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2024年江苏省扬州市仪征市古井中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年江苏省扬州市仪征市古井中学中考三模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了 分解因式等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1. 下列各式计算结果等于2024的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
3. 第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过万亿元．请将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )
A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
7. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ）
A. 8B. C. D.
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9. 分解因式：________．
10. 若使代数式有意义，则的取值范围是 ________．
11. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则，，，，的平均数为______．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 _____．
13. 若、满足，则代数式的值为______．
14. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
15. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角_______°．
16. 如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为________度．
17. 点在第二象限内，点，则的取值范围是________．
18. 如图，中，，，，D为边的中点，点E、F分别是射线、上的动点，且，连接，O为线段的中点，则线段长的最小值为________．
二、解答题
19 （1）计算：
（2）化简：
20. 解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分，规定：为级，为B级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了______名学生，______，级对应的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图．
（3）这组数据的中位数所在的等级是______；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校级学生有多少名?
22. 如图，某公园门口限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是______；
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
23. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球单价各是多少元.
24. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
25. 如图，为的弦，交于点，与过点的直线交于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并加以证明；
（2）若，求的长．
26. 某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？
27. 已知矩形边，P矩形边上一点，连接，过点B作且，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，当P为的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，连接，当长最小时，求的值；
【延伸探究】（3）连接并延长交于点F，平分．
①请在图3中用尺规作图作出符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②直接写出此时的值．
28. 如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，交x轴于点D，交于点E，求最小值．
九年级数学试题
2024.6
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1. 下列各式计算结果等于2024的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
根据有理数的混合运算法则进行计算．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意：
D、，不符合题意．
故选：C．
2. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．
【详解】从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3. 第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过万亿元．请将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
4. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故符合题意；
B中图形是中心对称图形，故不符合题意；
C中图形是中心对称图形，故不符合题意；
D中图形是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准对称中心是解答的关键．
5. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．
6. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )
A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接BD，
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.
∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C.
7. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，由抛物线开口向下，则，又对称轴是直线，从而，故可判断A；又抛物线与轴交于两点，则△，故可判断B；又对称轴是直线，且抛物线过，从而抛物线必过点，即有，故可判断C；由，进而可得，故可判断D．
【详解】解：如图，抛物线开口向下，
．
又对称轴是直线，
，故A错误．
又抛物线与轴交于两点，
△．
，故B错误．
对称轴是直线，且抛物线过，
抛物线必过点．
当时，．
，故C正确．
，
，故D错误．
故选：C．
8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
过点作于，则，根据点都在反比例函数的图象上，则，由折叠知，．推出，推出，根据，则，则，得出，因为，则，得出．
【详解】解：过点作于，
，
，
∵点都在反比例函数的图象上，
，
由折叠知，．
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9. 分解因式：________．
【答案】4（m+2n）（m-2n）
【解析】
【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=4(m²-4n²)=4（m+2n）（m-2n）．
故答案为：4（m+2n）（m-2n）
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 若使代数式有意义，则的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：
故答案为：．
11. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则，，，，的平均数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数的定义，灵活运用平均数的定义成为解题的关键．
先根据平均数的定义可得，然后再根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为4，
∴，
∴、、、、的平均数为：
．
故答案为：7．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
13. 若、满足，则代数式的值为______．
【答案】-6
【解析】
【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
14. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
【详解】圆锥的侧面积，其中，，
∴这个圆锥的侧面积，
故答案为：．
15. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角_______°．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质及平行线的性质，熟知图形旋转的性质及平行线的性质是解题的关键．
根据所给旋转方式，利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：令与的交点为，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：45．
16. 如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解．
【详解】解：正五边形的每一个内角为
设菱形的最小内角为，根据题意得，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和公式是解题的关键．
17. 点在第二象限内，点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，设，则是关于的二次函数，可得，当时，可以取得最大值，当时，可以取得最小值．
【详解】设，则是关于的二次函数．
根据题意可知．
二次函数的开口向上，的最小值为，
所以，．
当时，可以取得最大值，．
当时，可以取得最小值，．
所以，．
故答案为：
18. 如图，中，，，，D为边的中点，点E、F分别是射线、上的动点，且，连接，O为线段的中点，则线段长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，，，证明，可得在的垂直平分线上，则当时，最短；记的垂直平分线为，与的交点为，与的交点为，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接，，，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∴当时，最短；
记的垂直平分线为，与的交点为，与的交点为，
∵，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
∵是的中点，
∴，
由，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：
【点睛】本题考查的是动点的轨迹问题，直角三角形斜边上的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，判断O的运动轨迹是解本题的关键．
二、解答题
19 （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算、有理数的混合运算，特殊角的三角函数运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据绝对值、特殊角的三角函数运算、零指数幂分别化简，然后计算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再将分式的分子和分母分解因式，最后约分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
【答案】，不等式组的最小整数解为-2．
【解析】
【分析】先分别计算不等式求出不等式组的解集，再求出不等式组的最小整数解即可．
【详解】
解得
解得
即不等式组的解集为
故不等式组的最小整数解为．
【点睛】本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分，规定：为级，为B级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了______名学生，______，级对应的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图．
（3）这组数据的中位数所在的等级是______；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校级学生有多少名?
