北师大版四年级数学上册第二单元“线”篇【十一大考点】(原卷版+解析)

这是一份北师大版四年级数学上册第二单元“线”篇【十一大考点】(原卷版+解析)，共46页。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。
4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！
101数学工作室
2023年9月1日
2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列
第二单元“线”篇【十一大考点】
（原卷版）
专题解读
本专题是第二单元“线”篇。本部分内容主要是三种线的认识、判断、画法，数线段的方法与实际应用，平行与垂直的认识、应用及画法，部分考点和题型难度偏大，一共划分为十一个考点，建议作为本章核心内容进行讲解，欢迎使用。
目录导航
目录TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc6867" 【考点一】认识三线：“线段、射线和直线” PAGEREF _Tc6867 \h 3
\l "_Tc19899" 【考点二】线段的性质 PAGEREF _Tc19899 \h 4
\l "_Tc29034" 【考点三】画线段、射线和直线 PAGEREF _Tc29034 \h 5
\l "_Tc8858" 【考点四】数线段、射线和直线 PAGEREF _Tc8858 \h 7
\l "_Tc1533" 【考点五】数线段其一 PAGEREF _Tc1533 \h 8
\l "_Tc21484" 【考点六】数线段其二 PAGEREF _Tc21484 \h 9
\l "_Tc11014" 【考点七】线段与实际应用 PAGEREF _Tc11014 \h 10
\l "_Tc10102" 【考点八】平行与垂直 PAGEREF _Tc10102 \h 11
\l "_Tc8095" 【考点九】数平行线与垂线 PAGEREF _Tc8095 \h 13
\l "_Tc22185" 【考点十】画平行线与垂线 PAGEREF _Tc22185 \h 14
\l "_Tc23341" 【考点十一】垂线的应用：修路问题 PAGEREF _Tc23341 \h 15
典型例题
【考点一】认识三线：“线段、射线和直线”。
【方法点拨】
【典型例题1】
下面的图形中，直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填序号）

【典型例题2】
手电筒发出的光束，舞台上的光束，都给人一种( )的形象。
【对应练习1】
在每个图形下面的括号里填上“直线”“射线”或“线段”。三者都不是的，就在括号里画“×”。

( ) ( ) ( )
【对应练习2】
下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。
①②③④⑤⑥
【对应练习3】
上图中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。
【考点二】线段的性质。
【方法点拨】
两点之间线段最短。
【典型例题】
学校进行安全疏散演练，小维要尽快到达安全区域（如图），他选择了A路线，主要是根据“两点间所有连线中( )最短”的原理。
【对应练习1】
从甲地到乙地有4条路（如图），走( )号路线最近。
【对应练习2】
下图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线，推荐第( )条，请用数学语言说明理由：( )。
【对应练习3】
图中A、B两点之间的距离是( )厘米。
【考点三】画线段、射线和直线。
【方法点拨】
过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，从一点出发可以画两条射线。
【典型例题1】
画出线段AB和射线BC。
【对应练习1】
画出直线AC，画出射线CB。
【对应练习2】
按要求画一画。

