2023-2024学年北京市日坛中学高二下学期第三次月考（6月）数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市日坛中学高二下学期第三次月考（6月）数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合M=x lgx>0，N={x|x2≤4}，则M∩N=
A. 1,2B. (1,2)C. [1,2)D. (1,2]
2.若a，b，c∈R且a>b>c，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−b>b−cB. a+b>2cC. ac>bcD. a2>b2>c2
3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=lgxB. y=x3C. y=x+1xD. y=2x+2−x
4.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为( )
A. 140种B. 98种C. 84种D. 49种
5.已知a=lg50.5,b=50.5,c=0.50.6，则( )
A. a6.设0A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小
7.从A,B,C,D这4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生(每人一本).如果甲不得A读物，则不同的分法种数为( )
A. 24B. 18C. 6D. 4
8.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=( )
A. ex+1B. ex−1C. e−x+1D. e−x−1
9.“a≤0”是“函数f(x)=ex−ax在区间(0,+∞)上为单调增函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)=x+1−1,x∈(−∞,0)ln(x+1),x∈[0,+∞),g(x)=x2−4x−4，设b∈R，若存在a∈R，使得f(a)+g=0，则实数b的取值范围是( )( )
A. [−1,5]B. (−∞,−1]∪[5,+∞)
C. [−1,+∞)D. (−∞,5]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数y= x+1+1x−1的定义域是 ．
12.若x+ax26的展开式中的常数项为30，则常数a的值为 ．
13.若函数f(x)=lg(x2−mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
14.已知函数fx=2xx≤1lgx−1x>1，则f(f(1))= ．
15.已知a，b为正实数，直线y=2x−a与曲线y=ln2x+b相切，则a与b满足的关系式为 ．2a+3b的最小值为 ．
16.已知函数fx=lnx,x≥1,x+a2,x<1,其中a∈R.若a=0，则函数fx的值域是 ；若函数y=fx−1有且仅有2个零点，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合A=x∣a−1≤x≤2a+1,B=x∣−2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=⌀这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题．
(1)当a=3时，求∁RA∩B；
(2)若______，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−sinx−ax2(a∈R)．
(1)若a=0，求fx在区间0,π2上的最小值和最大值；
(2)若a<12，求证：fx在x=0处取得极小值．
19.(本小题12分)
为方便A，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A，B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：50,60,60,70，70,80,80,90，90,100，整理得到如下频率分布直方图：
根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：
(1)从A地区随机抽取1名乘客，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；
(2)假设两地区乘客的评分相互独立，从A地区与B地区名随机抽取2名乘客，记事件C为“抽取的4名乘客中，至少有3名乘客的满意程度等级是满意或非常满意”，估计事件C的概率；
(3)设μ1为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，μ2为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，μ为从A，B两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较μ1−μ与μ2−μ的大小，并说明理由．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=mxlnx−x2+1(m∈R)．
