到整点P的个数
1
（0，1）（1，0）
2
2
（0，2）（1，1）（2，0）
3
3
（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）
4
…
…
…