内蒙古呼和浩特铁路局职工子弟第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份内蒙古呼和浩特铁路局职工子弟第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（5分）下列结论中，错误的是（ ）
A．“x＝1”是“x2﹣x＝0”的充分不必要条件
B．已知命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p：∃x∈R，x2+1≤0
C．“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件
D．命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”
2．（5分）已知集合A＝，则A∩B为（ ）
A．∅B．{1}C．[0，+∞）D．{（0，1）}
3．（5分）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）若命题“∀x∈R，x2﹣4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣∞，﹣4）D．[﹣4，+∞）
5．（5分）函数f（x）的定义域是[2，+∞），则函数y＝的定义域是（ ）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]
C．[1，2）∪（2，+∞）D．[2，+∞）
6．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（﹣3，1）∪（2，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞）
C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
7．（5分）若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）
8．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）满足，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2都有，且f（3）＝0，则不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）B．[﹣3，0）∪[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3]∪（0，3]D．[﹣3，0）∪（0，3]
9．（5分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）
10．（5分）函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）和D．和（2，+∞）
11．（5分）已知函数f（x）的值域为[1，2]，则函数y＝2f（x+2）+5的最大值为（ ）
A．7B．9C．12D．不确定
12．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的取值是 ．
14．（5分）计算：＝ ．
15．（5分）若曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线经过点P（2，0），则实数a＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）集合A＝{x|﹣3x2﹣x+2＞0}，B＝{x|4x﹣3＜0}．
（1）求（∁RA）∩B；
（2）设集合C＝{x|2a＜x＜1﹣a}，若“x∈B”是“x∈C”的必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）（1）已知，求f（x）的解析式；
（2）已知，求g（x）的解析式．
19．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若f（a）＝2，求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）设函数（k∈R），若g（x）在（0，+∞）上没有零点，求k的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于x的不等式f（lg2x）＜f（1）．
21．（12分）已知函数，g（x）＝xexf（x）﹣2x．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
22．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣m•2x+1﹣8．
（1）若m＝1，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若∀x∈[0，2]，f（x）≥﹣12恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，共60分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（5分）下列结论中，错误的是（ ）
A．“x＝1”是“x2﹣x＝0”的充分不必要条件
B．已知命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p：∃x∈R，x2+1≤0
C．“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件
D．命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”
【解答】解：对于A：把x＝1代入x2﹣x＝0成立，所以“x＝1“是“x2﹣x＝0”的充分条件，
x2﹣x＝0的解为x＝0或x＝1，所以“x＝1“是“x2﹣x＝0”的不必要条件，
故“x＝1“是“x2﹣x＝0”的充分不必要条件，故A正确；
对于B：命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p：∃x∈R，x2+1≤0，故B正确；
对于C：不等式“x2+x﹣2＞0”的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}，
“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故C不正确；
对于D：命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”，故D正确；
故选：C．
2．（5分）已知集合A＝，则A∩B为（ ）
A．∅B．{1}C．[0，+∞）D．{（0，1）}
【解答】解：由集合A中的函数y＝，
得到1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，又x∈Z，
则集合A＝{﹣1，0，1}；
由集合B中的函数y＝x2+1≥1，且x∈A，得到集合B＝{1，2}，
则A∩B＝{1}．
故选：B．
3．（5分）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得：0＜5x﹣2≤1，
解得：＜x≤，
故选：C．
4．（5分）若命题“∀x∈R，x2﹣4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣∞，﹣4）D．[﹣4，+∞）
【解答】解：“∀x∈R，x2﹣4x+a≠0”为假命题，
∴∃x∈R，x²﹣4x+a＝0，是真命题，
方程x2﹣4x+a＝0有实数根，则Δ＝（﹣4）2﹣4a≥0，解得a≤4．
故选：A．
5．（5分）函数f（x）的定义域是[2，+∞），则函数y＝的定义域是（ ）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]
C．[1，2）∪（2，+∞）D．[2，+∞）
【解答】解：∵f（x）的定义域是[2，+∞），
∴由，得x≥1且x≠2．
∴函数y＝的定义域是[1，2）∪（2，+∞）．
故选：C．
6．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（﹣3，1）∪（2，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞）
C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
【解答】解：∵f（x）＝，∴f（1）＝1﹣4+6＝3；
当x≥0时，有x2﹣4x+6＞3，解得x＞3，或x＜1，即0≤x＜1，或x＞3；
当x＜0时，x+6＞3，解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜0；
综上，不等式f（x）＞f（1）的解集是：{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}；
故选：B．
7．（5分）若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）
【解答】解：∵y＝的定义域为R，
当m＝0，∴mx2+4mx+3＝3满足题意；
当m≠0时，由Δ＝16m2﹣12m＜0，
解得0＜m＜．
综上，当0≤m＜，即m∈[0，）时，函数y＝的定义域为R．
故选：D．
8．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）满足，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2都有，且f（3）＝0，则不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）B．[﹣3，0）∪[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3]∪（0，3]D．[﹣3，0）∪（0，3]
