安徽省合肥市2024届高三下学期高考模拟数学试题

这是一份安徽省合肥市2024届高三下学期高考模拟数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则( )
A. 5B. C. 13D.
3.已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线C：的焦点为F，A为x轴上一点，若，且抛物线C经过线段AF的中点，则( )
A. 8B. C. 4D.
5.已知向量，，，若，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，过作平面，使得平面，若平面，则直线l与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，P为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF上存在一点Q，使得，线段PQ的垂直平分线与射线AF交于点H，则( )
A. 1B. 2C. aD. 2a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某校高一年级的某次月考中，甲、乙两个班前10名学生的物理成绩单位：分，满分100分如表所示，则
A. 甲班前10名学生物理成绩的众数是88
B. 乙班前10名学生物理成绩的极差是24
C. 甲班前10名学生物理成绩的平均数比乙班前10名学生物理成绩的平均数低
D. 乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是84
10.已知函数其中，的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
11.下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______.
①定义在R上的函数不是常值函数；
②；
③对任意的，均存在，使得成立.
13.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.
14.已知半径为的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体ABCD的棱与球O的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，
求和的通项公式；
设，求数列的前n项和
16.本小题15分
如图，在多面体中，已知四边形ABCD是菱形，，平面ABCD，平面ABCD，
在线段AF上是否存在一点G，使得平面平面CEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
求二面角的余弦值.
17.本小题15分
某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案：方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测.方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测.
分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；
求两种方案检测次数相等的概率；
已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好.
18.本小题17分
已知双曲线C：过点其中，且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为
求双曲线C的标准方程；
记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线C上一动点异于顶点，M为线段AP的中点，Q为直线上一点，且，过点Q作于点N，求面积的最大值.
19.本小题17分
函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域D内有且仅有一个交点，对于且，且，若都有，则称与关于点互穿；若都有则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为R，导函数分别为与，与的图象在R上有且仅有一个交点，与的图象在R上有且仅有一个交点
若，，试判断函数与的位置关系.
若与关于点互回，证明：与关于点互穿且在上恒成立.
研究表明：若与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：为奇数
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合，，
则
故选：
结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设，a，，则，所
以，解得或，
所以
故选：
设，a，，利用复数的运算法则和复数相等，建立a，b的方程组，直接求出a，b，从而可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，
则恰有2个队完成该任务的概率为：
故选：
利用相互独立事件概率乘法公式能求出恰有2个队完成该任务的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：抛物线C：，即的焦点为，
设，则AF的中点为，
由抛物线C经过线段AF的中点，可得，
即，
又，可得，
解得
故选：
求得抛物线的焦点，由线段的中点坐标公式和两点的距离公式，解方程可得所求值．
本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：向量，，，，，
则，，解得，，
故，，
，，
故在上的投影向量为：
故选：