（1）画出直线AB。
（2）画出射线AC。
（3）画出线段BD。
【对应练习3】
按要求画一画。
（1）画出直线AB；
（2）画出射线BC；
（3）画出线段AC。
【典型例题2】
经过下面两点画一条射线AB，并在这条射线上截取一条长3厘米的线段AO。
【对应练习1】
画一条直线，在直线上截取一条3厘米长的线段AB。
【对应练习2】
画射线AB，在射线上截取一段2厘米长的线段。
【对应练习3】
以A为端点画一条射线，然后在这条射线上截取一段3厘米长的线段，并用字母表示。
【考点四】数线段、射线和直线。
【方法点拨】
1.两个端点构成一条线段；一个端点引出两条射线；直线没有端点。
2.简单的数线段、射线和直线可以采用画图的方法解决，注意不要漏数。
【典型例题】
数一数，下图中有( )条射线，有( )条直线，有( )条线段。
【对应练习1】
下图中有( )条射线，( )条线段。
【对应练习2】
如图，直线AB上共有( )条线段，( )条射线。
【对应练习3】
下图中一共有( )条直线，( )条线段，( )条射线。
【考点五】数线段其一。
【方法点拨】
【方法点拨】
数线段主要通过以下几个方法进行：
1.方法一：定义法。
两个端点构成一条线段，通过定义找线段。
2.方法二：画图法。
通过简单的连线画图来数线段。
3.方法三：公式法。
（1）加法公式
首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3++（n-1），其中n代表端点数量。
（2）乘法公式：
n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。
【典型例题】
下面的图形中，我找到的线段分别是：( )。
【对应练习1】
图中有( )条线段。
【对应练习2】
2个点可以连成( )条线段，3个点可以连成( )条线段，10个点可以连成( )条线段。
【对应练习3】
数出下图中共有多少条线段？
【考点六】数线段其二。
【方法点拨】
数线段主要通过以下几个方法进行：
1.方法一：定义法。
两个端点构成一条线段，通过定义找线段。
2.方法二：画图法。
通过简单的连线画图来数线段。
3.方法三：公式法。
（1）加法公式
首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3++（n-1），其中n代表端点数量。
（2）乘法公式：
n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。
【典型例题】
下图中一共有( )条线段。
【对应练习1】
数一数，下图中有多少条线段？
（1）
( )条
（2）
( )条
【对应练习2】
数一数，下图中一共有多少条线段？
【考点七】线段与实际应用。
【方法点拨】
线段与实际问题的结合，需要熟练掌握数线段的方法。
【典型例题】
从武汉到广州的铁路上共有大小车站8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？
【对应练习1】
往返于济南和青岛之间的高速列车沿途要停靠淄博、潍坊两站，铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
【对应练习2】
中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到中老铁路的磨丁至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种不同的车票？
【对应练习3】
从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路上要准备多少种不同的车票才能满足甲市到乙市途中所以乘客的需求？
【考点八】平行与垂直。
【方法点拨】
1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。
2.平行：
在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。
平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。
3.垂直：
如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。
【典型例题1】认识平行与垂直。
下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。

【对应练习1】
下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。
【对应练习2】
下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。
两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。
【对应练习3】
如图各组直线、是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。
( ) ( ) ( ) ( )
【典型例题2】判断平行与垂直。
下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。
【对应练习1】
如下图。直线和( )互相平行，直线c和( )互相垂直，是( )。
【对应练习2】
观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。
a( )c b( )c a( )b
【对应练习3】
图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。
【考点九】数平行线与垂线。
【方法点拨】
熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。
【典型例题】
下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。
【对应练习1】
有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线c相交的直线有( )条。
【对应练习2】
如图里有( )条线段与AB垂直，有( )条线段与CD平行。如图中一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。
【对应练习3】
图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。
【考点十】画平行线与垂线。
【方法点拨】
画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。
【典型例题】
过P点作OA的平行线，作OB的垂直线。

【对应练习1】
过点作直线的垂线和平行线。

【对应练习2】
过点A作已知直线的平行线和垂线。
【对应练习3】
过点O画AB的平行线和垂线。
【考点十一】垂线的应用：修路问题。
【方法点拨】
从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的（ ）。
【典型例题】
爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。

【对应练习1】
甲村要修一条路与公路连接。请你帮忙设计一下，怎样修路最省钱？画一画。
【对应练习2】
如图，一头牛在点A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边最短的路线，在图中画出来。

【对应练习3】
甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。
篇首寄语
我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？在结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。
《2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。
4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！
101数学工作室
2023年9月1日
2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列
第二单元“线”篇【十一大考点】
（解析版）
专题解读
本专题是第二单元“线”篇。本部分内容主要是三种线的认识、判断、画法，数线段的方法与实际应用，平行与垂直的认识、应用及画法，部分考点和题型难度偏大，一共划分为十一个考点，建议作为本章核心内容进行讲解，欢迎使用。
目录导航
目录TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc31032" 【考点一】认识三线：“线段、射线和直线” PAGEREF _Tc31032 \h 3
\l "_Tc8857" 【考点二】线段的性质 PAGEREF _Tc8857 \h 5
\l "_Tc21164" 【考点三】画线段、射线和直线 PAGEREF _Tc21164 \h 7
\l "_Tc20291" 【考点四】数线段、射线和直线 PAGEREF _Tc20291 \h 11
\l "_Tc16064" 【考点五】数线段其一 PAGEREF _Tc16064 \h 13
\l "_Tc23921" 【考点六】数线段其二 PAGEREF _Tc23921 \h 14
\l "_Tc8980" 【考点七】线段与实际应用 PAGEREF _Tc8980 \h 15
\l "_Tc29046" 【考点八】平行与垂直 PAGEREF _Tc29046 \h 17
\l "_Tc23322" 【考点九】数平行线与垂线 PAGEREF _Tc23322 \h 21
\l "_Tc18371" 【考点十】画平行线与垂线 PAGEREF _Tc18371 \h 24
\l "_Tc19772" 【考点十一】垂线的应用：修路问题 PAGEREF _Tc19772 \h 27
典型例题
【考点一】认识三线：“线段、射线和直线”。
【方法点拨】
【典型例题1】
下面的图形中，直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填序号）