【答案】（1），，；
（2）见解析图； （3）级；
（4）该校级学生有名．
【解析】
【分析】（）根据级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用级的人数除以总数即可求出；用的人数，求出级的人数除以总数得到级所占的百分比，用度乘以级所占的百分比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角的度数；
（）由（）得一共抽取了名学生，然后减去级、级，级人数即可求出级人数，然后补全即可；
（）根据中位数的定义求解即可；
（）用级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校级的学生数；
此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：（名），，
∵级所占的百分比为：，
∴级对应的圆心角为：，
故答案为：，，；
【小问2详解】
由（）得一共抽取了名学生，
∴级的人数为（名），
则补全条形统计图如图，
【小问3详解】
解：在这组数据中，从小到大排列，第位和第位都在级，
故这组数据的中位数所在的等级是级；
【小问4详解】
解：（名），
答：该校级学生有名．
22. 如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是______；
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式计算；
（2）利用列表法表示出所有等可能结果以及满足题意的等可能结果，求出概率．
【小问1详解】
解：甲的选择有三种等可能结果：A、B、C，其中选择A占一种，
故选择A概率为；
【小问2详解】
列表：
由表中知，这个实验一共有9种等可能结果，其中相等的占三种，
故甲、丙两位同学从同一通道经过的概率为．
【点睛】本题考查利用列表法和利用概率公式求概率，解决问题的关键是列举出所有等可能的结果．
23. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.
【答案】排球的单价为50元，则篮球的单价为80元．
【解析】
【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据总价÷单价=数量的关系建立方程求出其解即可．
【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意，列方程得：
．
解得：x=50．
经检验，x=50是原方程的根，
当x=50时，x+30=80．
答：排球单价为50元，则篮球的单价为80元．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，总价÷单价=数量的数量关系的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是关键．
24. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得，又由对顶角的性质可得，即得到，利用即可证明；
（）连接，交于点，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可证明其对角线互相垂直，即可求证；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
小问2详解】
解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接，交于点，
由（）得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形．
25. 如图，为的弦，交于点，与过点的直线交于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并加以证明；
（2）若，求的长．
【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据已知得出,根据等角对等边得出，进而的，根据，即可得证；
（2）由（1）知，根据已知以及余弦的定义，设，在中，勾股定理求得的值，进而求得在中，设，由勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：与相切；
理由：如图，连接，
．
，
．
．
．
，
．
．
即
∴与相切
【小问2详解】
由（1）知，
∴设，
在中，，
．
得（舍去），；
在中，设，由
，即
得
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？
【答案】（1）平均每次降价的百分率是20%；
（2）当商场降价27元时，商场每天盈利最大．
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过100%；
（2）根据题意，可以写出w与下降的钱数之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以求得当a为何值时，w取得最大值．
【小问1详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意可得：100（1-x）2=64，
解得x1=20%，x2=180%（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率是20%；
【小问2详解】
解：设商场降价a元，
由题意可得：w=（64-a）（20+2a）=-2a2+108a+1280，
∴该函数图象开口向下，当a=时，w取得最大值，
∵-2<0，
∴a=27时，w取得最大值，
答：当商场降价27元时，商场每天盈利最大．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式．
27. 已知矩形边，P是矩形边上一点，连接，过点B作且，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，当P为的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，连接，当长最小时，求的值；
【延伸探究】（3）连接并延长交于点F，平分．
①请在图3中用尺规作图作出符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②直接写出此时的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）如图1，当P为的中点时，得出，根据四边形是矩形，得出，结合，证明，根据，即可求解；
（2）如图，取的中点O，以为半径作，根据，得出点E在上运动，根据三角形三边关系得出，从而得出当三点共线时，，此时长最小，此时，，根据勾股定理算出，得出，证明，结合（1）中，根据，即可求解；
（3）①以点D为圆心，为半径作交的延长线于点Q，即可作出；再分别以点C、Q为圆心，大于的一半为半径作圆交于两点，连接交于点R，直线即为线段的垂直平分线，点R即为中点；以点R为圆心，为半径画圆交于点E，连接并延长交于点F，则平分即为所求．
②如图，连接交于点H，证明，根据相似三角形的性质得出，解出，再根据同弧所对的圆周角相等得出，结合（1）中，得出，即可求解．
【详解】（1）如图1，当P为的中点时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）如图，取的中点O，以为半径作，
∵，
即，
则点E在上运动，
∴，
当三点共线时，，此时长最小，
此时，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
故当长最小时，的值为；
（3）①以点D为圆心，为半径作交的延长线于点Q，即可作出；
再分别以点C、Q为圆心，大于的一半为半径作圆交于两点，连接交于点R，直线即为线段的垂直平分线，点R即为中点；
以点R为圆心，为半径画圆交于点E，连接并延长交于点F，则平分即为所求．
理由：由作图可得，，，
∴，
由作图可得，点在上，故四点共圆，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
即平分．
②如图，连接交于点H，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，尺规作图-复杂作图等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象．
