山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝i，则复数z的虚部为（ ）
A．B．iC．1D．i
2．（5分）cs15°＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．8B．6C．4D．2
6．（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（ ）
A．海里/小时B．海里/小时
C．海里/小时D．海里/小时
7．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+12B．28C．D．
8．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足，，若AN，BM相交于点P，则cs∠MPN＝（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知向量，，是与同向的单位向量，则（ ）
A．
B．与可以作为一组基底
C．
D．向量在向量上的投影向量为
（多选）10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n﹣3＝﹣i
C．若1+i是关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b∈R）的根，则1﹣i也是该方程的根
D．复数z满足|z﹣1|＝1，则|z﹣i|的最大值为
（多选）11．（6分）如图，正八面体E﹣ABCD﹣F的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则（ ）
A．正八面体E﹣ABCD﹣F的表面积为
B．正八面体E﹣ABCD﹣F的体积为
C．正八面体E﹣ABCD﹣F的外接球的表面积为8πcm2
D．正八面体E﹣ABCD﹣F的内切球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝6，B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为 ．
13．（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，3），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，若点O为坐标原点，则＝ ．
14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202﹣1261）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是．现有△ABC满足，且△ABC的面积是，则△ABC的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求向量与的夹角θ．
16．（15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12．
（1）求圆锥PO的母线长；
（2）过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值．
17．（15分）（1）已知α，β都是锐角，，，求tan（α+2β）的值；
（2）已知，，求cs（α﹣β）的值．
18．（17分）已知函数在区间上的最大值为6，
（1）求常数m的值；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求使f（x）＞5成立的x的取值集合．
19．（17分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2＝c2+ab．
（1）若c＝8，，D为边AB上的中点，求；
（2）若E为边AB上一点，且，，求2a+b的最小值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝i，则复数z的虚部为（ ）
A．B．iC．1D．i
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．
【解答】解：∵（1+i）z＝i，
∴z＝＝，
故复数z的虚部为，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的有关概念和运算，利用复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础．
2．（5分）cs15°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用半角公式cs15°＝即可得出．
【解答】解：cs15°＝＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了半角公式的应用，属于基础题．
3．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据条件可知＝++，结合平行四边形性质可解决此题．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，
∴＝＝＝＝﹣，＝＝，
∴＝++＝++
＝﹣+（+）＝+（﹣﹣）
＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题．
4．（5分）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
【解答】解：正弦曲线y＝sinx上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象，
然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】根据题意，设圆台较小底面的半径为r，分析可得较大的底面的半径为2r，结合圆台的侧面积公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆台较小底面的半径为r，
由于圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，则较大的底面的半径为2r，
又由圆台的侧面积为36π，则有π（r+2r）l＝9rπ＝36π，
解可得r＝4．
故选：C．
【点评】本题考查圆台的结构特征，涉及圆台的侧面积计算，属于基础题．
6．（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（ ）
A．海里/小时B．海里/小时
C．海里/小时D．海里/小时
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
【解答】解：由题意知∠MPN＝75°+45°＝120°，∠PNM＝45°，
在△PMN中，由正弦定理，得MN＝64×＝32，
