湖南省岳阳市湘阴县第一中学2023-2024学年高三下学期期中数学试卷

这是一份湖南省岳阳市湘阴县第一中学2023-2024学年高三下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z的共轭复数为，且满足，则z在复平面内的对应点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设，，则( )
A. B. C. D.
3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡五千四百人，西乡四千四百八十人，南乡五千二百四十人，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有5400人，西乡有4480人，南乡有5240人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是( )
A. 102B. 112C. 130D. 136
4.下列选项中叙述正确的是( )
A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角B. 锐角是第一象限的角
C. 第二象限的角比第一象限的角大D. 终边不同的角同一三角函数值不相等
5.设等差数列的前n项和为，若，则满足的正整数n的值为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
6.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积单位：分别为x，y，z，且，三种颜色涂料的粉刷费用单位：元分别为a，b，c，且，在不同的方案中，最低的总费用单位：元是( )
A. B. C. D.
7.某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为( )
A. 24B. 10C. 16D. 12
8.设，其中，则D的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
10.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，的面积为S，其中，，下列选项正确的是( )
A. 若，则B. S的最大值为
C. D. 角A的最小值为
11.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与9互质，则( )
A. 若n为质数，则B. 数列单调递增
C. 数列的最大值为1D. 数列为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知定义域为R的偶函数，满足对任意的，有，且当，时，若函数在上恰有三个零点，则实数a的取值范围是______.
13.已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，，有恒成立，则实数a的取值范围是______.
14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线，，围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
设数列的前n项和为，且
求数列的通项公式
设数列满足，且数列的前n项和为，求证：
16.本小题15分
如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且
Ⅰ证明：直线平面PBC；
Ⅱ若四棱锥的体积为2，E是线段CD的中点，求直线PE与平面所成角的正弦值．
17.本小题15分
已知函数为常数，是函数的一个极值点．
Ⅰ求实数a的值；
Ⅱ如果当时，不等式恒成立，求实数m的最大值；
Ⅲ求证：…
18.本小题17分
已知抛物线E：的焦点为F，H为E上任意一点，且的最小值为
求抛物线E的方程；
已知P为平面上一动点，且过P能向E作两条切线，切点为，M，N，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，且满足
①求点P的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过P可以作圆Q的两条切线，，切线，分别交抛物线E于不同的两点，和点，，且，，，为定值？若存在，求圆Q的方程，不存在，说明理由.
19.本小题17分
龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.
经计算可得：，，
因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
记中所得概率的值构成数列
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，是一个确定的实数，则称数列收敛于根据数列收敛的定义证明数列收敛.
参考公式：，
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设，则，
代入，得，
，
在复平面内的对应点的坐标为：，位于第二象限．
故选：
设，则，代入，利用复数相等的条件可得a，b的值，由此得答案．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：；；；
故选：
确定三个数的值的范围，利用中间量比较大小即可．
本题考查有理指数幂的化简求值，对数式的值的判断，考查计算能力．
3.【答案】B
【解析】解：北乡有5400人，西乡有4480人，南乡有5240人，
现要按人数多少从三乡共征集378人，
需从西乡征集的人数是：
故选：
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：直角不属于任何一个象限，故A 不正确，
由于锐角是第一象限的角，故 B是正确的，
由于是第二象限角，是第一象限角，故 C不正确．
由于和的正弦值一样，而和的终边不同，故 D 不正确．
故选
锐角的取值范围是，利用象限角、象限界角、终边相同的角的概念．
本题考查象限角、象限界角、终边相同的角的概念，综合应用举反例、排除等手段，选出正确的答案．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
由，可得，，进而得到，，据此得到n的值．
【解答】
解：，
，
，
满足的正整数n的值为
故选：
6.【答案】A
【解析】解：三个房间的粉刷面积单位：分别为x，y，z，且，
三种颜色涂料的粉刷费用单位：元分别为a，b，c，且，
由，，得：
，
故，
，
故；
，
故，
故最低的总费用为，
故选：
结合选项，通过作差法比较大小即可．
本题考查简单的线性规划、作差法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：当乙值第一天与第二天时，
不同安排方法的种数为；
当乙值第二天与第三天时，
不同安排方法的种数为；
当乙值第三天与第四天时，
不同安排方法的种数为；
当乙值第四天与第五天时，
不同安排方法的种数为
则不同安排方法的种数为
故选：
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：的几何意义是两点，间的距离，
令，，
D的几何意义是图象上一点A，到图象上一点B的距离，再加上B到焦点的距离，再加
即，又两点之间线段最短，
，最小时，AF垂直于在处切线，此时，
，
，，
故选：
由已知结合两点间的距离公式，对称性的应用及抛物线的定义及性质即可求解．
本题主要考查了两点间距离公式，对称性及导数几何意义在距离最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由不等式，解得；由不等式，解得，
因为，，所以，，，
故选：
根据不等式求解，明确集合的元素，由题意以及集合的交并补运算，可得答案．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
对于A，由余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；