(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，求m的取值范围；
(3)试比较ln4与 2的大小，并说明理由．
21.(本小题12分)
已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a,b,c,d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合a,b,c,d是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．
1分别判断集合2,4,6,8,10和集合1,2,3,5,8是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
2已知集合a1,a2,a3,a4,a5是“关联的”，且任取集合ai,aj⊆M，总存在M的关联子集A，使得ai,aj⊆A.若a13集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得x>n2−n+94．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】化简集合M，N，再求交集
【详解】∵M={x|x>1}，N={x|−2≤x≤2}，
∴M∩N={x|1故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】运用不等式的性质及特值法求解．
【详解】对于A，令，所以a−b=1,b−c=1，所以A不正确；
对于B，因为a>b>c，所以a>c,b>c，所以由不等式的可加性知：a+b>2c，所以 B正确；
对于C，令a=2,b=1,c=0，所以ac=bc=0，所以C不正确；
对于D，令a=1,b=0,c=−1，所以a2=1,b2=0,c2=1，所以D不正确．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题．
根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可．
【解答】
解：对于A：因为 y=lgx 的定义域为 0,+∞ ，所以不是奇函数，所以A错误；
对于B：令 fx=x3 ，则 f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x) ，所以是奇函数，
又在 0,+∞ 上单调递增，B正确；
对于C： y=x+1x 在 0,1 上递减，在 1,+∞ 上递增，所以C错误；
对于D：因为 fx=2x+2−x ， f−x=2−x+2x=fx ，所以是偶函数，所以D错误，
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】可以先算出甲，乙两位家长都参加的不同邀请方式，然后根据题意进行求解即可．
【详解】邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，一共有C96=9×8×73×2=84种方式，
邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长同时参加邀请的不同方法为：C74=7×6×53×2=35，
所以要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，邀请的不同方法为84−35=49，
故选：D
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．
利用指对数函数性质判断大小关系即可．
【解答】
解：由a=lg50.5即 a故选：A
6.【答案】B
【解析】【分析】先求期望，再求方差，根据函数单调性判断即可．
【详解】依题意可得E(ξ)=0×p3+1×3−2p3+2×p3=1，
所以D(ξ)=0−12×p3+1−12×3−2p3+2−12×p3=2p3，
因为y=23x在R上单调递增，所以D(ξ)在0,1上单调递增，
即当p在0,1内增大时，Dξ也增大．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，属于中档题．
按照 A 读物是否被选出来进行分类讨论即可．
【解答】
解：若 A 读物没被选出，则选出的 B,C,D 读物直接全排列分给 3 人，有 A33=6 种方法；
若 A 读物被选出，然后选其他的读物，有 C32 种，甲有 2 种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有 A22 种方法，共 2C32A22=12 种．
故一共有 18 种．
故选：B
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的对称变换和平移变换，是基础题．
首先求出与函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．