又由M到N所用时间为14﹣10＝4（小时），
所以船的航行速度v＝8（海里/时）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用，解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
7．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+12B．28C．D．
【分析】法一：过A作AE⊥A1B1，得A1E＝＝1，AE＝＝．连接AC，A1C1，过A作AG⊥A1C1，求出A1G＝，从而AG＝＝，由此能求出正四棱台的体积．
法二：由四棱台的几何特征算出几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式能求出结果．
【解答】解法一：如图ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．
在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E＝＝1，
AE＝＝＝．
连接AC，A1C1，
AC＝，A1C1＝＝4，
过A作AG⊥A1C1，A1G＝＝，
AG＝＝＝，
∴正四棱台的体积为：
V＝
＝
＝．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
∵该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
∴该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
则该棱台的体积为：
V＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
8．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足，，若AN，BM相交于点P，则cs∠MPN＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】以，为平面向量一组基底，将与用基底表示，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论．
【解答】解：由，，可得，，
所以＝＝，
＝，
又AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，
所以，
＝，
＝＝2，
＝＝，
故＝＝，
即cs∠MPN＝．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算及夹角公式，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知向量，，是与同向的单位向量，则（ ）
A．
B．与可以作为一组基底
C．
D．向量在向量上的投影向量为
【分析】由向量的模、投影向量及向量共线的坐标表示对每个选项逐一进行判断．
【解答】解：对于A，因为向量，，所以，
所以，故A错；
对于B，因为2×4≠﹣3×1，所以与不共线，所以与可以作为一组基底，故B对；
对于C，因为是与同向的单位向量，所以，故C对；
对于D，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为＝，故D对．
故选：BCD．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了投影向量，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n﹣3＝﹣i
C．若1+i是关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b∈R）的根，则1﹣i也是该方程的根
D．复数z满足|z﹣1|＝1，则|z﹣i|的最大值为
【分析】根据共轭复数的乘积是实数，判断选项A；
根据复数i的运算性质，求出i4n﹣3，即可判断选项B；
根据实系数一元二次方程有复数根，则它的两根为共轭复数，判断选项C；
根据绝对值不等式，求出|z﹣i|的最大值，判断选项D．
【解答】解：对于A，若z1，z2互为共轭复数，则z1z2＝＝为实数，选项A正确；
对于B，i为虚数单位，n为正整数，则i4n﹣3＝＝＝i，选项B错误；
对于C，1+i是实系数方程ax2+bx+2＝0的根，则它的共轭复数1﹣i也是该方程的根，选项C正确；
对于D，由1＝|z﹣1|＝|（z﹣i）+（i﹣1）|≥|z﹣i|﹣|i﹣1|，所以|z﹣i|≤1+|i﹣1|＝1+，所以|z﹣i|的最大值为1+，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
（多选）11．（6分）如图，正八面体E﹣ABCD﹣F的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则（ ）
A．正八面体E﹣ABCD﹣F的表面积为
B．正八面体E﹣ABCD﹣F的体积为
C．正八面体E﹣ABCD﹣F的外接球的表面积为8πcm2
D．正八面体E﹣ABCD﹣F的内切球的体积为
【分析】对于A：根据正八面体的表面是八个全等的等边三角形，根据三角形面积即可求解；
对于B：根据棱锥的体积公式求解即可；
对于C：根据OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，确定点O是正八面体的外接球的球心，即可求解；
对于D：设正八面体的内切球的半径为r，八个面的面积分别为Si（1≤i≤8，i∈Z），根据，即可求解．
【解答】解：对于A：设正八面体的表面积为S，
则，因此选项A正确；
对于B：记正方形ABCD的中心为O，易知EO⊥平面ABCD，
，
则，
故＝，因此选项B错误；
对于C：因为OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，
故点O是正八面体的外接球的球心，
则外接球表面积为，因此选项C正确；
对于D：设正八面体的内切球的半径为r，八个面的面积分别为Si（1≤i≤8，i∈Z），
则，
即，
解得，
则内切球体积为，因此选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝6，B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为 5 ．
【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出AB，即可求出边AB上的中线的实际长度．
【解答】解：由直观图得到：
其中AC＝6，BC＝2B′C′＝8，
∴AB＝＝10，