对于D，利用基本不等式可求得，利用余弦定理可求，结合范围，利用余弦函数的性质即可求解；
对于B，结合D得，进而根据三角形的面积公式即可求解；
对于C，由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解．
【解答】
解：
对于A，若，，，
由余弦定理，可得，可得，
所以的面积为，故A正确；
对于D，因为，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
因为，可得
所以角A的最大值为，故D错误；
对于B，由D得，，且时，，此时，可得，为角A的最大值，
所以的面积为，故B正确；
对于C，因为BC边上的中点为M，可得，
所以两边平方，可得，
可得，解得，故C正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】解：因为n为质数，故小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目为，
故此时，故A正确．
因为，，所以，故数列不是单调递增，故B错误；
小于等于的正整数中与互质的数为1，3，5，…，，
个数为，
所以，
时，，
即时，数列取得最大值1，C正确；
小于等于的正整数中与互质的数的数为1，2，4，5，…，，，其个数为，
故，
则，故数列为等比数列，D正确．
故选：
根据的定义逐项计算后可得正确的选项．
本题以新定义为载体，主要考查了数列单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】令，求出，可得函数的周期为2，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
【解答】
解：，
且是定义域为R的偶函数，
令可得，
又，
则有，
是最小正周期为2的偶函数．
当时，，
若，则，
则，
即，，
若，则，
即，
即，，
综上，，
由函数，
得函数，
设，
作出函数和的图象如图，
要使函数在上恰有三个零点，
则，
当，则，
则，，
当，则，
则，，
由整理得，
由判别式，
整理得得由图象知不合适或，
由整理得，
由判别式
整理得得由图象知不合适或，
综上，要使函数在上恰有三个零点，
则，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
可得，，
则，
由在椭圆上，可得，
即有，
由恒成立，可得，
解得，即a的取值范围是
故答案为：
由向量数量积的坐标表示和椭圆的性质，推得，由不等式恒成立思想可得a的取值范围．
本题考查椭圆的性质和向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：作出曲线在第一象限的图象，如图所示：
当高度为h时，双曲线与渐近线，绕y轴旋转一周所形成的图形是圆环，
设小圆的半径为r，则在直线上，
所以，解得；
设大圆的半径为R，则在双曲线上，
所以，解得，
所以圆环的面积为，
即圆环的截面积为定值；
根据祖暅原理知，旋转体的体积是
故答案为：
作出曲线在第一象限的图象，当高度为h时，双曲线与渐近线绕y轴旋转一周所形成的图形是圆环，求出圆环的面积，根据祖暅原理求出旋转体的体积．
本题考查了旋转体的体积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：依题意，由，可得，
当时，，解得，
当时，，
整理，得，，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
证明：依题意及，由可得
，
则……，
…，
两式相减，可得
…
…
，
，故得证．
【解析】本题第题根据公式进行计算可发现数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可进一步得到数列的通项公式；
第题先根据题干及第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和为的表达式，然后运用放缩法即可证明不等式成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及求和，数列与不等式综合问题．考查了转化与化归思想，分类讨论思想、放缩法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
16.【答案】Ⅰ证明：，，
，为正三角形，，
又，，，又，，
，，平面
Ⅱ解：设点P到平面ABCD的距离为h，
四棱锥的体积为2，，解得
以A为原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，则，
设，由，，
可得，解得，，即，
又由Ⅰ可知，是平面PBC的一个法向量，
，
直线PE与平面PBC所成角的正弦值为
【解析】Ⅰ推导出，，，从而，由此能证明平面
Ⅱ设点P到平面ABCD的距离为h，由四棱锥的体积为2，解得以A为原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PE与平面PBC所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：Ⅰ由题意得：，
是函数的一个极值点，
，解得：，
Ⅱ由Ⅰ得，定义域为，
问题等价于在上恒成立，
构造函数，，
则，
令，，
则，
时，，在递增，
，
，
在递增，
，，
实数m的最大值为2；
Ⅲ由Ⅱ得：时，，即，
整理得，
令，则，
即，
时，，
时，，
…，
时，，
将以上不等式两端分别相加得：
……，
即…
【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，恒成立问题，是一道综合题．
Ⅰ由题意得：，由是函数的一个极值点，得，解得：，
Ⅱ问题等价于在上恒成立，构造函数，，求导分析可得在递增，进而求出m的范围．
Ⅲ由Ⅱ得：时，，可得，令，则，即可证明．
18.【答案】解：设抛物线E的准线，H为抛物线上任意一点过H作上l于点，
由抛物线的定义得：，
所以当H与原点O重合时，，所以，
所以抛物线E的方程为
设，过点P且斜率存在的直线l：，
联立，消去y，整理得：，
由题可知，即，
，是该方程的两个不等实根，由韦达定理，，
又因为，所以，
由，有，所以，
因为，，，
所以点P的轨迹方程为
由知，
设：，：，且，
所以式即为
又，，，，
由韦达定理，，，
所以，
又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，
所以，即
同理，
所以，分别是方程的两个根，
所以由韦达定理，，
所以，
若为定值，则，又因为，所以，
所以圆Q的方程是：
【解析】根据抛物线的定义结合的最小值为1得出p，可得抛物线E的方程；
①设，过点P且斜率存在的直线l：与抛物线联立，由，得出，可得点P的轨迹方程；
②设：，：，且，根据直线与圆的相切得到，分别是方程的两个根，由韦达定理得到，的关系，用表示出，由为定值解出，从而求得圆的方程．
本题主要考查抛物线的性质及标准方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：剔除第10天数据的，，
，，
所以b̂，
故â，
所以ŷ；
由题意可知，其中，，
所以，又，
所以是首项为1的常数列，故，
所以，又，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
故，即；
①当n为偶数时，单调递减，最大值为，
当n为奇数时，单调递增，最小值为，
综上：的最大值为，最小值为；
②证明：对任意ɛ总存在正整数其中表示取整函数，
当时，，
所以数列收敛．
【解析】求出剔除第10天数据的，，，，代入公式计算b̂，â的值，进而得到y关于t的经验回归方程；
由题意可知，再构造等比数列求解即可；
①利用数列的函数特征求解；
②利用数列收敛的定义求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了数列的递推式，以及等比数列的性质，属于难题．日期t
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