【解答】
解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e−x，
而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)的解析式为y=e−(x+1)=e−x−1，即f(x)=e−x−1．
故选D．
9.【答案】A
【解析】【分析】由函数f(x)=ex−ax在区间(0,+∞)上单增，得到f′(x)=ex−a≥0在区间(0,+∞)上恒成立，再分参求最值求出a的范围，再利用集合的包含关系即可判断．
【详解】解：若函数f(x)=ex−ax在区间(0,+∞)上为单调增函数，
则f′(x)=ex−a≥0在区间(0,+∞)上恒成立，
∴a≤(ex)min，x∈(0,+∞)，∴a≤1，
∵−∞,0为−∞,1的真子集，
∴a≤0是函数f(x)=ex−ax在区间(0,+∞)上为单调增函数的充分不必要条件，
故选：A．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的值域，已知函数值域求参，属于综合题．
根据题意，求得函数 fx 的值域为 [−1,+∞) ，结合题意转化为 −g(b)≥−1 ，列出不等式，即可求解．
【解答】
解：由题意，作出函数 y=fx 的图象，如图所示，
所以，当 x∈(−∞,0) 时， fx≥f−1=−1 ；
当 x∈[0,+∞) 时， f(x)⩾f(0)=0 ，可函数 fx 的值域为 [−1,+∞) ，
设 b∈R ，若存在 a∈R ，使得 f(a)+g(b)=0 成立，即 f(a)=−g(b) ，
只需 −g(b)⩾−1 ，即对于 b∈R ，满足 −b2+4b+4⩾−1 成立，即 b2−4b−5⩽0 ，
解得 −1≤b≤5 ，所以实数 b 的取值范围为 [−1,5] ．
故选：A．
11.【答案】−1,1∪1,+∞
【解析】【分析】根据函数的解析式，直接列不等式求解．
【详解】函数的定义域需满足x+1≥0x−1≠0，解得：x≥−1且x≠1，
所以函数的定义域是−1,1∪1,+∞．
故答案为：−1,1∪1,+∞
12.【答案】± 2
【解析】【分析】先求出展开式的通项，令x的指数位置等于0得k的值即可求出常数项，令常数项等于30，解方程即可求解．
【详解】x+ax26展开式的通项为Tk+1=C6kx6−kakx−2k=C6kakx6−3k，
令6−3k=0，可得k=2，
所以常数项为T3=C62a2x0=15a2=30，
解得：a=± 2，
故答案为：± 2．
13.【答案】(−2,2)
【解析】【分析】根据fx定义域为R得到x2−mx+1>0在R上恒成立，然后列不等式求解即可．
【详解】由题意得x2−mx+1>0在R上恒成立，所以Δ=m2−4<0，解得−2故答案为：−2,2．
14.【答案】0
【解析】【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果．
【详解】由题意，f(1)=21=2，∴ff1=f(2)=lg1=0．
故答案为：0
15.【答案】a+b=1；5+2 6
【解析】【分析】
本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．
【解答】
解：y=ln(2x+b)的导数为y′=22x+b，
由切线的方程y=2x−a可得切线的斜率为2，设切点坐标为x0,y0，
则2x0−a=ln2x0+b22x0+b=2，解得a+b=1，
∵a、b为正实数，
∴2a+3b=(a+b)(2a+3b)=2+3+2ba+3ab
≥5+2 2ba⋅3ab=5+2 6
当且仅当a= 63b，即a= 6−2，b=3− 6时，取得最小值5+2 6．
故答案为：a+b=1， 5+2 6．
16.【答案】[0,+∞) ； ； ； ； ；；(−2,0]
【解析】【分析】(1)由分段函数分别求值域即可；(2)易知在x<1和x≥1时，y=fx−1分别有一个零点，由二次函数的零点分布情况即可求解．
【详解】(1)a=0时，fx=lnx,x≥1x2,x<1,
当x≥1时，f(x)=lnx≥ln1=0，
当x<1时，f(x)=x2≥0，
综上：f(x)≥0，即函数fx的值域是[0,+∞)．
(2)y=fx−1=lnx−1,x≥1x+a2−1,x<1,
当x≥1时，令lnx−1=0，得x=e，
故在[1,+∞)上，函数y=fx−1有一个零点x=e，
当x<1时，设g(x)=x+a2−1，
由题意可知：g(x)=x+a2−1在(−∞,1)上有且仅有一个零点，
所以−a<1g(1)=0或g(1)<0，解得a=0或−2所以a的取值范围是(−2,0]．
故答案为：[0,+∞)；(−2,0]．
17.【答案】(1)当a=3时，A=x∣2≤x≤7，而B=x∣−2≤x≤4，
所以A∩B=x∣2≤x≤4，则∁RA∩B={x∣x<2或x>4}．
(2)选①：
因为A∪B=B，所以A⊆B，
当A=⌀时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A⊆B，则a<−2；
当A≠⌀时，a≥−2，由A⊆B得a−1≥−22a+1≤4，解得−1≤a≤32；
综上：a<−2或−1≤a≤32，即实数a的取值范围为−∞,−2∪−1,32；