【答案】 ②⑥ ③ ④
【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度；
射线1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度；
线段2个端点，不能延伸，可以测量长度，依此解答即可。
【详解】根据分析图中，②⑥没有端点，属于直线；
③有1个端点，属于射线；
④线段2个端点，属于线段；
所以，直线有②⑥，射线有③，线段有④。
【点睛】根据直线、射线和线段的特征作答即可。
【典型例题2】
手电筒发出的光束，舞台上的光束，都给人一种( )的形象。
解析：射线
【对应练习1】
在每个图形下面的括号里填上“直线”“射线”或“线段”。三者都不是的，就在括号里画“×”。

( ) ( ) ( )
【答案】 射线 × 线段
【分析】根据直线、线段和射线的含义：直线无端点，无限长，不可以度量；射线有一个端点，无限长，不可以度量；线段两头都有端点，有限长，可以度量；进行解答。
【详解】（射线）
（×）
（线段）
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，应熟练掌握。
【对应练习2】
下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。
①②③④⑤⑥
【答案】 ③ ②⑥ ④
【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此特征判断。
【详解】下面（③）是线段，（②⑥）是射线，（④）是直线。
①②③④⑤⑥
【点睛】此题主要考查直线、射线和线段的特征。
【对应练习3】
上图中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。
【答案】 ① ② ③
【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此解答。
【详解】
图中，（①）是直线，（②）是线段，（③）是射线。
【点睛】本题主要考查了直线、射线及线段的特征。
【考点二】线段的性质。
【方法点拨】
两点之间线段最短。
【典型例题】
学校进行安全疏散演练，小维要尽快到达安全区域（如图），他选择了A路线，主要是根据“两点间所有连线中( )最短”的原理。
【答案】线段
【分析】根据两点间所有连线中线段最短，解答此题即可。
【详解】两点间所有连线中线段最短，即他选择了A路线，主要是根据“两点间所有连线中线段最短”的原理。
【点睛】熟练掌握两点间所有连线中线段最短的知识，是解答此题的关键。
【对应练习1】
从甲地到乙地有4条路（如图），走( )号路线最近。
【答案】②
【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，据此解答即可。
【详解】根据两点之间线段最短可知，从甲地到乙地有4条路（如图），走②号路线最近。
【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。
【对应练习2】
下图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线，推荐第( )条，请用数学语言说明理由：( )。
【答案】 ② 两点之间线段最短
【分析】两点之间的距离，线段最短；一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段，线段有两个端点，依此选择。
【详解】推荐第②条，理由是：两点之间线段最短。
【点睛】此题考查的是两点间的距离线段最短，应熟练掌握。
【对应练习3】
图中A、B两点之间的距离是( )厘米。
【答案】4
【分析】两点之间线段最短，测量两点之间的距离，应测量两点之间的线段长。
【详解】图中A、B两点之间的距离是（4）厘米。
【点睛】本题考查长度的测量方法，注意不是从0刻度开始的，需要两段刻度相减求差算长度。
【考点三】画线段、射线和直线。
【方法点拨】
过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，从一点出发可以画两条射线。
【典型例题1】
画出线段AB和射线BC。
【答案】见详解
【分析】线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短。射线：把线段的一端无限延长，得到一条射线。根据线段和射线的定义，画出线段和射线即可；据此作图。
【详解】如图：
【点睛】熟练掌握线段、射线的画法，是解答此题的关键。
【对应练习1】
画出直线AC，画出射线CB。
【答案】见详解
【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以测量；射线有一端有端点，另一端可无限延长，不可以测量；连接AC并向两端延长，即可画出直线AC；射线CB，那么端点是点C，连接CB并向B点的一端延长，即可画出射线CB。
【详解】作图如下：
【点睛】本题考查了直线和射线的特征及画法。
【对应练习2】
按要求画一画。