28. 如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，点
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据使的内心恰好在直线上，得出平分，即，过点作轴的平行线交于点，证出，求出直线的表达式设点，则点，根据，列方程求解即可；
（3）由抛物线的表达式知，点，得出，设点，根据，直线的表达式为：，求出直线的表达式，从而求出点，，得出的最大值为，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出取得最大值时，取得最小值即可解答．
【小问1详解】
解：将代入得：，
解得：，
故抛物线对应的函数表达式为：．
【小问2详解】
存在，理由：
∵使的内心恰好在直线上，
则平分，即，
过点作轴的平行线交于点，
则，
则，
设直线的表达式为：，
由点的坐标得，，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
由点的坐标得，，
解得：，
则点；
【小问3详解】
∵抛物线的表达式，
令，则，解得：或，
∴点，
则，
设点，
∵，直线的表达式为：，
设直线的表达式为，
将点代入，得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
令，则，解得：，
则点，
则，
故的最大值为，
∵，则，
则，
故取得最大值时，的最小值为：，
即的最小值为：．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
甲 丙
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1. 下列各式计算结果等于2024的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
3. 第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过万亿元．请将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )
A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
7. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ）
A. 8B. C. D.
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9. 分解因式：________．
10. 若使代数式有意义，则的取值范围是 ________．
11. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则，，，，的平均数为______．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 _____．
13. 若、满足，则代数式的值为______．
14. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
15. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角_______°．
16. 如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为________度．
17. 点在第二象限内，点，则的取值范围是________．
18. 如图，中，，，，D为边的中点，点E、F分别是射线、上的动点，且，连接，O为线段的中点，则线段长的最小值为________．
二、解答题
19 （1）计算：
（2）化简：
20. 解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分，规定：为级，为B级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了______名学生，______，级对应的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图．
（3）这组数据的中位数所在的等级是______；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校级学生有多少名?
22. 如图，某公园门口限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是______；
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
23. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球单价各是多少元.
24. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
25. 如图，为的弦，交于点，与过点的直线交于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并加以证明；
（2）若，求的长．
26. 某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？
27. 已知矩形边，P矩形边上一点，连接，过点B作且，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，当P为的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，连接，当长最小时，求的值；
【延伸探究】（3）连接并延长交于点F，平分．
①请在图3中用尺规作图作出符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②直接写出此时的值．
28. 如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，交x轴于点D，交于点E，求最小值．
九年级数学试题
2024.6
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1. 下列各式计算结果等于2024的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
根据有理数的混合运算法则进行计算．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意：
D、，不符合题意．
故选：C．
2. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．
【详解】从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3. 第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过万亿元．请将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
4. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故符合题意；
B中图形是中心对称图形，故不符合题意；
C中图形是中心对称图形，故不符合题意；
D中图形是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准对称中心是解答的关键．
5. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．
6. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )
A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接BD，
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.
∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C.
7. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，由抛物线开口向下，则，又对称轴是直线，从而，故可判断A；又抛物线与轴交于两点，则△，故可判断B；又对称轴是直线，且抛物线过，从而抛物线必过点，即有，故可判断C；由，进而可得，故可判断D．
【详解】解：如图，抛物线开口向下，
．
又对称轴是直线，
，故A错误．
又抛物线与轴交于两点，
△．
，故B错误．
对称轴是直线，且抛物线过，
抛物线必过点．
当时，．
，故C正确．
，
，故D错误．
故选：C．
8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
过点作于，则，根据点都在反比例函数的图象上，则，由折叠知，．推出，推出，根据，则，则，得出，因为，则，得出．
【详解】解：过点作于，
，
，
∵点都在反比例函数的图象上，
，
由折叠知，．
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9. 分解因式：________．
【答案】4（m+2n）（m-2n）
【解析】
【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=4(m²-4n²)=4（m+2n）（m-2n）．
故答案为：4（m+2n）（m-2n）
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 若使代数式有意义，则的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：
故答案为：．
11. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则，，，，的平均数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数的定义，灵活运用平均数的定义成为解题的关键．
先根据平均数的定义可得，然后再根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为4，
∴，
∴、、、、的平均数为：
．
故答案为：7．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
13. 若、满足，则代数式的值为______．
【答案】-6
【解析】
【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
14. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
【详解】圆锥的侧面积，其中，，
∴这个圆锥的侧面积，
故答案为：．
15. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角_______°．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质及平行线的性质，熟知图形旋转的性质及平行线的性质是解题的关键．
根据所给旋转方式，利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：令与的交点为，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：45．
16. 如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解．
【详解】解：正五边形的每一个内角为
设菱形的最小内角为，根据题意得，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和公式是解题的关键．
17. 点在第二象限内，点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，设，则是关于的二次函数，可得，当时，可以取得最大值，当时，可以取得最小值．
【详解】设，则是关于的二次函数．
根据题意可知．
二次函数的开口向上，的最小值为，
所以，．
当时，可以取得最大值，．
当时，可以取得最小值，．
所以，．
故答案为：
18. 如图，中，，，，D为边的中点，点E、F分别是射线、上的动点，且，连接，O为线段的中点，则线段长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，，，证明，可得在的垂直平分线上，则当时，最短；记的垂直平分线为，与的交点为，与的交点为，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接，，，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∴当时，最短；
记的垂直平分线为，与的交点为，与的交点为，
∵，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
∵是的中点，
∴，
由，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：
【点睛】本题考查的是动点的轨迹问题，直角三角形斜边上的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，判断O的运动轨迹是解本题的关键．
二、解答题
19 （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算、有理数的混合运算，特殊角的三角函数运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据绝对值、特殊角的三角函数运算、零指数幂分别化简，然后计算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再将分式的分子和分母分解因式，最后约分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
【答案】，不等式组的最小整数解为-2．
【解析】
【分析】先分别计算不等式求出不等式组的解集，再求出不等式组的最小整数解即可．
【详解】
解得
解得
即不等式组的解集为
故不等式组的最小整数解为．
【点睛】本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分，规定：为级，为B级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了______名学生，______，级对应的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图．
（3）这组数据的中位数所在的等级是______；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校级学生有多少名?
【答案】（1），，；
（2）见解析图； （3）级；
（4）该校级学生有名．
【解析】
【分析】（）根据级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用级的人数除以总数即可求出；用的人数，求出级的人数除以总数得到级所占的百分比，用度乘以级所占的百分比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角的度数；
（）由（）得一共抽取了名学生，然后减去级、级，级人数即可求出级人数，然后补全即可；
（）根据中位数的定义求解即可；
（）用级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校级的学生数；
此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：（名），，
∵级所占的百分比为：，
∴级对应的圆心角为：，
故答案为：，，；
【小问2详解】
由（）得一共抽取了名学生，
∴级的人数为（名），
则补全条形统计图如图，
【小问3详解】
解：在这组数据中，从小到大排列，第位和第位都在级，
故这组数据的中位数所在的等级是级；
【小问4详解】
解：（名），
答：该校级学生有名．
22. 如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是______；
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式计算；
（2）利用列表法表示出所有等可能结果以及满足题意的等可能结果，求出概率．
【小问1详解】
解：甲的选择有三种等可能结果：A、B、C，其中选择A占一种，
故选择A概率为；
【小问2详解】
列表：
由表中知，这个实验一共有9种等可能结果，其中相等的占三种，
故甲、丙两位同学从同一通道经过的概率为．
【点睛】本题考查利用列表法和利用概率公式求概率，解决问题的关键是列举出所有等可能的结果．
23. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.