根据已知条件，结合向量垂直、平行的性质，求出m，n，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为平面，平面，平面平面，
所以，所以即直线l和直线所成角或其补角，
在中，，，，
由余弦定理得，
故直线l与直线所成角的余弦值为
故选：
借助面面平行的性质可得线线平行，结合等角定理与余弦定理计算即可得解．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得，
由，可知，
所以，解得，可得，
对于，令，得；令，得，
可知直线经过点与点，
而函数的图象也过点与点，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与直线，
观察图象可知：的图象与直线恰有5个交点．
故选：
根据题意，将函数化简为，然后利用，取特殊的x值代入，求出a的值，进而求出的解析式，再利用函数图象加以研究即可得出答案．
本题主要考查函数的零点与方程的根、三角恒等变换公式、函数的图象与性质等知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设该椭圆的右焦点为E，连接EP，则，椭圆定义的应用
设，则，
易得，所以，所以，
又，所以，所以，
则对任意的点P，线段PQ的垂直平分线必过点E，等腰三角形三线合一性质的应用，
所以点E与点H重合，所以
故选：
设椭圆的右焦点E，由椭圆的定义可得，，则，由题意，所以线段PQ的垂直平分线必过点E，即点E与点H重合，可得
本题考查椭圆的定义、方程、几何性质，考查逻辑思维能力、运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，甲班前10名学生物理成绩的众数是88，故A正确；
对于B，乙班前10名学生物理成绩的极差是，故B正确；
对于C，甲班前10名学生物理成绩的平均数为：
乙班前10名学生物理成绩的平均数为：
，
甲班前10名学生物理成绩的平均数与乙班前10名学生物理成绩的平均数相同，故C错误；
对于D，，
乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是第8个，即84，故D正确．
故选：
利用众数的定义判断A；利用极差的定义判断B；利用平均数的定义判断C；利用三四分位数的定义判断
本题考查众数、极差、平均数、三四分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：由题意知
，
令，解得或或，
由题图可知函数的一个极值点位于区间，
因此，
又，
所以，
解得，故，
因此A，B正确，C错误；
选项D，由题图可知，
若取，，
则，解得，因此D错误．
故选：
先利用求导公式得到，再根据函数的一个极值点位于区间，得到，得到m，n的大小关系，即可判断A，B，C选项的正误；根据题图得到，然后对m，n取特殊值，说明即可判断
本题考查了导数的综合运用及数形结合思想，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数的导数为，
当时，，得，
故，可得在上是减函数．
对于A，由在上是减函数，可知，
即，整理得，故A项正确；
对于B，由在上是减函数，可知，
即，整理得，故B项正确；
对于C，因为锐角满足，所以，整理得，故C项不正确；
对于D，锐角满足，所以，
即成立，故D项正确．
故选：
根据函数在上是减函数，通过比较与、与的大小，判断出A、B两项的正误；根据锐角满足，结合诱导公式判断出C、D项的正误．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、三角函数的定义与性质等知识，属于中档题．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：因为，
所以的图象关于对称，
因为函数的定义域为R且对任意的，均存在，使得成立，
故满足题意的一个函数答案不唯一
故答案为：答案不唯一
由已知可知函数的图象关于对称，结合基本初等函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，又因为，
所以，
可得，
所以，
整理可得：，即，
在锐角三角形中，，即，即，
又因为，所以，
，
因为，
所以
故答案为：
由半角公式及两角和的正弦公式，余弦公式，可得，进而可得，再由锐角三角形中角B的范围，进而可得的范围，求出的范围．
本题考查半角公式的应用及两角和，差的正弦公式的应用锐角三角形的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设正四面体ABCD的棱长为a，则正四面体ABCD的高为，
当正四面体ABCD内接于球O时，a最小，
此时，得，
当球O与正四面体ABCD的每条棱都相切时，a最大，
因为球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，所以当球O与正四面体ABCD的每条棱都相切时，
借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，
因为球心O到正四面体ABCD的顶点的距离等于正四面体ABCD的高减去正四面体ABCD内切球的半径，
所以球心O到正四面体ABCD的顶点的距离为，
利用勾股定理可得，得
故正四面体ABCD的棱长的取值范围为
故答案为：
首先利用正四面体和球的关系，根据两种特殊的情况求出a的最大值和最小值，进一步求出a的取值范围．
本题考查的知识点：正四面体和球的关系，勾股定理的应用，主要考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：设数列的公差为d，数列的公比为，
则由，，，
得，，两式相除得，
所以，，
所以，
由得，，
所以，
所以，
所以
【解析】根据等差，等比数列的通项公式和前n项求和公式建立方程组，解之即可求解；由可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求解．