【解答】解：由对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2都有，可得f（x）在（0，+∞）上递减，
又因为f（x）为奇函数，且f（3）＝0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上递减，且f（﹣3）＝0，
因为，化简可得，即，
所以或，
解得x≥3或x≤﹣3，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
故选：A．
9．（5分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）
【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．
但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，
即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，
综上，实数a的取值范围是[，3）．
故选：B．
10．（5分）函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）和D．和（2，+∞）
【解答】解：对于函数，令|x2﹣x﹣2|＞0，解得x≠﹣1且x≠2，
所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞），
又函数，
所以y＝|x2﹣x﹣2|在（2，+∞），上单调递增，在（﹣∞，﹣1），上单调递减，
又函数y＝lg0.5x在定义域（0，+∞）上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和．
故选：C．
11．（5分）已知函数f（x）的值域为[1，2]，则函数y＝2f（x+2）+5的最大值为（ ）
A．7B．9C．12D．不确定
【解答】解：由函数f（x）的值域为[1，2]，可得f（x）的最大值为2，
y＝f（x+2）的最大值也是2，所以函数y＝2f（x+2）+5的最大值为9．
故选：B．
12．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵x≠0，，∴f（x）为奇函数，排除A．
∵f（1）＝e﹣1＞0．排除D．
∵当x＞0时，，∴当x＝2时，f'（x）＞0，∴排除C．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的取值是 4 ．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，
则函数f（x）＝x2﹣4x+m与x轴有且仅有1个交点，即Δ＝16﹣4m＝0，解可得m＝4，
故答案为：4．
14．（5分）计算：＝ ﹣ ．
【解答】解：
＝（lg5+lg2）+3﹣4
＝﹣．
故答案为：﹣．
15．（5分）若曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线经过点P（2，0），则实数a＝ ﹣ ．
【解答】解：由y＝lnx+ax，得y′＝+a，
∴y′|x＝1＝1+a，又x＝1时，y＝a，
∴曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线方程为y＝（1+a）（x﹣1）+a，
把点P（2，0）代入，可得0＝1+2a，即a＝﹣．
故答案为：﹣．
16．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是 [﹣1，+∞） ．
【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：
当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故答案为：[﹣1，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）集合A＝{x|﹣3x2﹣x+2＞0}，B＝{x|4x﹣3＜0}．
（1）求（∁RA）∩B；
（2）设集合C＝{x|2a＜x＜1﹣a}，若“x∈B”是“x∈C”的必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A＝，
所以∁RA＝{x|x或x≤﹣1}，B＝，
故（∁RA）∩B＝{x|x≤﹣1或}．
（2）若“x∈B”是“x∈C”的必要条件，则C是B的子集，
若C＝∅，故2a≥1﹣a，解得：a≥，
若C≠∅，则，解得：，
综上：a≥，
故实数a的取值范围是．
18．（12分）（1）已知，求f（x）的解析式；
（2）已知，求g（x）的解析式．
【解答】解：（1）令t＝1+2x（x≠0），则，
则，
故．
（2），①
将已知式子中的x换成，得，②
由①②消去，得．
19．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若f（a）＝2，求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）设函数（k∈R），若g（x）在（0，+∞）上没有零点，求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，
因为，即：ea＝3，
所以a＝ln3．
（Ⅱ）根据题意，函数f（x）为奇函数，
函数，有ex﹣1≠0，解得x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，其定义域关于原点对称，
又＝＝
所以f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由题意可知，g（x）＝ex﹣kx2，
函数g（x）在（0，+∞）上没有零点等价于方程k＝在（0，+∞）上无实数解，
设，则，
分析可得：在区间（0，2）上，h′（x）＜0，在区间（2，+∞）上，h′（x）＞0，
则h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
则h（x）在x＝2上取得极小值，也是最小值，必有，
方程k＝在（0，+∞）上无实数解，则k的取值范围为．
20．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于x的不等式f（lg2x）＜f（1）．
【解答】解：（1）∵f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，
则当x≥0时，设0≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣+
＝（﹣），
∵0≤x1＜x2，
∴1≤＜，即﹣＜0，＞1，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）在R上是增函数，
∴不等式f（lg2x）＜f（1）等价为不等式lg2x＜1，
即0＜x＜2．
即不等式的解集为（0，2）．
21．（12分）已知函数，g（x）＝xexf（x）﹣2x．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，g（x）＝xexf（x）﹣2x＝＝x3﹣x2﹣x，
g′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），
由g′（x）＝0，可得，x2＝1．
x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴，f（x）极小值＝f（1）＝﹣1；
（Ⅱ）＝，
当a＝2时，f′（x）＝＜0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，
当a＜2时，x∈（﹣∞，a）和x∈（2，+∞）有f′（x）＜0，x∈（a，2）有f′（x）＞0，
则f（x）在（﹣∞，a）和（2，+∞）上单调递减，在（a，2）上单调递增，
当a＞2时，x∈（﹣∞，2）和x∈（a，+∞）有f′（x）＜0，x∈（2，a）有f′（x）＞0，
则f（x）在（﹣∞，2）和（a+∞）上单调递减，在（2，a）上单调递增．
22．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣m•2x+1﹣8．
（1）若m＝1，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若∀x∈[0，2]，f（x）≥﹣12恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝1时，可得f（x）＝4x﹣2x+1﹣8，
由f（x）＝0，可得4x﹣2x+1﹣8＜0，
整理为（2x﹣4）（2x+2）＜0，
因为2x+2＞0，
所以2x﹣4＜0，解得x＜2，
所以不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，2）；
（2）因为x∈[0，2]，
令t＝2x，t∈[1，4]，
可得f（t）＝t2﹣2mt﹣8，
由f（x）≥﹣12，可得t2﹣2mt﹣8≥﹣12，
因为对于∀x∈[0，2]，f（x）≥﹣12恒成立，
即m≤对任意t∈[1，4]恒成立，
又因为＝+≥2＝2，当且仅当t＝2时取等，
所以m≤2，
即实数m的取值范围（﹣∞，2]．
x
（﹣∞，﹣）
（﹣，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