2022年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学一模试卷

这是一份2022年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）4的相反数是（ ）
A．﹣4B．4C．D．
2．（3分）如图，由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．a2•a3＝a5
4．（3分）如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．﹣3.2D．
5．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式
B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是
D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件
6．（3分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
7．（3分）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A．2πB．C．4πD．π
8．（3分）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．﹣2＜x＜4C．x＜﹣2D．x＞4
二、填空题（8小题，每题3分，共24分。）
9．（3分）2021年某超市年收入总值约15000元，将15000元这个数据用科学记数法表示为 元．
10．（3分）的平方根为 ．
11．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝ °．
13．（3分）已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 ．
14．（3分）一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根之和为 ．
15．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，则当S△ADE＝1时，四边形DBCE的面积是 ．
16．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，共计102分。）
17．（10分）（1）计算：3tan45°﹣（π﹣1）0+（）﹣2；
（2）解不等式组：．
18．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中a＝+1．
19．（8分）已知：如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AC＝3，CF＝2时，求AE的长．
20．（8分）目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高．现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，一共调查的天数为 天；扇形图中，表示“轻度污染”的扇形的圆心角为 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量未达到优的天数．
21．（8分）某城市新冠疫情严重，波及周围部分城市，我市为加强防控，要求学生进校必须戴口罩、测体温．某校开通了A、B、C三条人工测体温通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）某同学进校园时，由A通道通过的概率是 ；
（2）甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的概率．（用画“树状图”或“列表格”）
22．（8分）平行四边形ABCD的面积为4，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图（不写画法，保留画图痕迹）．
（1）如图1，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点，此时△DEN的面积为 ；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个四等分点，此时△DEN的面积为 ．
23．（8分）如图，在△ABC中，CA＝CB，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知BC＝，AB＝2．
（1）若OA＝2，求k的值；
（2）若BD＝BC，求OA的长．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是弧BD的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若弧BD的度数为120°，若AE＝6，求弧BC的长．
25．（10分）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）直接写出点B的坐标 ，并求线段BC对应的函数表达式；
（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
26．（12分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△ADG与△BCG的形状是 三角形．
②若AD＝4，则BD＝ ．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k．
①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；
②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值 ．
27．（14分）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；
（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；
（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．
参考答案与试题解析
一、选择题（8小题，每题3分，共24分。）
1．（3分）4的相反数是（ ）
A．﹣4B．4C．D．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
4的相反数是：﹣4．
故选：A．
2．（3分）如图，由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：几何体的俯视图是横着的“目”字．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．a2•a3＝a5
【解答】解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．﹣3.2D．
【解答】解：∵≈2.65，﹣≈﹣3.16，
设点P表示的实数为x，由数轴可知，﹣3＜x＜﹣2，
∴符合题意的数为．
故选：B．
5．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式
B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是
D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件
【解答】解：A、为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用普查的方式，故选项A不符合题意；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故选项B不符合题意；
C、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，故选项C符合题意；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
【解答】解：如图，
∵∠1＝58°，a∥b，
∴∠3＝∠1＝58°．
∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，
