2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m∈R，n∈R，若集合{m,nm,1}={m2,m+n,0}，则m2023+n2023的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.已知命题p：任意x∈[1,2]，x2−a≥0，命题q：存在x0∈R,x02+2ax0+2−a=0，若“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. (−∞,1]
C. (−∞,−2]∪{1}D. (−2,1)∪(1,+∞)
3.设正实数x，y，z满足x2−xy+y2−z=0，则xyz的最大值为( )
A. 4B. 2C. 3D. 1
4.f(x)=2017x2−2018x+2019×2020，x∈[t,t+2].则当t变化时，f(x)max−f(x)min的最小值为( )
A. 2020B. 2019C. 2018D. 2017
5.已知函数f(x)=x|x−a|−b，其中a∈(0,3)，b∈R，若对任意x∈[0,1]，f(x)≤0恒成立，则a2+2b的最小值为( )
A. 32B. −32C. 18−12 2D. 18−10 2
6.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若DE⊥AC，则|DE|=( )
A. 52B. 2 3C. 3D. 2 2
7.已知函数f(x)定义域为(0,+∞)，f(1)=e，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，当x2>x1时，有f(x1)−f(x2)x1x2>ex2x1−ex1x2.若f(lna)>2e−alna，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,e)B. (e,+∞)C. (0,1)D. (1,e)
8.将函数f(x)=3cs(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x=π3对称，则下列结论正确的是( )
A. φ=π6B. g(x)是奇函数
C. g(x)在(−π6,π4)上单调递增D. g(0)=−3 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若|OC|=78，tan∠NCM=2，则( )
A. f(x)=sin(πx+π8)
B. f(x)的单调递增区间为[−58+k,38+k](k∈Z)
C. f(x)的图象关于点(58,0)对称
D. f(x)的图象关于直线x=−58对称
10.已知函数f(x)=[x+13]−[x3](x∈R，其中[x]表示不大于x的最大整数)，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)是周期函数
C. f(x)在[0,2)上单调递增D. f(x)的值域为{0,1}
11.在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有PB⋅PC≥P0B⋅P0C，则下列结论中正确的是( )
A. PB⋅PC=PD2−DB2B. 存在点P，使|PD|<|P0D|
C. P0C⋅AB=0D. AC=BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知S△ABC=3，点M是△ABC内一点且MA+2MB=CM，则△MBC的面积为______．
13.函数f(x)=32sin2x+1+83cs2x+2(x∈R)的最小值______．
14.已知x>1，y>1，a=lg2x，b=lg2 y，且1a+2b+2b+1=2，则xy2的最小值为______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=2，csB=35．
(1)若b=4，求sinA的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b,c的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=6sinaxcsax+2 3cs2ax− 3(a>0)的最小正周期为π．
(1)将f(x)化简成f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π3)的形式；
(2)设函数g(x)=f(x2)，求函数h(x)=g(x−π6)+g(5π6−x)在[π6,5π6]上的值域．
17.(本小题15分)
已知x∈R，我们定义函数f(x)表示不小于x的最小整数，例如：f(π)=4，f(−0.1)=0．
(1)若f(x)=2023，求实数x的取值范围；
(2)求函数g(x)=3+1ln( x+1)+1的值域，并求满足f(4x+f(x))=f(g(x))的实数x的取值范围．
18.(本小题17分)
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b−c)sinB+c(2sinC−sinB)．
(1)求A；
(2)点D在边BC上，且BD=3DC，AD=4，求△ABC面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为{m,nm,1}={m2,m+n,0}，
