广东省深圳外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题

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（数学）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则实数的值为（）
A. B. C. D.
2. 设是复数且，则的最小值为（）
A1B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（）
A. B.
C. D.
4. 已知圆台的上､下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上､下底面及母线均相切，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
5. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）
A. B. C. D.
6. 已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：）（）次.
A. 8B. 9C. 10D. 11
7. 设实数，e为自然对数的底数，若，则（）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线的左，右焦点，直线l过点，且与双曲线右支交于A，B两点，O为坐标原点，，的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是（）．
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球，下列说法正确的是（）
A. 第二次取到白球的概率是
B. “取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件
C. “第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件
D. 已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为
10. 设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（）．
A. ，B.
CD.
11. 对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．比如，常数列满足此条件，所以是数列，以下说法正确的是（ ）
A. 首项为1，公比为等比数列是数列
B. 设是数列的前项和，若数列是数列，那么数列为数列
C. 等差数列一定为数列
D. 有界数列一定为数列
12. 已知正四面体的棱长为，其所有顶点均在球的球面上．已知点满足，过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱相交于点，则（）
A. 四边形的周长是变化的
B. 四棱锥体积最大值为
C. 当时，平面截球所得截面的周长为
D. 当时，将正四面体绕旋转后与原四面体的公共部分的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一个容量为9的样本，它的平均数为，方差为，把这个样本中一个为4的数据去掉，变成一个容量为8的新样本，则新样本的平均数为________，方差为________.
14. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ________．
15. 已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．
16. 在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn，第n次传球之前球在乙手里的概率为qn，显然p1=1，q1=0．
（1）求p3＋2q3的值；
（2）比较p8，q8的大小．
18. 已知函数的图象经过点.
（1）若的最小正周期为，求的解析式；
（2）若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
19. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
其中，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
（2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
20. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，是棱上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
21. 已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，定直线，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，过A，B两点分别作于，于，直线、交于点，证明：点为定点，并求出点的坐标．
22. 已知函数.
（1）证明：函数在上有且只有一个零点；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值.2017.5
80.4
1.5
40703145.0
16212542
27.7
1226.8