∴∠A＝58°﹣24°＝34°．
故选：B．
7．（3分）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A．2πB．C．4πD．π
【解答】解：根据题意，圆锥的母线长＝＝2，
所以圆锥的侧面积＝×2π×1×2＝2π．
故选：A．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．﹣2＜x＜4C．x＜﹣2D．x＞4
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，
∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．
解得x＜﹣2或x＞4，
∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．
故选：A．
二、填空题（8小题，每题3分，共24分。）
9．（3分）2021年某超市年收入总值约15000元，将15000元这个数据用科学记数法表示为 1.5×104 元．
【解答】解：15000＝1.5×104，
故答案为：1.5×104．
10．（3分）的平方根为 ± ．
【解答】解：的平方根为±＝±．
故答案为：±．
11．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝ 32 °．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
故答案为32．
13．（3分）已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 3 ．
【解答】解：据题意得：（1+a+3+6+7）÷5＝4，得a＝3，
所以这组数据的众数是3．
故填3．
14．（3分）一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根之和为 ﹣2 ．
【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根之和为﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，则当S△ADE＝1时，四边形DBCE的面积是 8 ．
【解答】解：∵S△DOE：S△EOC＝1：3，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝9，
∴四边形DBCE的面积
＝S△ABC﹣S△ADE
＝9﹣1
＝8．
16．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
∵在Rt△AHD中，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共计102分。）
17．（10分）（1）计算：3tan45°﹣（π﹣1）0+（）﹣2；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝3×1﹣1+4
＝3﹣1+4
＝6；
（2）解不等式＜x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式2x+1≥5（x﹣1），得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
18．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中a＝+1．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝
＝．
19．（8分）已知：如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AC＝3，CF＝2时，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣2＝1．
20．（8分）目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高．现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，一共调查的天数为 30 天；扇形图中，表示“轻度污染”的扇形的圆心角为 36 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量未达到优的天数．
【解答】解：（1）调查的总天数为：15÷50%＝30（天），
扇形图中，表示“轻度污染”的扇形的圆心角为360°×＝36°，
故答案为：30，36；
（2）空气质量为“优”的天数为：30﹣15﹣3＝12（天），
补全图形如下：
（3）根据题意得：
×365＝219（天），
答：估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量未达到优的天数为219天．
21．（8分）某城市新冠疫情严重，波及周围部分城市，我市为加强防控，要求学生进校必须戴口罩、测体温．某校开通了A、B、C三条人工测体温通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）某同学进校园时，由A通道通过的概率是 ；
（2）甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的概率．（用画“树状图”或“列表格”）
【解答】解：（1）∵某校开通了A、B、C三条测体温的通道，
∴某同学进校园时，由A通道通过的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的结果有3种，
∴甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的概率为＝．
22．（8分）平行四边形ABCD的面积为4，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图（不写画法，保留画图痕迹）．
（1）如图1，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点，此时△DEN的面积为 ；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个四等分点，此时△DEN的面积为 ．
【解答】解：（1）如图1中，点N即为所求，S△DEN＝S△DEC＝S平行四边形ABCD＝，
故答案为：
（2）如图2中，如图，点N即为所求，S△DEN＝S△DEJ＝S平行四边形ABCD＝，
故答案为：．
23．（8分）如图，在△ABC中，CA＝CB，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知BC＝，AB＝2．
（1）若OA＝2，求k的值；
（2）若BD＝BC，求OA的长．
【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝2，
∴AE＝BE＝1．
在Rt△BCE中，BC＝，BE＝1，
∴CE＝＝＝，
∵OA＝2，
∴C点的坐标为：（，1），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝×1＝；
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝，
∴AD＝，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，1）．
∵点C，D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝m﹣，
∴m＝3，
∴OA＝3．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是弧BD的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若弧BD的度数为120°，若AE＝6，求弧BC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∵点C是弧BD的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠AEC＝∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，BC，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD＝120°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠COB＝60°，
∴∠DAC＝∠OAC＝∠COB＝30°，
在Rt△AEC中，AE＝6，
∴AC＝＝＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝8，
∴OB＝AB＝4，
∴弧BC的长＝＝π，
∴弧BC的长为π．
25．（10分）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）直接写出点B的坐标 （80，100） ，并求线段BC对应的函数表达式；
（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），
设线段BC的表达式为：y＝kx+b，
将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，
解得，
故线段BC对应的函数表达式为：y＝5x﹣300；
故答案为：（80，100）；
（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，
当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，
故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，
当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤6000．
故当x＝110时，w的值最大；
综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．
26．（12分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△ADG与△BCG的形状是 等腰 三角形．
②若AD＝4，则BD＝ 8 ．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k．
①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；
②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值 ．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是和谐四边形，BD是和谐对角线，AD是和谐边，
∴BG＝DG＝AD＝BC，
∴△ADG与△BCG的形状是等腰三角形；
②∵AD＝4，
∴BD＝2AD＝8，
故答案为：等腰；8；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BC＝AD＝4，AB＝k＝2，
∴BC＝2AB，
∴四边形ABEC是和谐四边形；
②存在，理由如下：
当AC＝2CD时，四边形ABCD是和谐四边形，
∵AD＝4，CD＝AB＝k，
∴AC＝2k，
∴AC2﹣DC2＝AD2，
∴4k2﹣k2＝16，
解得k＝±（负值舍去），
∴k＝；
当AC＝2AD时，四边形ABCD是和谐四边形，
∵AD＝4，CD＝AB＝k，
∴AC＝8，
∴k2＝82﹣42，
解得：k＝±4（负值舍去），
∴k＝4；
∴k的值为或4时，四边形ABCD是和谐四边形；
（3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边，
∴AD＝DG，
∴∠DAG＝∠AGD，
∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠ACF，
∴∠DAG＝∠AGD＝∠ACF＝∠AFC，
∴∠ADG＝∠CAF，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△ADB∽△ACE，
∵AB＝CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC＝AD，
作DM⊥AC于M，如图3所示：
∵AD＝DG，
∴AM＝GM，
设AM＝x，则AG＝2x，
∴AC＝2AG＝AD＝4x，
∴CM＝3x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
DM＝＝x，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：
CD＝＝＝2x，
∵CD＝AB＝4，
∴2x＝4，
∴x＝，
∴AD＝4x＝，
∴AD＝k＝．
故答案为：．
27．（14分）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；
（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；
（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6，
∵x＝﹣＝1，
∴抛物线对称轴为直线x＝1；
（2）设D（1，n），
∵抛物线y＝2x2﹣4x﹣6交y轴于点C，
∴C（0，﹣6），
∵B（3，0），
∴BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，
当∠CBD＝90°时，则BC2+BD2＝CD2，
∴45+n2+4＝n2+12n+37，
解得：n＝1，
∴D（1，1）；
当∠BCD＝90°时，则BC2+CD2＝BD2，
∴45+n2+12n+37＝n2+4，
解得：n＝﹣，
∴D（1，﹣）；
∴所有符合条件的点D的坐标为（1，1）或（1，﹣）；
（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，
S四边形BOCG＝2S△BCO＝2××3×6＝18，
在Rt△BCO中，BC＝＝＝3，
∵OG⊥BC，
∴×BC×OG＝18，
∴OG＝，
∴GH＝OG•sin∠GOH＝OG•sin∠BCO＝×＝，OH＝OG•cs∠GOH＝OG•cs∠BCO＝×＝，
∴G（，﹣），
设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CG的解析式为y＝x﹣6，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴E′（，﹣），
∵点E与点E′关于BC对称，
∴CE＝CE′，
∵CE′＝＝，
∴﹣6+＝﹣，
∴E（0，﹣）；
（4）在抛物线对称轴上取点R（1，2），连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，
则S（1，0），
∵tan∠RAS＝＝＝，
∴∠RAS＝60°，
∵AR＝BR，
∴△ABR是等边三角形，
①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，
∵△BMN，△BAR为等边三角形，
∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，
∴∠ABM＝∠RBN，
∴△ABM≌△RBN（SAS），
∴AM＝RN，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴AM＝BM，
∴RN＝BM＝BN，
∴AN垂直平分BR，
∴LR＝LB＝LA，
设L（1，m），则LS＝m，AL＝BL＝RL＝2m，
∴2m+m＝2，
解得：m＝，
∴L（1，），
设直线AN的解析式为y＝k1x+d1，则，
解得：，
∴直线AN的解析式为y＝x+；
②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，
∵△BMN，△BAR为等边三角形，
∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，
∴∠ABN＝∠RBM，
∴△BRM≌△BAN（SAS），
∴∠BAN＝∠BRM，
∵AR＝BR，RS⊥AB，
∴∠BRM＝∠ARB＝30°，
∴BAN＝30°，
设AN与y轴交于点Q，
在Rt△AOQ中，OQ＝OA•tan∠BAN＝OA•tan30°＝1×＝，
∴Q（0，﹣），
设直线AN的解析式为y＝k2+d2，则，
解得：，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣．
综上所述，直线AN的解析式为y＝x+或y＝﹣x﹣．