2024成都中考数学三轮冲刺 阅读材料题专项训练 (含答案)

这是一份2024成都中考数学三轮冲刺 阅读材料题专项训练 (含答案)，共33页。
3．（2023年重庆市渝中区巴蜀中学校中考三模数学试题）对于四位数M=abcd，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定FM=s−t−10b−d，则Fab64=______；若一个四位数M=1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且FM除以13余1，则满足条件的M的最大值为______．
4．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）一个四位数N=abcd，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵1+5×3+7=60，∴1537为“六秩数”．若p=ac−bd，q=ad−bc，记FN=p−q，则F2278=______；若N是一个“六秩数”，且FN是一个完全平方数，记K(N)=3a−bF(N)，则KN的最大值与最小值的差为______．
5．（2023年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校中考三模数学试题）对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记Fm=s+t9，若Fm为整数，则称数m为“重九数”，F4050=______，若“重九数”n=1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是______．
6．（2023年重庆市育才中学教育集团中考三模数学试题）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记Fm=m1+m21111．若s，t都是“同和数”，其中s=5400+10y+x，t=1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是正整数，规定：k=FsFt，用含“x，f”的代数式表示k=______，当Fs+Ft能被20整除时，k的所有取值之积为______．
7．（2023年重庆市第一中学中考三模数学试题）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”M=abcd且1≤a≤9,1≤b≤5,1≤c≤6,0≤d≤9，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定GM=a+12−2a+b+c−d−17，FM=M+N17，若GM，FM均为整数，则b+c的值为______，M的值为______．
8．（2023年重庆市实验外国语学校中考二模数学试题）一个两位自然数m，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数m'，那么称m'为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数m″，那么称m″为m的“后置充美数”．记Fm=m'−m″9，例如：m=12时，m'=312，m″=123，F12=312−1239=21．请计算F32=______；已知两个“完美数”m=10a+b6≤a≤9,0≤b≤9，n=10x+y1≤x≤9,0≤y≤9，若Fm是一个完全平方数，且2m+Fn−8y=140，则n的最大值为______．
9．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为Fm．（1）F6312=______；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且Fm+3511能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为______．
10．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模数学试题）一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定Fm为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且F2772=722−272=4455．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，1≤a，b，c，d≤9，且c0，
∴2m=122,126，
∴2y+x=18或14，
∴x=18−2y或x=14−2y，
当x=18−2y时，n=10x+y=1018−2y+y=180−19y，
∵0≤y≤9，n为两位数，
∴当y=5时，n有最大值85；
当x=14−2y时，n=10x+y=1014−2y+y=140−19y，
∵0≤y≤9，n为两位数，
∴当y=3时，n有最大值83；
综上：n的最大值为85，
故答案为：23，85．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，二元一次方程组的整数解，整式的加减运算，不等式的基本性质，理解新定义的含义是解题的关键．
9．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为Fm．（1）F6312=______；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且Fm+3511能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为______．
【答案】 2187 4176