选②：
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
当A=⌀时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足题意，则a<−2；
当A≠⌀时，a≥−2，则a−1≥−22a+1≤4，且不能同时取等号，解得−1≤a≤32；
综上：a<−2或−1≤a≤32，即实数a的取值范围为−∞,−2∪−1,32；
选③：
因为A∩B=⌀，
所以当A=⌀时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A∩B=⌀，则a<−2；
当A≠⌀时，a≥−2，由A∩B=⌀得2a+1<−2或a−1>4，解得a<−32或a>5，
又a≥−2，所以−2≤a<−32或a>5；
综上：a<−32或a>5，实数a的取值范围为−∞,−32∪5,+∞．

【解析】【分析】(1)利用集合的交并补运算即可得解；
(2)选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解．
18.【答案】解：(1)当a=0时， f(x)=ex−sin x ，则 f′(x)=ex−cs x ，
在 0,π2 上 f′(x)=ex−csx>0 ，即 fx 递增，
所以最小值为 f(0)=e0−sin 0=1 ，最大值为 f(π2)=eπ2−sin π2=eπ2−1 ．
(2)由题意 f′(x)=ex−cs x−2ax ，则 f′(0)=e0−cs 0−0=0 ，
令 g(x)=ex−csx−2ax ，则 g′(x)=ex+sinx−2a ，且 a<12 ．
所以 g′(0)=e0+sin0−2a=1−2a>0 ，即 f′(x) 在 x=0 处有递增趋势，
综上，若 Δx>0 且 Δx 无限趋向于0，
在 x∈(−Δx,0) 上 f′(x)<0 ， fx 递减，
在 x∈(0,Δx) 上 f′(x)>0 ， fx 递增，
所以 fx 在 x=0 处取得极小值．

【解析】【分析】(1)利用导数研究 f(x)=ex−sinx 在 0,π2 上的单调性，即可求最值；
(2)由题设 f′(x)=ex−csx−2ax ，易得 f′(0)=0 ，构造 g(x)=ex−csx−2ax 利用导数可得 g′(0)>0 ，得到 f′(x) 在 x=0 处有递增趋势，即可证结论.【详解】
19.【答案】(1)由频率分布直方图知，0.005+0.015+0.03+0.03+a×10=1，解得a=0.02，
则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.02×10=0.2；
(2)从A地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为0.03+0.03+0.02×10=0.8；
从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为0.03+0.02+0.015×10=0.65；
则PC=0.82×0.652+2×0.2×0.8×0.652+2×0.35×0.65×0.82=0.6968；
(3)μ1−μ=μ2−μ，理由如下：μ1=55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.3+95×0.2=79.5，
μ2=55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15=75，
因为A，B两地区人数比为1:1，则μ=12μ1+12μ2=77.25，
则μ1−μ=2.25，μ2−μ=2.25，则μ1−μ=μ2−μ．

【解析】【分析】(1)先由频率和为1解出a=0.02，再求是非常满意的概率即可；
(2)分别求出A，B地区满意或非常满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可；
(3)由频率分布直方图求得μ1,μ2，进而求出μ，计算求解即可．
20.【答案】解：(1)当 m=1 时， f(x)=xln x−x2+1 ，
∴f′x=lnx+1−2x ，
所以曲线 fx 在点 1,f1 处切线的斜率 k=f′(1)=−1 ，又 f1=0 ，
所以曲线 fx 在点 1,f1 处切线的方程为 y=−x−1 即 x+y−1=0 ．
(2) fx≤0 在区间 1,+∞ 上恒成立，即 mxlnx−x2+1≤0 ，对 ∀x∈1,+∞ ，
即 mlnx−x+1x≤0 ，对 ∀x∈1,+∞ ，
令 gx=mlnx−x+1x ，只需 g(x)max⩽0 ，
g′(x)=mx−1−1x2=−x2+mx−1x2 ， x∈1,+∞ ，
当 m≤0 时，有 mx≤0 ，则 g′x<0 ，
∴gx 在 1,+∞ 上单调递减，
∴gx≤g1=0 符合题意，
当 m>0 时，令 h(x)=−x2+mx−1 ，
其对应方程 −x2+mx−1=0 的判别式 Δ=m2−4 ，
若 Δ≤0 即 0∴gx 在 1,+∞ 上单调递减，
∴gx≤g1=0 符合题意，
若 Δ>0 即 m>2 时， hx=−x2+mx−1 ，对称轴 x=m2>1 ，又 h1=m−2>0 ，
