2023-2024学年贵州省贵阳市南明区部分学校高一（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市南明区部分学校高一（下）联考数学试卷（6月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=i(1−i)，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
2.设{e1,e2}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1−e2B. 3e1−e2和2e2−6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
3.已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π4，向量b满足b2−6b⋅e+8=0，则|a−b|的最小值是( )
A. 32 2−1B. 2+1C. 32 2+1D. 2− 2
4.a，b为不重合的直线，α，β为互不相同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若α/​/β，a⊂α，b⊂β，则a/​/bB. 若a/​/b，a/​/α，b/​/β，则α/​/β
C. 若a/​/b，b/​/α，则a/​/αD. 若a/​/α，b⊂α，则a/​/b或a与b异面
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若acsC+ccsA=a，则△ABC的形状一定( )
A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
6.下列说法不正确的是( )
A. 正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B. 棱台的各侧棱延长线必交于一点
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cs(A,B)=cs〈OA,OB〉，余弦距离为1−cs(A,B).已知P(csα,sinα)，Q(1,0)，若P，Q的余弦距离为3− 33.则sin(α−π2)=( )
A. 33B. 13C. − 33D. −13
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E在线段CD1上，则AE+B1E的最小值是( )
A. 4 3
B. 4 5
C. 4 6
D. 4 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题为( )
A. 复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0
B. 复数z=1−3i的共轭复数为z−=1+3i
C. 复数z=1−3i的虚部为−3
D. 复数 2z=1+i，则z2=i
10.已知a，b，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是( )
A. 一定存在实数x，y使得a=xb+yc成立
B. 若a⋅b=a⋅c且b=c，那么一定有a⊥(b−c)
C. 若(a−c)⊥(b−c)，那么|a−b|=|a+b−2c|
D. 若a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c，那么a，b，c一定相互平行
11.已知某市2017年到2022年常住人口(单位：万)变化图如图所示，则( )
A. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B. 该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若AB=3，AC=2CB，平面内一点P，满足PA⋅PC|PA|=PB⋅PC|PB|，sin∠PAB的最大值是______．
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(b2+c2−a2)sinC2bsinAcsC+c22b+c=0，a= 3，则b+c的取值范围是 ．
14.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
(i)写出该试验的样本空间Ω；
(ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
16.(本小题15分)
为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9．
(1)在这500个家庭中月均用水量在[7.5,8.5)内的家庭有多少户？
(2)求a，b的值；
(3)估计这500个家庭的月均用水量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
17.(本小题15分)
已知向量a=(x,2),b=(3,−1)．
(1)若(a−b)⊥(2a+b)，且x≠0，求向量a在向量b上的投影向量的坐标；
(2)若向量m=(8,2)，且(a+b)//m，求向量a,b夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b=2，ab= 33sinC+csC．
(1)求角B；
(2)若M是△ABC内的一动点，且满足BM=MA+MC，则|BM|是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若D是△ABC中AC上的一点，且满足BA⋅BD|BA|=BD⋅BC|BC|，求S△ABDS△BCD的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB= 3AA1，D为AB的中点．
(1)证明：AB⊥平面CC1D.
(2)求异面直线BC1与CD所成角的余弦值．
(3)在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求C1EED的值；若不存出在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵z=i(1−i)=1+i，
∴|z|= 12+12= 2
故选：B．
由复数代数形式的乘法运算化简，然后直接利用复数模的公式求复数z的模．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A，可设2e1+e2=λ(e1−e2)，可知λ=2且λ=−1，显然不成立，所以这两个向量可作为基底，
同理可知，C，D选项中的两个向量都可构成基底；
对于B，2e2−6e1=−2(3e1−e2)，所以这两个向量不构成基底．
故选：B．
当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可．
本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π4，
不妨设e=(1,0)，a=(x,y)，