【分析】（1）根据定义，计算即可．
（2）根据定义，结合分类思想计算即可．
【详解】（1）∵6312中，
∴6+2=8=21+3，
∴6312是“倍和数”，
∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为312,612,632,631，
∴F6312=312+612+632+631=2187；
故答案为：2187．
（2）设四位数m为abcd，
∵m是“倍和数”，
∴a+d=8=2b+c，
∴b+c=4，
∴c=4−b,d=8−a，
∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为acd,bcd,abc,abd，
∴Fm=100b+10c+d+100a+10c+d+100a+10b+c+100a+10b+d，
∵c=4−b,d=8−a，
∴Fm+3511=297a+99b+14311=27a+9b+13，
∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数，
当a=1,b=1时，27a+9b+13=49，能被7整除，此时abcd=1137；
当a=1,b=2时，27a+9b+13=58，不能被7整除，舍去；
当a=1,b=3时，27a+9b+13=67，不能被7整除，舍去；
当a=2,b=1时，27a+9b+13=76，不能被7整除，舍去；
当a=2,b=2时，27a+9b+13=85，不能被7整除，舍去；
当a=2,b=3时，27a+9b+13=94，不能被7整除，舍去；
当a=3,b=1时，27a+9b+13=103，不能被7整除，舍去；
当a=3,b=2时，27a+9b+13=112，能被7整除，此时abcd=3225；
当a=3,b=3时，27a+9b+13=121，不能被7整除，舍去；
当a=4,b=1时，27a+9b+13=130，不能被7整除，舍去；
当a=4,b=2时，27a+9b+13=139，不能被7整除，舍去；
当a=4,b=3时，27a+9b+13=148，不能被7整除，舍去；
当a=5,b=1时，27a+9b+13=157，不能被7整除，舍去；
当a=5,b=2时，27a+9b+13=166，不能被7整除，舍去；
当a=5,b=3时，27a+9b+13=175，能被7整除，abcd=5133；
当a=6,b=1时，27a+9b+13=184，不能被7整除，舍去；
当a=6,b=2时，27a+9b+13=193，不能被7整除，舍去；
当a=6,b=3时，27a+9b+13=202，不能被7整除，舍去；
当a=7,b=1时，27a+9b+13=211，不能被7整除，舍去；
当a=7,b=2时，27a+9b+13=220，不能被7整除，舍去；
当a=7,b=3时，27a+9b+13=229，不能被7整除，舍去；
故所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为5133−1137=4176，
故答案为：4176．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．
10．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模数学试题）一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定Fm为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且F2772=722−272=4455．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，1≤a，b，c，d≤9，且cb，当a+bc−d为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为__________．
【答案】8154
【分析】根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c=11a+b，可得出a+b=c+d，根据当a+bc−d为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知c=54d，则可知c=5，d=4，故a+b=9，则最大的值为a=8，b=1，即可求解．
【详解】解：根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c=11a+b，
∴a+b=c+d，
∵a+bc−d为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，a>b，
∴a+bc−d=9，
∴c+dc−d=9，
∴c=54d，
∴c=5，d=4，
∴a+b=c+d=9，
当a=8，时，N有最大值，
∴b=9−8=1，
∴N的最大值为8154，
故答案为：8154．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．
14．（2023年重庆市第一中学校中考一模数学试题）一个四位正整数A=2000a+120b+10c+d+3，其中1≤a，b≤4，1≤2b+c≤9，0≤d≤6，且a，b，c，d均为整数．A的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将A的千位数字和百位数字组成的两位数记为s，十位数字和个位数字组成的两位数记为t．记A的千位数字与个位数字的乘积为PA，百位数字与十位数字的乘积为QA．若s+t被7除余4，则b+d=___________，在此条件下，当PA−QA=k2−4（k为整数）时，最大的四位正整数A=___________．
【答案】 6 8316
【分析】（1）根据题意，找出千位数字2a，百位数字b，十位数字2b+c，个位数字d+3，再根据条件列数相关算式，即可解决问题
