2024年江苏省扬州市翠岗中学九年级中考第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年江苏省扬州市翠岗中学九年级中考第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6B. ﹣C. 6D.
2. 2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ）
A. 长方体B. 图柱C. 圆锥D. 球
5. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )．
A B. C. D.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 分解因式：=__________________.
11. 方程的解为______．
12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．
13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________．
14. 若是关于的方程的解，则的值为________．
15. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为__________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
16. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落上，此时等于________．
17. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则______．

18. 老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②是方程的一个根；③当时，；④若，是该抛物线上的两点，则．其中正确的是________．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）化简：
20. 解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
21. 打造书香文化，培养阅读习惯．祟德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据图中信息，请回答下列问题：
（1）条形图中的______，______，文学类书籍对应扇形圆心角等于______度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
22. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
23. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
25. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点A作于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
26. 解答下列问题
（1）如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．
①求证：；
②如图2，连接并延长交小圆于E，连接，若，求的值；
（2）如图3，过内一点P作弦，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
27. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点．
（1）求二次函数表达式；
（2）求四边形的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______．
28. 在探究“四点共圆条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
．
2024年江苏省扬州市翠岗中学九年级中考第二次模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6B. ﹣C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方运算法则计算注意判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
B．，计算正确，则B符合题意；
C．，计算错误，则C不符合题意；
D．，计算错误，则D不符合题意；
故选：B．
4. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ）
A. 长方体B. 图柱C. 圆锥D. 球
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何体的三视图进行判断即可．
【详解】解：在长方体、图柱、圆锥、球四个几何体中，三视图都是圆的是球，
故选：D
【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
5. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
7. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
8. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：
，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
，
点射线上运动，
当时，的值最小，
四边形矩形，
，
，
，
，
即 ，
，
在中，由勾股定理得： ，
的最小值 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
10. 分解因式：=__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式；
直接利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：扇形的面积为，
故答案：．
14. 若是关于的方程的解，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
15. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为__________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
【答案】208．
【解析】
【详解】试题解析：由题意可得：tan30°=，
解得：BD=30，
同理，DC=90
故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120.
16. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于________．
【答案】##85度
【解析】
【分析】本题考查了几何—旋转问题．解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．根据旋转可得，再结合旋转角以及三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：，，
，
，
，，
，
故答案为：．
17. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出，即，解方程得到（负值舍去）即可得到结论．
【详解】解：如图所示:

，，
，，
与的面积相等，
，
，
，
，若令，则，由公式法解得或（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
18. 老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②是方程的一个根；③当时，；④若，是该抛物线上的两点，则．其中正确的是________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①由表格可知：抛物线的对称轴为直线，故此选项正确；
②当时，，则是方程的一个根，故此选项正确；
③由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
④抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，若，是该抛物线上的两点，分两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则，当A与B在对称轴右侧时，则，故此选项不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的乘法，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20. 解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】3
【解析】
【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．
21. 打造书香文化，培养阅读习惯．祟德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据图中信息，请回答下列问题：
（1）条形图中的______，______，文学类书籍对应扇形圆心角等于______度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
【答案】（1）18，6，72
（2）480人
【解析】
【分析】此题考查条形统计图和扇形统计图综合应用．
（1）由喜欢的人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可
．
【小问1详解】
调查的学生人数为：（人，
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，72；
【小问2详解】
（人，
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
22. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【小问1详解】
解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
【小问2详解】
如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
23. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键．
（1）根据点E分别为的中点，可得，根据对顶角相等，可得，由“角边角”即可求证；
（2）根据三角形的中位线性质，平行线的性质，四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点E分别为的中点，
∴，
在与中，，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）证得，
∴，
，即，
∵点D、E是的中点，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】衬衫的单价降了15元．
【解析】
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
25. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点A作于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义得，由三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）由勾股定理求出的长，根据平行线分线段成比例，列出比例式，代入有关数据，即可求出的长．
【小问1详解】
解：∵于点E，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例即可求出的长．
26. 解答下列问题
（1）如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．
①求证：；
②如图2，连接并延长交小圆于E，连接，若，求的值；
（2）如图3，过内一点P作弦，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）①见解析；②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①过O作于H，根据垂径定理得到，，即可得出结论；
②连接，首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后结合即可求出的值；
（2）连接并延长至Q使，以Q为圆心为半径画弧交圆O于点A，连接并延长交圆O于另一点B，则弦即为所求．
【小问1详解】
解：①证明：过O作于H，如图1所示：
∵，
∴，，
∴，
∴；
②解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键．
27. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______．
【答案】（1）
（2）30 （3）
【解析】
【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式；
（2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案；
（3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P．
【小问1详解】
解：根据题意，设二次函数解析式为，
∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：过D作于N，作于M，
根据，则顶点坐标为，
；
【小问3详解】
解：P是抛物线上的一点，且在第一象限，
当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图．
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵．
∴，即，
∴．
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，
则过B、E的直线的解析式为，
令，解得，或，
所以直线与抛物线的两个交点为，
即所求的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形．
28. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；
（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，
∴，
∵点M是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
．
x
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0
1
3
5
…
y
…
7
0
7
…
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