2024年山西省太原市迎泽区太原师范学院附属中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年山西省太原市迎泽区太原师范学院附属中学中考三模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考生注意：本试卷为闭卷考试，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中是负数的是（ ）
A B. C. 0D.
2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 五一期间，太原文旅市场再次收获一张漂亮的成绩单．主要景区、公园、博物馆、街区、夜间文化旅游消费聚集区接待市民游客达568.52万人次，同比增长5.9%．数据“568.52万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
8. 如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024年元旦档上映.电影的点映及预售总票房突破400万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，两天后累计票房收入达4000万元．设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，将扇形沿方向平移，使点平移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
12. 为适应电商行业的快速发展，快递行业的自动分拣系统在飞速进步．如图是某快递公司太原转运中心快递分拣机器人的工作区域，机器人将快递根据地址分拣至不同站点的指定位置，再由快递车统一发往相应站点．若记杏花岭区富力城站点的位置为，迎泽区铜锣湾站点的位置为，则娄烦县站点的位置可记作______．
13. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是______．
14. 如图，在菱形中，，分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧两弧M和点N，作直线交菱形对角线于点E，连接，则的度数为______．
15. 如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则长为______．

三、解答题（共5小题，每小题3分，共15分）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
17. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当，时，直接写出四边形的面积是______．
18. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）：
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
19. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为． 某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
20. 如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁，A地和B地都有休闲步道与桥梁相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁和休闲步道（点A，E，F，B在同一水平直线上），桥梁与桥梁平行，且．经过测量，桥梁的一端C在A地的北偏东方向，另一端D在B地的北偏西方向，B地在A地的正东方向．A，B两地相距870米，A，C两地相距650米．
（1）求桥梁的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
（2）周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．（参考数据：）
21. 阅读下列材料并完成任务．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据”是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（3）如图3，在中，，点I是的一个旁心且在BC边的下方．
①利用尺规作出旁心I；（保留作图痕迹，不写作法）

②若，外接圆的半径为2，则______．
22. 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米．
（1）按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示．
①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离；
②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．
23. 综合与实践
已知，矩形矩形，如下图所示摆放，点和点重合，其中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与交于点，与直线交于点，，交于点，
（1）如图2，旋转过程中与始终相等，请证明该结论；
（2）①图2中，延长，，交于点，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点落在线段上时（如图3）与交于点，此时=________；
（3）继续旋转矩形，当，，三点共线时，连接，在图4上将图形补全，标注相应字母，并直接写出此时的长．
太原师范学院附属中学2023-2024学年第二学期
初三年级中考数学学情诊断
（考生注意：本试卷为闭卷考试，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中是负数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可．
【详解】解：A．是正数，不符合题意；
B．是正数，不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意；
D．是负数，符合题意；
故选：D．
2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的运算法则，单项式乘以单项式运算法则以及完全平方公式进行计算，即可判断答案．
【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B、，所以B选项错误，不符合题意；
C、计算正确，符合题意；
D、，所以D选项错误，不符合题意．
故选C．
4. 五一期间，太原文旅市场再次收获一张漂亮的成绩单．主要景区、公园、博物馆、街区、夜间文化旅游消费聚集区接待市民游客达568.52万人次，同比增长5.9%．数据“568.52万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将万等于写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：万等于．
故选C．
5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，，
，，
，
，
故选：A．
6. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故选：A
7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据两个函数的图象的相对位置，结合点B的横坐标，得到正比例函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标的范围即可求解．
【详解】解：根据图象，当点B的横坐标为，时，x的取值范围是，
故选：A．
8. 如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质可知，再根据圆周角的性质及直角三角形的性质即可解答．本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直角三角形的性质，掌握切线的性质及圆周角的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故选．
9. 国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024年元旦档上映.电影的点映及预售总票房突破400万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，两天后累计票房收入达4000万元．设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增长率记作x，分别求得三天的收入，根据三天累计票房收入达4000万元，列方程即可求解．
【详解】解：设票房收入的日均增长率为x，根据题意得：
，
故选：C．
10. 如图，将扇形沿方向平移，使点平移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，设与交于点，连接，则，由，可得，则，可得， ，，由平移的性质，得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，设与交于点，连接，

点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
由平移性质，得，即，
∵，
∴，
∴ ，，
由平移的性质，得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，余弦，正切，扇形面积．正确表示阴影部分面积是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 为适应电商行业的快速发展，快递行业的自动分拣系统在飞速进步．如图是某快递公司太原转运中心快递分拣机器人的工作区域，机器人将快递根据地址分拣至不同站点的指定位置，再由快递车统一发往相应站点．若记杏花岭区富力城站点的位置为，迎泽区铜锣湾站点的位置为，则娄烦县站点的位置可记作______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标的应用，根据题意正确建立直角坐标系成为解题的关键．
先根据记杏花岭区富力城站点的位置为，迎泽区铜锣湾站点的位置为的位置建立直角坐标系，然后确定则娄烦县站点的位置即可．
【详解】解：根据迎泽区铜锣湾站点和杏花岭区富力城站点的位置建立如图直角坐标系：
所以娄烦县站点的位置可记作．
故答案为：．
13. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故答案为：
14. 如图，在菱形中，，分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧两弧M和点N，作直线交菱形对角线于点E，连接，则的度数为______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．利用基本作法得到得垂直平分，即，得，再利用菱形的性质得到，可得，最后利用外角的性质得出的度数．
【详解】解：由作法得垂直平分，即，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：
15. 如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．过作交的延长线于，过作于，先求出，证和相似得，由此得，证和相似得，由此得，，则，再证为的中位线，则，，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：过点作交的延长线于，过点作于，如下图所示：