所以nm=0m=m+nm2=1，
解得m=1，n=0或m=−1，n=0，
当m=1时，不满足集合元素的互异性，
故m=−1，n=0，m2023+n2023=(−1)2023+02023=−1．
故选：B．
根据集合相等的定义求出m，n，即可得解．
本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题p为真时，a≤x2恒成立，即a≤(x2)min，
x∈[1,2]，∴(x2)min=1，则a≤1；
命题q为真时，Δ≥0，即4a2−4(2−a)≥0，解得：a≤−2或a≥1．
命题“p且q”是真命题时，可得a≤−2或a=1，
所以命题“p且q”是假命题时，可得a>−2且a≠1，
即a∈(−2,1)∪(1,+∞)．
故选：D．
首先分别求两个命题为真命题时a的取值范围，取其补集即可得答案．
本题考查复合命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为正实数x，y，z满足x2−xy+y2−z=0，
则xyz=xyx2−xy+y2=1xy+yx−1≤12 xy⋅yx−1=1，当且仅当x=y时取等号．
故选：D．
先把z=x2−xy+y2代入到所求式子，然后进行分离变形，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=2017x2−2018x+2019×2020，对称轴为x=10092017，
当t≥10092017，f(x)在[t,t+2]上单调递增，
所以f(x)max−f(x)min=f(t+2)−f(t)
=2017(t+2)2−2018(t+2)+2019×2020−2017t2+2018t−2019×2020
=4034t+4032≥6050；
当t+2≤10092017，即t≤−30252017时，f(x)在[t,t+2]上单调递减，
f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+2)
=−4034t−4032≥2018；
当t<10092017f(x)max−f(x)min=f(t+2)−f(10092017)>f(30262017)−f(10092017)，
无最小值；
当t+1≤10092017f(x)max−f(x)min=f(t)−f(10092017)≥f(−10082017)−f(10092017)=2017，
综上知，f(x)max−f(x)min的最小值为2017．
故选：D．
根据对称轴和区间的位置关系对t的值进行讨论，从而求出f(x)max−f(x)min，继而求出其最小值即可．
本题考查二次函数在动区间上的最值，考查了分类讨论思想，属于难题．
5.【答案】C
【解析】解：f(x)=x|x−a|−b=x2−ax−b,x≥a−x2+ax−b,x①当2≤a<3时，f(x)=−x2+ax−b，对称轴为x=a2≥1，
f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)max=f(1)=−1+a−b≤0，则b≥a−1，
所以a2+2b≥a2+2a−2≥22+2×2−2=6．
②当1≤a<2时，f(x)=−x2+ax−b，对称轴为x=a2<1，
f(x)在[0,a2)上递增，在(a2,1]上递减，
所以f(x)max=f(a2)=a24−b≤0，则b≥a24，
所以a2+2b≥32a2≥32．
③当0若x若x≥a，f(x)=x2−ax−b，f(x)max=f(1)=1−a−b．
当a24−b≥1−a−b时，−2+2 2≤a<1，f(x)max=f(a2)=a24−b≤0，
b≥a24，a2+2b≥32a2≥32(−2+2 2)2=18−12 2；
当a24−b<1−a−b时，0b≥1−a，a2+2b≥a2−2a+2>(−2+2 2)2−2×(−2+2 2)+2=18−12 2．
综上所述：a2+2b的最小值为18−12 2．
故选：C．
先按a的不同取值区间分类讨论f(x)在x∈[0,1]上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得a2+2b的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者即可．
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的垂直与数量积的关系、模的计算公式，属于基础题．
如图所示，建立直角坐标系．利用DE⊥AC，可得DE⋅AC=0，再利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．
则B(4,0)，E(2,0)．
设D(0,m)，(m>0)，C(4,m)．
∴DE=(2,−m)，AC=(4,m)．
∵DE⊥AC，
∴2×4−m2=0，
解得m2=8．
∴|DE|= 22+8=2 3．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知，当x2>x1>0时，有f(x1)−f(x2)x1x2>ex2x1−ex1x2，
即f(x1)+x1ex1>f(x2)+x2ex2，
令g(x)=f(x)+xex，则当x2>x1>0时，g(x1)>g(x2)，
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，