【答案】排球的单价为50元，则篮球的单价为80元．
【解析】
【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据总价÷单价=数量的关系建立方程求出其解即可．
【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意，列方程得：
．
解得：x=50．
经检验，x=50是原方程的根，
当x=50时，x+30=80．
答：排球单价为50元，则篮球的单价为80元．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，总价÷单价=数量的数量关系的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是关键．
24. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得，又由对顶角的性质可得，即得到，利用即可证明；
（）连接，交于点，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可证明其对角线互相垂直，即可求证；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
小问2详解】
解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接，交于点，
由（）得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形．
25. 如图，为的弦，交于点，与过点的直线交于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并加以证明；
（2）若，求的长．
【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据已知得出,根据等角对等边得出，进而的，根据，即可得证；
（2）由（1）知，根据已知以及余弦的定义，设，在中，勾股定理求得的值，进而求得在中，设，由勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：与相切；
理由：如图，连接，
．
，
．
．
．
，
．
．
即
∴与相切
【小问2详解】
由（1）知，
∴设，
在中，，
．
得（舍去），；
在中，设，由
，即
得
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？
【答案】（1）平均每次降价的百分率是20%；
（2）当商场降价27元时，商场每天盈利最大．
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过100%；
（2）根据题意，可以写出w与下降的钱数之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以求得当a为何值时，w取得最大值．
【小问1详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意可得：100（1-x）2=64，
解得x1=20%，x2=180%（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率是20%；
【小问2详解】
解：设商场降价a元，
由题意可得：w=（64-a）（20+2a）=-2a2+108a+1280，
∴该函数图象开口向下，当a=时，w取得最大值，
∵-2<0，
∴a=27时，w取得最大值，
答：当商场降价27元时，商场每天盈利最大．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式．
27. 已知矩形边，P是矩形边上一点，连接，过点B作且，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，当P为的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，连接，当长最小时，求的值；
【延伸探究】（3）连接并延长交于点F，平分．
①请在图3中用尺规作图作出符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②直接写出此时的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）如图1，当P为的中点时，得出，根据四边形是矩形，得出，结合，证明，根据，即可求解；
（2）如图，取的中点O，以为半径作，根据，得出点E在上运动，根据三角形三边关系得出，从而得出当三点共线时，，此时长最小，此时，，根据勾股定理算出，得出，证明，结合（1）中，根据，即可求解；
（3）①以点D为圆心，为半径作交的延长线于点Q，即可作出；再分别以点C、Q为圆心，大于的一半为半径作圆交于两点，连接交于点R，直线即为线段的垂直平分线，点R即为中点；以点R为圆心，为半径画圆交于点E，连接并延长交于点F，则平分即为所求．
②如图，连接交于点H，证明，根据相似三角形的性质得出，解出，再根据同弧所对的圆周角相等得出，结合（1）中，得出，即可求解．
【详解】（1）如图1，当P为的中点时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）如图，取的中点O，以为半径作，
∵，
即，
则点E在上运动，
∴，
当三点共线时，，此时长最小，
此时，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
故当长最小时，的值为；
（3）①以点D为圆心，为半径作交的延长线于点Q，即可作出；
再分别以点C、Q为圆心，大于的一半为半径作圆交于两点，连接交于点R，直线即为线段的垂直平分线，点R即为中点；
以点R为圆心，为半径画圆交于点E，连接并延长交于点F，则平分即为所求．
理由：由作图可得，，，
∴，
由作图可得，点在上，故四点共圆，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
即平分．
②如图，连接交于点H，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，尺规作图-复杂作图等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象．
28. 如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，点
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据使的内心恰好在直线上，得出平分，即，过点作轴的平行线交于点，证出，求出直线的表达式设点，则点，根据，列方程求解即可；
（3）由抛物线的表达式知，点，得出，设点，根据，直线的表达式为：，求出直线的表达式，从而求出点，，得出的最大值为，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出取得最大值时，取得最小值即可解答．
【小问1详解】
解：将代入得：，
解得：，
故抛物线对应的函数表达式为：．
【小问2详解】
存在，理由：
∵使的内心恰好在直线上，
则平分，即，
过点作轴的平行线交于点，
则，
则，
设直线的表达式为：，
由点的坐标得，，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
由点的坐标得，，
解得：，
则点；
【小问3详解】
∵抛物线的表达式，
令，则，解得：或，
∴点，
则，
设点，
∵，直线的表达式为：，
设直线的表达式为，
将点代入，得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
令，则，解得：，
则点，
则，
故的最大值为，
∵，则，
则，
故取得最大值时，的最小值为：，
即的最小值为：．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
甲 丙
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
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