（1）画出直线AB。
（2）画出射线AC。
（3）画出线段BD。
【答案】见详解
【分析】直线没有端点，直线AB就是A点和B点都要出头；射线有一个端点，射线AC的端点是A点，C点出头；线段有两个端点，B点和D点都是端点。据此解答。
【详解】
【点睛】本题主要考查直线、射线和线段的特征，属于基础知识，要熟练掌握。
【对应练习3】
按要求画一画。
（1）画出直线AB；
（2）画出射线BC；
（3）画出线段AC。
【答案】见详解
【分析】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过A点和B点画一条直的线即可得到直线AB。
（2）射线只有一个端点，因此以点B为端点过C点画一条直的线即可得到一条射线BC。
（3）线段有两个端点，因此用直尺连接A、C两个点即可得到线段AC，依此画图即可。
【详解】（1）、（2）、（3）画图如下：
【点睛】熟练掌握直线、射线、线段的特点，是解答此题的关键。
【典型例题2】
经过下面两点画一条射线AB，并在这条射线上截取一条长3厘米的线段AO。
【答案】见详解
【分析】以A点为端点，画一条穿过B点的线，这条线就是射线AB，再将直尺的0刻度对齐A点，直尺刻度3的地方点一个点，这个点就是O点，所截取的线段就是长3厘米的线段AO。
【详解】
【点睛】本题主要考查学生对直线、射线和线段的掌握。解决此题时要注意射线AB的端点是哪个点。
【对应练习1】
画一条直线，在直线上截取一条3厘米长的线段AB。
【答案】见详解
【分析】用直尺画出任意直线，再在直线上任取一点为A，以A为端点在直线上量出3厘米并在直线上标出点B即可。
【详解】如图：
【点睛】本题主要考查直线及线段的画法。
【对应练习2】
画射线AB，在射线上截取一段2厘米长的线段。
【答案】见详解
【分析】以A为端点向右画一条直线就是一条射线AB，然后在射线AB上截取2厘米长的线段AC即可。
【详解】如图所示：
【点睛】本题主要考查学生对射线和线段的定义的掌握和动手画图的能力。
【对应练习3】
以A为端点画一条射线，然后在这条射线上截取一段3厘米长的线段，并用字母表示。
【答案】见详解
【分析】以A为端点向右延长画一条射线，再截取3厘米长的线段即可。
【详解】根据分析画出线段AB＝3厘米：
【点睛】本题主要考查了射线和线段的定义。
【考点四】数线段、射线和直线。
【方法点拨】
1.两个端点构成一条线段；一个端点引出两条射线；直线没有端点。
2.简单的数线段、射线和直线可以采用画图的方法解决，注意不要漏数。
【典型例题】
数一数，下图中有( )条射线，有( )条直线，有( )条线段。
【答案】 4 1 1
【分析】根据直线、射线和线段的特点：直线无端点，无限长，不可以度量；射线有一个端点，无限长，不可以度量；线段有两个端点，有限长，可以度量；进行解答即可。
【详解】图中有4条射线，有1条直线，有1条线段。
【点睛】本题主要考查射线、线段和直线的特点。注意观察，不能多数、漏数。
【对应练习1】
下图中有( )条射线，( )条线段。
【答案】 6 3
【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此解答。
【详解】上图中有6条射线，3条线段。
【点睛】本题考查了直线、射线及线段的特征。
【对应练习2】
如图，直线AB上共有( )条线段，( )条射线。
【答案】 6 8
【分析】由题目可知，从短到长，线段共有（3＋2＋1）条，每个端点发出两条射线，所以共8条射线，即可解题。
【详解】由分析可知：
3＋2＋1＝6（条）
所以直线AB上共有6条线段，8条射线。
【点睛】此题主要考查了线段和射线的定义，要熟练掌握。
【对应练习3】
下图中一共有( )条直线，( )条线段，( )条射线。
【答案】 1 10 10
【分析】线段有两个端点，有长度，可以测量；射线有一个端点，无限长，不可测量；直线无端点，无限长，不可测量；根据线段、射线、直线的特点，进行解答即可。
【详解】由直线的特征可知，图中只有1条直线；
以A、B、C、D、E中的任意一点都可以与其他一点组成一条线段，但是每条线段都被重复计算了一次，所以要除以2。一共可以组成4×5÷2＝20÷2＝10（条）线段；
由射线的特点可知，A、B、C、D、E五个点，每个点都可以发出两条射线，一共有2×5＝10（条）射线。
【点睛】本题考查线段、射线、直线的特征，在计算线段条数时，要注意灵活运用握手问题解决方法。
【考点五】数线段其一。
【方法点拨】
【方法点拨】
数线段主要通过以下几个方法进行：
1.方法一：定义法。
两个端点构成一条线段，通过定义找线段。
2.方法二：画图法。
通过简单的连线画图来数线段。
3.方法三：公式法。
（1）加法公式
首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3++（n-1），其中n代表端点数量。
（2）乘法公式：
n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。
【典型例题】
下面的图形中，我找到的线段分别是：( )。
解析：AB；AC；AD；BC；BD；CD
【对应练习1】
图中有( )条线段。
解析：10
【对应练习2】
2个点可以连成( )条线段，3个点可以连成( )条线段，10个点可以连成( )条线段。
解析：1；3；45
【对应练习3】
数出下图中共有多少条线段？
解析：
（条）
答：图中共有15条线段。
【考点六】数线段其二。
【方法点拨】
数线段主要通过以下几个方法进行：
1.方法一：定义法。
两个端点构成一条线段，通过定义找线段。
2.方法二：画图法。
通过简单的连线画图来数线段。
3.方法三：公式法。
（1）加法公式
首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3++（n-1），其中n代表端点数量。
（2）乘法公式：
n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。
【典型例题】
下图中一共有( )条线段。
解析：6
【对应练习1】
数一数，下图中有多少条线段？
（1）
( )条
（2）
( )条
解析：9；19
【对应练习2】
数一数，下图中一共有多少条线段？
解析：（1+2+3）×3=18（条）
【考点七】线段与实际应用。
【方法点拨】
线段与实际问题的结合，需要熟练掌握数线段的方法。
【典型例题】
从武汉到广州的铁路上共有大小车站8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？
解析：
将这8个车站看成在一条直线上的8个点，如图：
根据数线段的方法，可知有28种不同的票价，但每种票价对应两种不同的车票，例如：从武汉→A与A→武汉距离一样，但车票应不同。
1+2+3+4+5+6+7=28（条）
28×2=56（种）
答：准备56种不同的车票。
【对应练习1】
往返于济南和青岛之间的高速列车沿途要停靠淄博、潍坊两站，铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
解析：
(3＋2＋1)×2=12(种)
答：铁路部门要为这趟车准备12种车票。
【对应练习2】
中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到中老铁路的磨丁至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种不同的车票？
解析：
5＋4＋3＋2＋1
＝9＋3＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1
＝15（种）
答：这一段铁路单程需要准备15种不同的车票。
【对应练习3】
从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路上要准备多少种不同的车票才能满足甲市到乙市途中所以乘客的需求？
解析：
8个站点，共有8×（8-1）÷2=28（条）线路，从甲市到乙市需要准备28种不同的车票。
【考点八】平行与垂直。
【方法点拨】
1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。
2.平行：
在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。
平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。
3.垂直：
如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。
【典型例题1】认识平行与垂直。
下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。