由f(1)=e，f(lna)>2e−alna可得f(lna)+(lna)×elna>f(1)+1×e1，
即g(lna)>g(1)，所以0故选：D．
根据题意，构造函数g(x)=f(x)+xex，即可得到函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：将函数f(x)=3cs(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向右平移π4个单位长度后，
得到函数g(x)=3cs(2x−π2+φ)=3sin(2x+φ)的图象．
若g(x)的图象关于直线x=π3对称，
则2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，求得φ=−π6，故g(x)=3sin(2x−π6)，故A、B错误．
在(−π6,π4)上，2x−π6∈(−π2,π3)，函数g(x)单调递增，故C正确．
由于g(0)=3sin(−π6)=−32，故D错误．
故选：C．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据已知函数f(x)的部分图象可得：A=1，
因为|MN|=1，tan∠NCM=2，所以|NC|=12×1=12，所以T4=2π4ω=12，即ω=π，
所以f(x)=sin(πx+φ)，
将C(78,0)代入y=f(x)解析式中得：sin(7π8+φ)=0，所以7π8+φ=kπ(k∈Z)，即φ=−7π8+kπ(k∈Z)，
因为|φ|<π2，所以φ=π8，所以f(x)=sin(πx+π8)，故A正确；
令−π2+2kπ≤πx+π8≤π2+2kπ(k∈Z)，得−58+2k≤x≤38+2k(k∈Z)，故B不正确；
因为f(58)=sin(5π8+π8)≠0，所以f(x)的图象不关于点(58,0)对称，故C不正确；
因为f(−58)=sin(−5π8+π8)=−1，所以f(x)的图象关于直线x=−58对称，故D正确．
故选：AD．
根据已知函数f(x)的部分图象可得A=1，再结合函数的周期可得ω=π，然后将C(78,0)代入求得φ=π8，即可求得函数f(x)的解析式，进而判断选项A的正误；利用三角函数的图象与性质求出函数f(x)的单调区间，即可判断选项B的正误；利用代入验证法判断函数的对称中心和对称轴即可判断选项C、D的正误．
本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和直观想象能力，属中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：由题意，[x]表示不大于x的最大整数，则[x+1]=[x]+1，
所以∀x∈R,f(x+3)=[x+3+13]−[x+33]=[x+13+1]−[x3+1]=[x+13]+1−([x3]+1)=[x+13]−[x3]=f(x)，
则函数f(x)是以3为周期的函数，
当x∈[0,2)时，f(x)=[x+13]−[x3]=0−0=0；
当x∈[2,3)时，f(x)=[x+13]−[x3]=1−0=1，
又f(x)是以3为周期的函数，则f(x)的值域为{0,1}，B和D均正确；
f(−1)=f(2)=1，f(1)=0，所以f(−1)≠−f(1)，故f(x)不是奇函数，A错误；
当x∈[0,2)时，f(x)=0，故f(x)在[0,2)上无单调性，C错误．
故选：BD．
结合已知定义，结合函数的奇偶性，单调性及周期性检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数的周期性，奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】
解：A：∵PB⋅PC=(PD+DB)⋅(PD+DC)=PD2−DB2，故A正确．
B：由A知，P0B⋅P0C=P0D2−DB2，又∵PB⋅PC≥P0B⋅P0C恒成立，
∴PD2≥P0D2，即|PD|≥|P0D|恒成立，∴B不正确．
C：由|PD|≥|P0D|恒成立，∴|P0D|是点D与直线AB上各点距离的最小值，
∴P0D⊥AB，∴P0D⋅AB=0，∴C正确．
D：取AB的中点为O，∵P0B=14AB，∴P0为OB中点，∴CO//P0D，
∴CO⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，∴AC=BC，∴D正确．
故选：ACD．
由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析4个命题得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
12.【答案】34
【解析】解：取AC的中点D，由MA+2MB=CM，得MA+MC=−2MB，即2MD=−2MB，
即MD=BM，可知点M为BD的中点，所以S△MBC=12S△BCD=14S△ABC=34．
故答案为：34．
根据题意，取AC的中点D，利用平面向量的线性运算法则判断出点M的位置，进而利用三角形面积公式算出△MBC的面积．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、三角形的面积公式及其性质等知识，属于基础题．
13.【答案】4913
【解析】解：f(x)=31+2sin2x+82+3cs2x