（2）先通过算式分别表示PA和QA，在通过条件化简整式，利用条件找出符合题意的最大的A
【详解】解：（1）由题干可得：千位数字2a，百位数字b，十位数字2b+c，个位数字d+3
2a+2b+c=b+d+32a+b+2b+c+d+3÷7=m⋯⋯4，m为整数
可得：b+d=72m−1
∵1≤b≤4，0≤d≤6且为整数
∴b+d=6
（2）PA−QA=2ad+3−b2b+c=k2−4
18a−2ab−2b2−bc=k2−4
由2a+2b+c=b+d+3可得：
18a−2ab−2b2−bc=18a−9b
∴92a−b=k2−4
等号左边是9的倍数，∴2a−b=5,b+d=6,2a+2b+c=9
个位越大，A越大，所以A最大＝8316
【点睛】本题属于数与式中的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题关键
15．（2023年重庆市大渡口区中考二模数学试题）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“平方差数”．一个“平方差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记GM=dc，且PM=Mc+d．当GM,PM均是整数时，当满足条件的M取得最大值时，c+d=__________，最大值为__________．
【答案】 9 6318
【分析】根据M为“平方差数”可得d+cd−c=10a+b，则M=1000a+100b+10c+d=100d+cd−c+10c+d，PM=100d−c+1+9cc+d，进而得到9cc+d是整数，设d=kc，（k为整数且k≠0），因此9cc+d=9cc+kc=91+k，得到k=2或8，当k=2时，对c，d进行取值，并求出此时M；当k=8时，对c，d进行取值，并求出此时M，即可求解．
【详解】解： GM=dc，且PM=Mc+d，
∵四位数M为“平方差数”，
∴ d+cd−c=10a+b，
∴ M=1000a+100b+10c+d
=10010a+b+10c+d
=100d+cd−c+10c+d，
∴ PM=Mc+d
=100d+cd−c+10c+dc+d
=100d−c+9cc+d，
∵ PM是整数，
∴ 9cc+d是整数，
由GM=dc为整数可知，d≥c，
设GM=dc=k（k为整数且k≠0），
∴ d=kc，
∴ 9cc+d=9cc+kc=91+k，
∴ k=2或8，
当k=2时，
①若c=1，则d=2，此时d+cd−cb>c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A)，若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出a+b+c=12，根据a>b>c，FA是最大的两位数，GA是最小的两位数，得出FA+GA=10a+2b+10c，F(A)+G(A)16=k（k为整数），结合a+b+c=12得出b=15−2k，根据已知条件得出1＜b＜6，从而得出b=3或b=5，然后进行分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：∵357÷3+5+7=357÷15=23⋅⋅⋅⋅⋅⋅12，
∴357不是15“和倍数”；
∵441÷4+4+1=441÷9=49，
∴441是9的“和倍数”．
（2）∵三位数A是12的“和倍数”，
∴a+b+c=12，
∵a>b>c，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数FA=10a+b，最小的两位数GA=10c+b，
∴FA+GA=10a+b+10c+b=10a+2b+10c，
∵F(A)+G(A)16为整数，
设F(A)+G(A)16=k（k为整数），
则10a+2b+10c16=k，
整理得：5a+5c+b=8k，
根据a+b+c=12得：a+c=12−b，
∵a>b>c，
∴12−b＞b，解得b＜6，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴a>b>c＞0，
∴b＞1，
∴1＜b＜6，
把a+c=12−b代入5a+5c+b=8k得：
512−b+b=8k，
整理得：b=15−2k，
∵1＜b＜6，k为整数，
∴b=3或b=5，
当b=3时，a+c=12−3=9，
∵a>b>c＞0，
∴a＞3，0＜c＜3，
∴a=7，b=3，c=2，或a=8，b=3，c=1，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当a=7，b=3，c=2时，组成的三位数为732或372，
∵732÷12=61，
∴732是12的“和倍数”，
∵372÷12=31，
∴372是12的“和倍数”；
当a=8，b=3，c=1时，组成的三位数为318或138，
∵318÷12=26⋅⋅⋅⋅⋅⋅6，
∴318不是12的“和倍数”，
∵138÷12=11⋅⋅⋅⋅⋅⋅6，
∴138不是12的“和倍数”；
当b=5时，a+c=12−5=7，
∵a>b>c＞0，
∴5＜a＜7，
∴a=6，b=5，c=1，组成的三位数为516或156，
∵516÷12=43，
∴516是12的“和倍数”，
∵156÷12=13，
∴156是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
21．（重庆市2021年中考数学真题（B卷））对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)=n3．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【答案】（1）5313是“共生数”， 6437不是“共生数”． （2）n=2148或n=3069.