方程 −x2+mx−1=0 的大于1的根为 x0=m+ m2−42 ，
∴x∈1,x0 ， hx>0 ，即 g′x>0 ，
x∈x0,+∞ ， hx<0 ，即 g′x<0 ，
所以函数 gx 在 1,x0 上单调递增， ∴gx>g1=0 ，不合题意．
综上， fx≤0 在区间 1,+∞ 上恒成立，实数 m 的取值范围为 −∞,2 ．
(3)由(2)知，当 m=2 时， fx≤0 ，在区间 1,+∞ 上恒成立，
即 2xlnx≤x2−1 ，对 ∀x∈1,+∞ ，
取 x= 2 代入上式得 2 2ln 2<1 ，化简得 ln4< 2 ．

【解析】本题考查利用导数求曲线上一点的切线方程，研究恒成立问题，证明不等式，属于综合题.(1)根据导数的几何意义即可求解；
(2)将 fx≤0 在区间 1,+∞ 上恒成立，转化为 mlnx−x+1x≤0 ，令 gx=mlnx−x+1x ，问题转化为 gxmax≤0 ，利用导数求函数 gxmax 即可得解；
(3)由(2)知， m=2 时， fx≤0 在区间 1,+∞ 上恒成立，取 x= 2 ，可得解．
21.【答案】解：12,4,6,8,10是“关联的”关联子集有2,4,6,8,4,6,8,10,2,4,8,10;
1,2,3,5,8是“独立的”
2记集合M的含有四个元素的集合分别为：
A1=a2,a3,a4,a5，A2=a1,a3,a4,a5，A3=a1,a2,a4,a5，A4=a1,a2,a3,a5，
A5=a1,a2,a3,a4．
所以，M至多有5个“关联子集”．
若A2=a1,a3,a4,a5为“关联子集”，则A1=a2,a3,a4,a5不是“关联子集”，否则a1=a2
同理可得若A2=a1,a3,a4,a5为“关联子集”，则A3,A4不是“关联子集”．
所以集合M没有同时含有元素a2,a5的“关联子集”，与已知矛盾．
所以A2=a1,a3,a4,a5一定不是“关联子集”
同理A4=a1,a2,a3,a5一定不是“关联子集”．
所以集合M的“关联子集”至多为A1,A3,A5．
若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3,a5的“关联子集”，与已知矛盾；
若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1,a5的“关联子集”，与已知矛盾；
若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1,a3的“关联子集”，与已知矛盾；
所以A1,A3,A5都是“关联子集”
所以有a2+a5=a3+a4，即a5−a4=a3−a2
a1+a5=a2+a4，即a5−a4=a2−a1．
a1+a4=a2+a3，即a4−a3=a2−a1，
所以a5−a4=a4−a3=a3−a2=a2−a1．
所以a1,a2,a3,a4,a5是等差数列．
3不妨设集合M=a1,a2,⋅⋅⋅,an(n≥5)，ai∈N*,i=1,2,...,n，且a1记T=tt=ai+aj,1因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好有Cn2=nn−12个元素．
假设结论错误，即不存在x∈M，使得x>n2−n+94
所以任取x∈M，x≤n2−n+94，因为x∈N*，所以x≤n2−n+84
所以ai+aj≤n2−n+84+n2−n+84−1=n2−n+82−1=n2−n2+3
所以任取t∈T，t≤n2−n2+3
任取t∈T,t≥1+2=3，
所以T⊆3,4,⋅⋅⋅,n2−n2+3，且T中含有Cn2=nn−12个元素．
(i)若3∈T，则必有a1=1,a2=2成立．
因为n≥5，所以一定有an−an−1>a2−a1成立.所以an−an−1≥2．
所以an+an−1≤n2−n+84+n2−n+84−2=n2−n2+2
T=t3≤t≤n2−n2+2,t∈N*，an=n2−n+84，an−1=n2−n+84−2
所以4∈T，所以a3=3，an+a1=an−1+a3有矛盾，
(ii)若3∉T，T⊆3,4,⋅⋅⋅,n2−n2+3
而T中含有Cn2=nn−12个元素，所以T=t4≤t≤n2−n2+3,t∈N*
所以an=n2−n+84，an−1=n2−n+84−1
因为4∈T，所以a1=1,a2=3．
因为n2−n2+2∈T，所以n2−n2+2=an−2+an
所以an−2=n2−n+84−2
所以an+a1=an−2+a3，矛盾．
所以命题成立．

【解析】【分析】(1)根据题中所给的新定义，即可求解；
(2)根据题意，A1=a2,a3,a4,a5，A2=a1,a3,a4,a5，A3=a1,a2,a4,a5，A4=a1,a2,a3,a5，A5=a1,a2,a3,a4，进而利用反证法求解；
(3)不妨设集合M=a1,a2,⋅⋅⋅,an(n≥5)，ai∈N*,i=1,2,...,n，且a1记T=tt=ai+aj,1【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题．
ξ
0
1
2
P
p3
3−2p3
p3
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