=96sin2x+3+166cs2x+4=(96sin2x+3+166cs2x+4)(6sin2x+3+6cs2x+4)×113
=113(25+9×6cs2x+46sin2x+3+16×6sin2x+36cs2x+4)≥113(25+2 9×16)=4913，
当且仅当9×6cs2x+46sin2x+3=16×6sin2x+36cs2x+4，即sin2x=37，cs2x=47时取等号．
故答案为：4913．
先对已知函数进行变形，然后结合乘1法及基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】4 2
【解析】解：根据b=lg2 y，可得lg2y=2b，所以lg2(xy2)=lg2x+2lg2y=a+4b，
由1a+2b+2b+1=2，得1a+2b+42b+2=2，结合x>1且y>1，可得a+2b>0，2b+2>0．
所以a+4b+2=(a+2b)+(2b+2)=12(1a+2b+42b+2)[(a+2b)+(2b+2)]=12[5+2b+2a+2b+4(a+2b)2b+2]≥12(5+2 4)=92．
当且仅当2b+2=2(a+2b)，即a=b=12时，等号成立．
因此，a+4b+2的最小值为92，可得lg2(xy2)=a+4b的最小值为52，xy2的最小值为252= 25=4 2．
故答案为：4 2．
根据题意，取对数得lg2(xy2)=a+4b，然后利用基本不等式与“1的代换”，算出a+4b+2的最小值为92，由此得出lg2(xy2)的最小值，进而可得xy2的最小值．
本题主要考查对数的运算法则、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)∵B为△ABC的内角，且csB=35，∴sinB=45，
∵a=2，b=4，
∴由正弦定理得：sinA=asinBb=2×454=25；
(Ⅱ)S△ABC=4=12×2c×45，∴c=5，
∴b= a2+c2−2ac·csB
= 4+25−2×2×5×35= 17．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(Ⅰ)先求出sinB=45，再利用正弦定理求sinA的值；
(Ⅱ)由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．
16.【答案】解：(1)f(x)=3sin2ax+2 3×1+cs2ax2− 3=3sin2ax+ 3cs2ax=2 3sin(2ax+π6)，
根据题意可得2π2a=π，解得a=1，
故f(x)=2 3sin(2x+π6)；
(2)由(1)知g(x)=2 3sin(x+π6)，
则h(x)=2 3sinx+2 3sin(π−x)=4 3sinx，
所以当x=π6或5π6时，h(x)取得最小值，最小值为2 3，
当x=π2时，h(x)取得最大值，最大值为4 3，
故h(x)在[π6,5π6]上的值域为[2 3,4 3]．
【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用周期性求解a=1，即可解答；
(2)利用诱导公式求得h(x)=4 3sinx，然后根据正弦函数性质求解值域即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换，以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由f(x)表示不小于x的最小整数，f(x)=2023，得2022所以实数x的取值范围是(2022,2023]；
(2)函数g(x)定义域为[0,+∞)，而函数y=ln( x+1)+1在[0,+∞)上单调递增，值域为[1,+∞)，
因此0<1ln( x+1)+1≤1，即3<3+1ln( x+1)+1≤4，
所以函数g(x)的值域为(3,4]，
显然x∈[0,+∞)，f(g(x))=4，
由f(4x+f(x))=f(g(x))，得f(4x+f(x))=4，
则有3<4x+f(x)≤4，而x=0时，不等式不成立，则f(x)>0，必有4x<4，即0因此f(x)=1，3<4x+1≤4，解得12所以实数x的取值范围(12,34]．
【解析】(1)由已知定义即可得x的范围；
(2)由已知结合基本初等函数的性质先求出g(x)的值域，再由已知建立不等式关系即可得关于x的不等式，即可求．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵2asinA=(2b−c)sinB+c(2sinC−sinB)，
∴2a2=(2b−c)b+(2c−b)c，即a2=b2+c2−bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=12，
∵A∈(0,π)．
∴A=π3；
(2)由题意得AD=AB+BD=AB+34BC=14AB+34AC，两边平方得16=116c2+916b2+38bccsπ3，
整理得256=c2+9b2+3bc≥9bc，
∴bc≤2569，当且仅当b=16 39，c=16 33时，等号成立，
∴S=12bcsinπ3≤12×2569× 32=64 39，
故△ABC面积的最大值为64 39．
【解析】(1)由正弦定理角化边，再结合余弦定理，即可得出答案；
(2)由向量建立等量关系，结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．