【答案】 ②④ ③⑥
【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的有③⑥。
【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。
【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。
【对应练习1】
下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。
【答案】 ④ ①⑤
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。既不互相平行也不互相垂直的两条直线就相交。据此解答即可。
【详解】上面图形中，互相平行的直线有④，互相垂直的直线有①⑤。
【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。
【对应练习2】
下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。
两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。
【答案】 （2）、（4） （3） （1）、（3）
【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一平面内，两条直线无限延长后相交于一点，则这两条直线相交，依此填空。
【详解】根据分析可知，两条直线是互相平行的有（2）、（4）；
两条直线是互相垂直的有（3）；
两条直线是相交的有（1）、（3）。
【点睛】熟练掌握平行、垂直、相交的特点，是解答此题的关键。
【对应练习3】
如图各组直线、是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。
( ) ( ) ( ) ( )
【答案】 √ × × √
【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行，依此填空。
【详解】根据平行的特点，填空如下：
【点睛】熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。
【典型例题2】判断平行与垂直。
下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。
【答案】 平行 垂直 平行
【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直。
【详解】上图中，a与b互相平行，b与c互相垂直，c与d互相平行。
【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。
【对应练习1】
如下图。直线和( )互相平行，直线c和( )互相垂直，是( )。
【答案】 直线c 直线d 垂足
【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，据此解答。
【详解】如下图。直线和（直线c）互相平行，直线c和（直线d）互相垂直，是（垂足）。
【点睛】本题考查垂直与平行的特征，熟练掌握并灵活运用。
【对应练习2】
观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。
a( )c b( )c a( )b
【答案】 ⊥ ⊥ ∥
【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；
平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。
【详解】根据分析：a⊥c，b⊥c，a∥b。
【点睛】本题考查的是对平行和垂直的认识。
【对应练习3】
图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。
【答案】 平行 垂 距离
【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；
根据垂线的定义：当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。
【详解】图1中，直线a与直线b的位置关系是平行；
图2中，直线c是直线d的垂线；
图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的距离。
【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。
【考点九】数平行线与垂线。
【方法点拨】
熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。
【典型例题】
下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。
【答案】 4 4
【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。
【详解】上图中互相平行的线段有4组，互相垂直的线段有4组。
【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。
【对应练习1】
有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线c相交的直线有( )条。
【答案】 2 3
【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。
【详解】与直线c垂直的直线有a、b，延长直线c和直线d，直线c和直线d会相交，与直线c相交的直线有a、b、d。
有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有（2）条，与直线c相交的直线有（3）条。
【点睛】熟记垂直的定义是解题关键。
【对应练习2】
如图里有( )条线段与AB垂直，有( )条线段与CD平行。如图中一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。
【答案】 2 1 4 10 2
【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；长方形的四个角都是直角；小于90度的角是锐角；大于90度而小于180度的角是钝角；据此进行解答即可。
【详解】与AB垂直的线段有：AD、BC，共2条；
与CD平行的线段是AB，共1条；
直角有4个，长方形ABCD的四个直角；
锐角有10个，如图所示：
钝角有2个：∠AOB、∠DOC。
【点睛】本题考查了对平行线和垂线的定义的理解及运用，同时考查了角的分类，解答此题时要认真、仔细。
【对应练习3】
图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。
【答案】 6 6
【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。
【详解】图形共6条边，横向3条中任意两条相互平行，共3组平行线段，纵向条中任意两条相互平行，共3组平行线段，所以总共6组平行线段；
图中共6个角，其中从图内看有5个直角，从图外看有1个直角，所以6个角的两条边相互垂直，共6组互相垂直的线段。
【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。
【考点十】画平行线与垂线。
【方法点拨】
画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。
【典型例题】
过P点作OA的平行线，作OB的垂直线。