又非零向量a与e的夹角为π4，
则y=x，
设b=(m,n)，
又向量b满足b2−6b⋅e+8=0，
则m2+n2−6m+8=0
即(m−3)2+n2=1，
又(3,0)到直线y=x的距离为|3−0| 2=3 22，
则|a−b|的最小值是3 22−1．
故选：A．
由平面向量数量积的运算，结合圆的性质及点到直线的距离公式求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了圆的性质及点到直线的距离公式，属中档题．
4.【答案】D
【解析】解：a，b为不重合的直线，α，β为互不相同的平面，
对于A，若α/​/β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故A错误；
对于B，若a/​/b，a/​/α，b/​/β，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若a/​/b，b/​/α，则a/​/α或a⊂α，故C错误；
对于D，若a/​/α，b⊂α，则由线面平行的性质得a/​/b或a与b异面，故D正确．
故选：D．
对于A，a与b平行或异面；对于B，α与β相交或平行；对于C，a/​/α或a⊂α；对于D，由线面平行的性质得a/​/b或a与b异面．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：acsC+ccsA=a，
由正弦定理得sinAcsC+sinCcsA=sinA，
即sin(A+C)=sinB=sinA，
又A，B为△ABC的内角，
所以A=B．
故选：A．
结合正弦定理，以及三角形内角和定理，即可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，A正确；
对于B，棱台的各侧棱延长线必交于一点，B正确；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，C错误；
对于D，由棱柱的定义，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，D正确．
故选：C．
根据题意，由棱锥、棱柱、棱台的结构特征依次分析选项，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，涉及棱锥的定义，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由P(csα,sinα)，Q(1,0)可得OP=(csα,sinα),OQ=(1,0)，
所以cs(P,Q)=csα cs2α+sin2α=csα，
则1−csα=3− 33=1− 33，
所以csα= 33，
故sin(α−π2)=−csα=− 33．
故选：C．
由已知定义，结合同角基本关系先求出csα，然后结合诱导公式进行化简即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了向量数量积的坐标表示，诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC，AD1，B1D1，B1C，将平面ACD1和平面B1CD1展开到同一平面，
连接AB1，交CD1于点M，
则AE+B1E≥AB1，
因为AB=4，所以AC=B1C=AD1=CD1=B1D1=4 2，
所以四边形ACB1D1为菱形，∠ACB1=∠ACD1+∠D1CB1=120°，
则AB1=4 2× 32×2=4 6．
故选：C．
连接AC，AD1，B1D1，B1C，将平面ACD1和平面B1CD1展开到同一平面，连接AB1求解即可．
本题考查利用展开法求线段和的最值问题，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类，共轭复数，复数的乘法与除法，属于基础题．
根据纯虚数的定义判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据虚部的定义判断C，根据复数的乘法与除法判断D．
【解答】
解：复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故A错误，
复数z=1−3i的共轭复数是z−=1+3i，故B正确，
复数z=1−3i的虚部为−3，故C正确，
复数 2z=1+i，则z= 22+ 22i，故z2=12+i−12=i，故D正确，
故选：BCD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
对于选项A，没有声明b和c不共线；
对于选项B，利用向量垂直的定义即可判断；
对于选项C，将|a+b−2c|变形成|(a−c)+(b−c)|，再平方后变形即可判断；
对于选项D，利用两向量垂直，则数量积等于零，可令b与c垂直，a与b垂直，即得到反例．
【解答】
解：对于选项A，当b与c共线，a与b不共线时，不存在x、y使得a=xb+yc成立，故A选项错误；
对于选项B，因为a⋅b=a⋅c，所以a⋅b−a⋅c=0，即a⋅(b−c)=0，
所以a⊥(b−c)，故B选项正确；
对于选项C，若(a−c)⊥(b−c)，则(a−c)⋅(b−c)=0，
因为|a+b−2c|=|(a−c)+(b−c)|，
所以(|(a−c)+(b−c)|)2=(a−c)2+(b−c)2+2(a−c)⋅(b−c)=a2+c2−2a⋅c+b2+c2−2b⋅c=(a2+b2−2a⋅b)+(2c2−2a⋅c−2b⋅c+2a⋅b)，
因为(a−c)⊥(b−c)，所以(a−c)⋅(b−c)=0，即c2−a⋅c−b⋅c+a⋅b=0，则2c2−2a⋅c−2b⋅c+2a⋅b=0，
又因为|a−b|2=a2+b2−2a⋅b，所以(|(a−c)+(b−c)|)2=|a−b|2，
所以|a−b|=|a+b−2c|，故C选项正确；
对于选项D，当b与c垂直，a与b垂直时，成立，但是a，b，c不相互平行，
故D选项错误．
故选BC．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：
698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，
则极差为736−698.12≈38万，故A正确；
对于B，由图可知该市2017年到2022年这6年的常住人口有增有减，故B错误；
对于C，6×0.6=3.6，∴第60百分数位为730.50万，故C正确；
对于D，平均数为16(698.12+703.54+730.51+703.09+732.20+736)≈717.24万，故D错误．
故选：AC．
由百分位数，极差和平均数的定义对选项一一判断即可得出答案．
本题考查百分位数、极差、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】12
【解析】解：如图，由向量的数量积定义和PA⋅PC|PA|=PB⋅PC|PB|可得，
|PC|cs〈PA,PC〉=|PC|cs〈PB,PC〉，
所以∠APC=∠BPC，由角平分线定理可得：PAPB=ACBC=2，
设PB=x，则PA=2x，由PA+PB>AB，PA−PB