∴在直角△ABC中，斜边AB上的中线为＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形中位线的定理，考查斜二测法、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，3），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，若点O为坐标原点，则＝ 2 ．
【分析】由题意求得的坐标，再由计算即可求得．
【解答】解：由题可得：，
所以＝（1，3），
所以，
所以．
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202﹣1261）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是．现有△ABC满足，且△ABC的面积是，则△ABC的周长为 30+6 ．
【分析】由题意及正弦定理可得a，b，c的比值，设a，b，c，由三角形的面积公式，可得参数的值，即求出a，b，c的值，进而求出三角形的周长的大小．
【解答】解：由题意及正弦定理可得a：b：c＝2：3：，
设a＝2k，b＝3k，c＝k，k＞0，
由题意S＝＝54，
整理可得＝54，解得k＝6，
所以a＝12，b＝18，c＝6，
所以该三角形的周长a+b+c＝12+18+6＝30+6．
故答案为：30+6．
【点评】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求向量与的夹角θ．
【分析】（1）结合向量垂直的性质，即可求解；
（2）结合向量共线的性质，求出x，再结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：（1），，，
则，＝（1，5），
若，
则＝3+x+5＝0，解得x＝﹣8；
（2），
，
则3×（﹣2）＝2（x﹣8），解得x＝5，
故，，
＝3×5+2×（﹣1）＝13，
故csθ＝＝，
θ∈[0，π]，
则．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题．
16．（15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12．
（1）求圆锥PO的母线长；
（2）过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值．
【分析】（1）根据题意，设圆锥的高为h，由截面面积公式可得h的值，进而由圆锥的结构特征分析可得答案；
（2）根据题意，分析可得∠APB＞90°，结合三角形面积公式，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设圆锥的高为h，
若圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12，即S△PAB＝×PO×AB＝（2r×h）＝rh＝12，
解可得h＝3，
则其母线长l＝＝5；
（2）根据题意，由（1）的结论，由于AO＞PO，则∠APO＞45°，故∠APB＞90°，
当PB与PC垂直时，截面PBC面积最大，其最大值为×4×4＝8．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的截面计算，属于基础题．
17．（15分）（1）已知α，β都是锐角，，，求tan（α+2β）的值；
（2）已知，，求cs（α﹣β）的值．
【分析】（1）结合同角基本关系先求出tanβ，然后结合二倍角公式求tan2β，再由和差角公式即可求解；
（2）结合同角平方关系及和差角公式即可求解．
【解答】解：（1）∵α，β都是锐角，，，
所以csβ＝＝，tanβ＝，
所以tan2β＝＝＝，
tan（α+2β）＝＝＝1；
（2）因为，，
两边平方相加得，2+2csαcsβ+2sinαsinβ＝＝，
即2+2cs（α﹣β）＝，
cs（α﹣β）＝﹣．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的综合应用，属于中档题．
18．（17分）已知函数在区间上的最大值为6，
（1）求常数m的值；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求使f（x）＞5成立的x的取值集合．
【分析】（1）利用三角恒等变换将函数f（x）化简，利用整体思想即可求出其最大值，进而得出参数m的值；
（2）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解不等式即可得出所求的答案；
（3）将不等式转化为sin（2x+）＞，利用三角函数的图象与性质即可得出所求的答案．
【解答】解：（1）因为函数＝sin2x+cs2x+1+m＝2sin（2x+）+m+1，
所以令t＝2x+∈[，]，则sint∈[﹣，1]，所以f（x）的最大值为2+m+1＝6，即m＝3．
（2）由（1）知：f（x）＝2sin（2x+）+4，
令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．
（3）因为f（x）＞5等价于2sin（2x+）+4＞5，即sin（2x+）＞，
所以+2kπ＜x+＜2kπ+，k∈Z，
即2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，
所以使f（x）＞5成立的x的取值集合为（2kπ，+2kπ）（k∈Z）．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
19．（17分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2＝c2+ab．
（1）若c＝8，，D为边AB上的中点，求；
（2）若E为边AB上一点，且，，求2a+b的最小值．
【分析】（1）根据正弦定理算出csC＝，结合求得ab＝16，然后根据三角形中线的性质，利用平面向量的模的公式，结合向量数量积的运算性质求出||的值；
（2）由正弦定理与平面向量的线性运算法则，推导出（2a+b）＝2a+b，两边平方整理得＝，然后根据基本不等式求最值，计算出2a+b的最小值．
【解答】解：（1）由题意得a2+b2﹣c2＝ab，所以，
因为，所以＝8，解得ab＝16，可得a2+b2＝c2+ab＝80，
因为D为AB中点，所以，
可得||2＝（+）2＝（a2+b2+2abcsC）＝24，解得；
（2）因为E为AB上一点，且BE：AE＝2sinA：sinB＝2a：b，
所以，即（2a+b）＝2a+b，
两边平方得（2a+b）22＝（2a+b）2，
又因为||＝1，（2a+b）2＝4a2||2+4ab•+b2||2＝4a2b2+2a2b2+a2b2＝7a2b2，
所以（2a+b）2＝7a2b2，即2a+b＝ab，整理得＝，
所以2a+b＝（2a+b）（）＝（4+）≥（4+）＝，
当且仅当b＝2a，即时取等号．
综上所述，当时，2a+b的最小值为．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．