四边形为正方形，，
，，
在中，，，由勾股定理得：，
，
，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
，
，
即，
，，
，
点为正方形对角线的交点，
，
，，
，
为的中位线，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：
三、解答题（共5小题，每小题3分，共15分）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）先计算特殊角的三角函数、二次根式、绝对值及零指数幂，再计算加减可得；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：方程两边都乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
17. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当，时，直接写出四边形的面积是______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
（2）根据三角形的面积公式得出的面积，进而利用三角形中线得出的面积，进而得出，进而解答即可．
【小问1详解】
证明：∵，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在与中， ，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵，点D是的中点，，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积=．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质解答．
18. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）：
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
【解析】
【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；
（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；
（3）根据乙城市平均数可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，
∵有3家，有7家，有8家，
∴中位数落在上，
∴；
（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个，
∴；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键．
19. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为． 某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为，
根据题意可得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
20. 如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁，A地和B地都有休闲步道与桥梁相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁和休闲步道（点A，E，F，B在同一水平直线上），桥梁与桥梁平行，且．经过测量，桥梁的一端C在A地的北偏东方向，另一端D在B地的北偏西方向，B地在A地的正东方向．A，B两地相距870米，A，C两地相距650米．
（1）求桥梁的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
（2）周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）桥梁的长度约为8.3米
（2）小明先到达B地，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）作，，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论；
（2）解直角三角形得到米，（米，求得小明所用时间为（分钟），爷爷所用时间为（分钟），比较即可得到结论．
【小问1详解】
解：作，．
可得四边形是矩形，，
由题意易证，．
在中，，，，
∴，
∴．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
∴，．
答：桥梁的长度约为8.3米．
【小问2详解】
在中，，，
∴．
分钟．
分钟．，
所以，小明先到达B地．
21. 阅读下列材料并完成任务．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据”是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（3）如图3，在中，，点I是的一个旁心且在BC边的下方．
①利用尺规作出旁心I；（保留作图痕迹，不写作法）

②若，外接圆的半径为2，则______．
【答案】（1）角平分线上的点到这个角两边的距离相等
（2）证明过程的剩余部分见解析
（3）①见解析：；②．
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、尺规作图、全等三角形等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
（1）由证明过程“ BO平分，，得到”可知依据角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
（2）利用三角形全等可得再进行线段间的运算即可；
（3）①利用尺规作出∠A的平分线，∠C外角的平分线，交点即是旁心I；②构造特殊直角三角形去求解即可．
【小问1详解】
解：上述证明过程中的“依据”是指角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，同理可得
∴．
【小问3详解】
解：①如图：旁心I即为所求；

②如图所示：
∵
∴外接圆的圆心是的中点，
∴外接圆的半径为2，
∴，
∴
∴，，
∵平分，
∴是等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
设，则，
∴，即
∴，
∴．
故答案为： ．

22. 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米．
（1）按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示．
①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离；
②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）①两根支撑柱之间的水平距离为9米；②“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米．
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、求二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由题意得、、，设抛物线的解析式为，将代入解析式求得a即可解答；
（2）①根据题意可得，解方程即可得到，从而即可算出两根支撑柱之间的水平距离；②设N点坐标为，则，，进而得到，然后根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴（米），，
∴点，点，
根据题意和图象可得，顶点E的坐标为，
∴可设抛物线的解析式为：，
把点代入解析式可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：①当时，，解得，
（米），
∴两根支撑柱之间的水平距离为9米；
②设N点坐标为，则，，
∴，
∵，，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米．
23. 综合与实践
已知，矩形矩形，如下图所示摆放，点和点重合，其中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角，直线与交于点，与直线交于点，，交于点，
（1）如图2，旋转过程中与始终相等，请证明该结论；
（2）①图2中，延长，，交于点，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点落在线段上时（如图3）与交于点，此时=________；
（3）继续旋转矩形，当，，三点共线时，连接，在图4上将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时的长．
【答案】（1）见详解 （2）①菱形，理由见详解，②
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由矩形的性质结合，证明即可；
（2）①先证明四边形为平行四边形，由“平行线+角平分线”得等腰，即可得，即可得证；
②由矩形矩形，求得，设，则，则在中，由勾股定理得∴，解得：，故；
（3）过点Q作的垂线交于点R，于点K，先证明，则可求，由，，得，由，可求得，则，由，得，代入求得，在中，由勾股定理求得，因此，在中，．
【小问1详解】
证明：连接，
∵四边形，为矩形，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解①：四边形 为菱形
如图，
∵四边形，为矩形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②如图，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：补全图形如图：
过点Q作的垂线交于点R，于点K，
∵四边形，为矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理求得，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
平均数
中位数
甲城市
10.8
乙城市
11.0
11.5
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．
三角形的旁心
三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心．

旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F，则．
下面部分证明过程：
∵BO平分，，，
∴．（依据）
同理可得，．
…
平均数
中位数
甲城市
10.8
乙城市
11.0
115
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．
三角形的旁心
三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心．

旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F，则．
下面部分证明过程：
∵BO平分，，，
∴．（依据）
同理可得，．
…