【答案】见详解
【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线OA重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可；
（2）用三角板的一条直角边和已知直线OB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。
【详解】如图：

【点睛】本题考查平行线和垂直线，熟练掌握平行线和垂直线的作图方法是解题的关键。
【对应练习1】
过点作直线的垂线和平行线。

【答案】见详解
【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。
【详解】画图如下：

【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的特点是解答此题的关键。
【对应练习2】
过点A作已知直线的平行线和垂线。
【答案】见详解
【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。
（2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。
【详解】
【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。
【对应练习3】
过点O画AB的平行线和垂线。
【答案】见详解
【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。
（2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。
【详解】
【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。
【考点十一】垂线的应用：修路问题。
【方法点拨】
从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的（ ）。
【典型例题】
爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。

【答案】见详解
【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使煤气管道最短，则从幸福小区向煤气管道作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】
【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。
【对应练习1】
甲村要修一条路与公路连接。请你帮忙设计一下，怎样修路最省钱？画一画。
【答案】见详解
【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作出甲村到公路的垂线段即可。
【详解】根据分析，作图如下：
【点睛】此题主要考查垂线段最短的性质和画垂线的方法。
【对应练习2】
如图，一头牛在点A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边最短的路线，在图中画出来。

【答案】见详解
【分析】把河岸看成一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。
【详解】
【点睛】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用。
【对应练习3】
甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。
【答案】见详解
【分析】利用点到直线的距离，垂线段最短的性质解决问题即可。
【详解】根据垂线段最短的性质，画图如下：

【点睛】本题主要考查了利用垂直线段最短的性质解决实际问题。
图形
区别
联系
端点
长度
延长情况
线段
2
可以度量
不可向两端延长
都是直的，线段、射线都可以看作直线的一部分。
射线
1
不可度量
向一端无限延长
直线
0
不可度量
向两端无限延长
图形
区别
联系
端点
长度
延长情况
线段
2
可以度量
不可向两端延长
都是直的，线段、射线都可以看作直线的一部分。
射线
1
不可度量
向一端无限延长
直线
0
不可度量
向两端无限延长