本题主要考查路灯处数列的通项公式，求和公式及等比数列的通项公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
16.【答案】解：当点G是线段AF的中点时，可使平面平面CEF，理由如下：
连接AC与BD，相交于点O，连接OG，DG，
因为菱形ABCD，所以点O是AC的中点，
所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又，，所以四边形DEFG是平行四边形，
所以，
又，OG、平面BDG，，DE、平面CEF，
所以平面平面
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面BCF的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面CEF的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为
【解析】连接AC与BD，相交于点O，连接OG，DG，分别证明，，再由面面平行判定定理的推论，即可得证；
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面平行的判定定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设方案一所需检测次数为X，则X的所有可能取值为2，3，
当时，有两种情况：①第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为，
②第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阳性，其概率为，
故，
当时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者，
故，
故X的分布列为：
故，
设方案二所需检测次数为Y，则Y的所有可能取值为1，2，3，4，
故，，，，
故Y的分布列为：
故；
由知两种方案的检测次数均为2的概率为，
两种方案的检测次数均为3的概率为，
故两种方案检测次数相等的概率为；
设方案一、方案二的检测总费用分别为，，则，，
则方案一检测总费用的期望值元，
方案二检测总费用的期望值元，
因为，
所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好．
【解析】设方案一所需检测次数为X，则X的所有可能取值为2，3，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求出，设方案二所需检测次数为Y，则Y的所有可能取值为1，2，3，4，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到Y的分布列，再结合期望公式求出；
根据独立事件的概率乘法公式求解；
设方案一、方案二的检测总费用分别为，，利用期望的性质求出，，再比较两者大小即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望的性质，属于中档题．
18.【答案】解：因为双曲线C过点，
所以，
易知双曲线C的渐近线方程为，
所以双曲线C上的点到两条渐近线的距离之积为，
此时，
解得，
所以，①
又，②
联立①②，
解得，，
则双曲线C的标准方程为；
由知，，
易知直线PA的斜率存在且不为0，
不妨设直线PA的方程为，，，
联立，消去y并整理得，
此时，
即，
由韦达定理得，
所以，
因为点P在直线PA上，
所以，
因为M为线段PA的中点，
所以，
可得，
因为，
所以，
因为，
所以直线OQ的方程为，
则，
可得直线QN的方程为，
即，
所以直线QN过定点，
所以点N在以OF为直径的圆上，
易知该圆的圆心为，半径为，
当点N到直线AB的距离为时，点N的坐标为或，
因为点N在直线OM上，
此时，
解得或，
其满足，
则点N到直线AB的距离的最大值为，
故面积的最大值
【解析】由题意，将点E的坐标代入双曲线的方程中，利用点到直线的距离公式以及a，b，c之间的关系求出a和b的值，进而可得双曲线C的标准方程；
设出直线PA的方程，将直线PA的方程与双曲线方程联立，结合根与系数的关系以及中点坐标公式得到点M的坐标，结合推出直线ON的方程，根据直线QN过定点，得到点N在以OF为直径的圆上，再按部就班进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，当且仅当时取等号．
又与的图象在R上有且仅有一个交点，
函数与关于点互回．
证明：设，，则，
设，则，故
①若，均大于零，
，
，单调递增，
又
，，
，，
与关于点互穿且在上恒成立．
②若，均小于零，
，，单调递减，
又，，，
，
与关于点互穿且在上恒成立．
综上，与关于点互穿且在上恒成立．
证明：设，，
则，，
易知，，
由可知与关于点互回．
，，与的图象交于点
由得与关于点互穿，
由得与关于点互回，
易得当i为奇数时，与关于点互回，
，，有为奇数
由题意得对任意正整数i恒成立，
；，
，…，
，
累乘得，
，
易知，
为奇数，
为奇数，
，为奇数，
即为奇数，得证．
【解析】设，求导判断其单调性，再由函数互回的定义做出判断；
分，均大于零，若，均小于零两种情况，结合函数互回、互穿的定义分别证明即可；
设，，分别求导，确定与，与的关系，由函数互回及互穿的定义得出对任意正整数i恒成立，再由累乘法即可证明．
本题以新定义的函数的位置关系“互回”“互穿”为背景设题，考查不等式的证明，考查考生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力以及应用意识和创新意识，属于难题．甲班
67
72
76
83
85
87
88
88
89
90
乙班
70
77
77
77
81
83
84
89
93
94
X
2
3
P
Y
1
2
3
4
P