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c, 可得：1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，再由“共生数”的定义可得：c=3a+2b,而由题意可得：b+c=9或b+c=18, 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）∵5+3=2×(1+3)=8,
∴5313是“共生数”，
∵6+7=13≠2×(4+3)=14,
∴6437不是“共生数”．
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c,
∴1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，
所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,
由“共生数”的定义可得：a+c=2(2a+b),
∴c=3a+2b,
∴n=1023a+102b,
∴F(n)=n3=341a+34b,
∵ 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,
当b+c=0, 则b=c=0, 则a=0, 不合题意，舍去，
当b+c=9时，则3a+3b=9,
∴a+b=3,
当a=1时，b=2,c=7,
此时：n=1227, F(n)=12273=409，而4+0+9=13不为偶数，舍去，
当a=2时，b=1,c=8,
此时：n=2148, F(n)=21483=716,，而7+1+6=14为偶数，
当a=3时，b=0,c=9,
此时：n=3069, F(n)=30693=1023,，而1+0+2+3=6为偶数，
当b+c=18时，则b=c=9,
而3a+3b=18,则a=−3不合题意，舍去，
综上：满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的n=2148或n=3069,
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
22．（重庆市2021年中考数学真题（A卷））如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609=21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234=18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M)．令G(M)=P(M)Q(M)，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M有1224，1221，5624，5616．
【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来表示B．然后整理出：G(M)=P(M)Q(M)，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M．
【详解】解：（1）
168不是“合和数”，621是“合和数”．
∵168=12×14，2+4≠10，
∴168不是“合和数”，
∵621=23×27，十位数字相同，且个位数字3+7=10，
∴621是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n（m，n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9），
则A=10m+n,B=10m+10−n．
∴P(M)=m+n+m+10−n=2m+10,Q(M)=|(m+n)−(m+10−n)|=|2n−10|．
∴G(M)=P(M)Q(M)=2m+10|2n−10|=m+5|n−5|=4k（k是整数）．
∵3≤m≤9，
∴8≤m+5≤14，
∵k是整数，
∴m+5=8或m+5=12，
①当m+5=8时，
{m+5=8|n−5|=1或{m+5=8|n−5|=2，
∴M=36×34=1224或M=37×33=1221．
②当m+5=12时，
{m+5=12|n−5|=1或{m+5=12|n−5|=3，
∴M=76×74=5623或M=78×72=5616．
综上，满足条件的M有1224，1221，5624，5616．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
23．（重庆市2020年中考数学试题A卷）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：14÷5=2⋯⋯4，14÷3=4⋯⋯2，所以14是“差一数”；
19÷5=3⋯⋯4，但19÷3=6⋯⋯1，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
【答案】（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389
【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．
【详解】解：（1）∵49÷5=9⋯⋯4；49÷3=16⋯⋯1，
∴49不是“差一数”，
∵74÷5=14⋯⋯4；74÷3=24⋯⋯2，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
24．（重庆市2020年中考数学试题（B卷））在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
25．（重庆市2019年中考数学试题）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）2000，2001，2002，2010，2011，2012；（2）0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
【分析】（1）根据“纯数”的概念，从2000至2019之间找出“纯数”；
（2）根据“纯数”的概念得到不大于100的数个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义解答．
【详解】解：（1）显然1949至1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位．
在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义．
所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；
（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
【点睛】本题考查的是整式的加减、有理数的加法、数字的变化，正确理解“纯数”的概念是解题的关键．
26．（重庆市2019年中考数学（A卷）试题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
【详解】解：（1）当n=2019时，n+1=2020，n+2=2022
∵计算时，个位为9+0+1=10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n=2020时，n+1=2021，n+2=2022
∴个位为0+1+2=3，不需要进位：十位为2+2+6，不需要进位：百位为0+0+0=0，不需要进位：千位为2+2+2=6，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.
（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有3+9+1=13个.
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.